K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 5
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Zustandsgleichung.Die drei GraBen p, e und T, welche den Zustand eines homogenen Karperscharakterisieren, sind voneinander abhangig. Bei einem physikalisch homogenenKarper kannen nur zwei dieser GraBen beliebig eingestellt werden, die dritteist dann bereits festgelegt. Es besteht also stets ein funktionaler Zusammenhang:p=p(e,(1)T),der als Zustandsgleichung bezeichnet wird. p, e und T nennt man Zustandsgro/3en.Sie werden im folgenden noch durch weitere ZustandsgraBen erganzt, derenOswatitsch, Gasdynamik.11. Thermodynamik.2je zwei beliebige zur Beschreibung des Zustandes eines physikalisch homogenenGebildes ausreichen.Der Zustandsgleichung in der allgemeinen Form der Gl.
(1) genugt jederAggregatzustand eines isotropen Korpers, eines Korpers also, dessen Eigenschaftenunabhangig von der Richtung sind. Gl. (1) wird demnach fur die allgemeinstenBetrachtungen in der Gasdynamik herangezogen werden.Fur genugend verdunnte, sogenannte ideale Gase bekommt die Zustandsgleichung die einfache Gestalt:R(2)P=-(2 T.mDer Druck ist hier der Dichte und der absoluten Temperatur proportional.
R, diesogenannte "absolute Gaskonstante", ist eine universelle Konstante mit demWert:R = 1,986 caljg . Grad = 8,31 3 Joulejg . Grad ==84,8 em. kg-Gew.jg. Grad = 82,0 4 cm 3 • phys . atmjg . Grad*.mist das fUr jedes Gas charakteristische "Molgewicht".
Es ist hier als dimensionslose Zahl eingefuhrt, welche im Norrnalzustand (p = 760 mm Hg, T = 273°)folgende Werte hat: fur Sauerstoff m = 32, fur Stickstoff m = 28, fur Luftrund m = 29,0. Bei sehr hohen Temperaturen spalten sich die Molekule derGase auf, sie dissoziieren. Diesem Vorgang ist durch Einsetzen eines kleinerenMolgewichtes in Gl.
(2) Rechnung zu tragen. Das dissoziierte Gas kann imubrigen weiter als "ideal" angesehen werden, ein Begriff, der wie vieles in derPhysik eine Abstraktion darstellt, welcher die realen Substanzen stets nurnaherungsweise genugen.Naturlich kann in Gl. (2).!imdurch einen fur jedes Gas charakteristischenKoeffizienten ersetzt werden, doch wurde die Einfuhrung des Molgewichtesseiner anschaulichen Bedeutung wegen vorgezogen.3. Erster Hauptsatz der Warmelehre; spezifische Warmen.Zu weiteren Erkenntnissen fUhrt die Anwendung des Satzes von der Erhaltungder Energie auf das Gebiet der Warmelehre. Wird Arbeit in ein Medium, welchesin einem GefaB eingeschlossen ist, durch starkes Umruhren hereingesteckt, sowird die aufgewendete Arbeit mit der Zunahme irgendeiner Energie gekoppeltsein.
(Von der Betrachtung der kinetischen Energie, welche durch das Umruhrenim Medium entstanden ist, kann abgesehen werden, da dieses nach einiger Zeitstets zur Ruhe kommt.) Wird der Zustand eines homogenen Korpers, wievorausgesetzt, durch ZustandsgroBen allein vollig beschrieben, so muB sich die* 1m technischen MaJ3system ist die Kalorie auf das Grammgewicht bezogen.Fur die absolute Gaskonstante R, welche auf die technische Kalorie und auf dasGrammgewicht bezogen wird, ergibt sich deshalb derselbe Zahlenwert, wie er hierangegeben wird (dasselbe gilt spater fUr die spezifischen Warmen), aber nicht dieselbeDimension. Dadurch kommt im technischen MaJ3system die Schwerebeschleunigungin die Gaszustandsgleichung (2). In diesem Buch ist die Kalorie stets auf die Grammmasse bezogen.
gist die Grammasse. Das Warmeaquivalent wird uberall gleicheins gesetzt. pje muJ3 daher im gleichen MaJ3 gemessen werden wie !i. T, also gemgebenenfalls auch in caljg. Dies ist nicht so abwegig, wie es anfanglich zu seinscheint. Oft, wie in Gl.
(9), (11) usw., treten ja mechanische und chemische GraJ3ennebeneinander auf. Meistens ist das MaJ3system bei den Zwischenschritten bedeutungslos und muJ3 erst bei der Anwendung der Endformeln geeignet gewahltwerden.T, 3. Erster Hauptsatz cler Warmelehre; spezifische Warmen.3Anderung des Energiezustandes des Korpers in der Anderung seiner ZustandsgraBen auBern, da ja sonst entgegen dem Erhaltungssatz der Energie angenommenwerden muBte, daB Arbeit aufgewendet wurde, ohne irgendwo Spuren irgendeiner.Anderung hinterlassen zu haben. Daraus folgt, daB jeder Korper Energie enthalt. Diese wird als innere Energie bezeichnet und solI, auf die Masseneinheitbezogen, mit dem Buchstaben e bezeichnet werden. e ist eine ZustandsgroBeund hangt beim homogenen Korper daher lediglich von zwei ZustandsgroBenabo Am augenfalligsten ist die Abhangigkeit der inneren Energie im allgemeinenvon der Temperatur; als zweite unabhangige Veranderliche kann etwa der meistleicht zu messende Druck gewahlt werden;e=e(T,p).(3)Gl.
(3) wird als kalorische Zustandsgleichung bezeichnet. Sie kann im Versuchermittelt werden. Durch Zufuhr derselben Energiemenge in verschiedenerEnergieform (mechanischer Arbeit, elektrischer Energie) wird gleichzeitig dasEnergieprinzip kontrolliert und bestatigt gefunden.Bei idealen Gasen hangt die inn ere Energie der Masseneinheit lediglich vonder Temperatur ab:e = e (T).(4)Nur wenn sich - etwa als Folge von Dissoziationen - das Molgewicht andert,gilt Gl.
(4) nicht mehr, da der Grad der Molekulaufspaltung nicht nur temperatur-,sondern auch druckabhangig ist.1st das Medium nicht in einem festen Raum eingeschlossen, sondern vermages sein Volumen zu verandern, so kann dies zu Arbeitsleistungen des MediumsfUhren. Allerdings ist mit der Ausdehnung eines Mediums noch nicht unbedingteine Arbeitsleistung verbunden. Ein Gas, welches in einem Kessel eingeschlossenist und durch Offnen eines Hahnes zum Ausstromen in einen Vakuumkesselgebracht wird, hat sich schlieBlich wohl ausgedehnt, jedoch k€[ine Arbeit geleistet.Wird bei dies em Vorgang auch noch von Warmezufuhr (oder Warmeabfuhr) abgesehen, so spricht man von der adiabatischen Ausdehnung ohne Arbeitsleistung.Da jeder Energieaustausch mit der Umgebung ausgeblieben ist, muB bei dieserZustandsanderung die innere Energie des Mediums und daher auch seine innereEnergie der Masseneinheit e gleichgeblieben sein.
Mit den 1ndizes lund 2 fUrden Anfangs- und Endzus1:land der adiabatischen Ausdehnung ohne Arbeitsleistunggilt also:(5)Das hat fur ideale Gase mit Rucksicht auf Gl. (4) die Folge, daB bei deradiabatischen Ausdehnung ohne Arbeitsleistung die Temperatur im Anfangsund Endzustand gleich ist:(6)Der eben besprochene Vorgang zeichnet sich dadurch aus, daB der Endzustandunter Verzicht auf eine Betrachtung der Zwischenzustande mit dem Anfangszustand verglichen wurde. Ja es zeigt sich, daB es gar nicht moglich ist, diesenEndzustand durch unendlich langsames Vorrucken einer Wand in den Vakuumkessel hinein zu erreichen. Diese letzte Zustandsanderung entsprache der Ausdehnung eines kompressiblen Mediums in einem Zylinder mit beweglichemKolben, wobei die Kolbengeschwindigkeit klein genug angenommen werden kann,um volligen Druckausgleich und vollige Gleichheit aller ZustandsgroBen im ganzenvom Medium erfullten Raume annehmen zu konnen.
Eine solche Zustandsanderung, welche wieder eine auBerordentlich brauchbare 1dealisierung darstellt,besteht aus einer Folge von Gleichgewichtszustanden des Gases. Man spricht1"41. Thermodynamik.daher von "quasistatischen Vorgangen". Gebrauchlich ist es auch, von "unendlichlangsamen" Zustandsanderungen zu sprechen, womit gemeint ist, daB der Vorgang langsam genug ablauft, urn Unabhangigkeit der Zustandsanderung vonder Geschwindigkeit ihres Ablaufes annehmen zu konnen.
Es wird sich zeigen,daB fur quasistatische Vorgange oft fur menschliche Begriffe auBerordentlichgroBe Ablaufgeschwindigkeiten zulassig sind.Ein Medium, welches sich quasistatisch in einem mit Kolben abgeschlossenenZylinder ausdehnt, leistet Arbeit, indem es den Kolben von der Flache / mit demDruck p VOl' sich herschiebt. Auf den Kolben wirkt also eine Kraft p /; indemdiesel' die Strecke dn (mit n als Kolbennormale) zurucklegt, wird eine Arbeit dAvom Gas geleistet, die sich aus dem Produkt von Kraft X Weg ergibt. Da nUlldas Produkt / x dn die Zunahme des Gasvolumens V darstellt, ist:dAp / dn==(7)p dV.Vermag sich das Medium nach allen Richtungen auszudehnen, 80 kann diesel'Vorgang in eine Verschiebung einer graBen Anzahl kleiner Kolben nach allenRichtungen aufgelOst werden, wobei es sich zeigt, daB es fUr die Al'beitsleistungdA wiederum nur auf die Volumenanderung dV ankommt.Das V olumen der Masseneinheit, das sogenannte spezi/ische Volumen, ist derreziproke Wert der Dichte(~).Es solI dafurhi.~rkein besonderes Symboleingefuhrt werden.
Als Energiezufuhren kommen Ubertragungen von Warme,welche auf die Masseneinheit bezogen mit q bezeichnet werden moge, in Frage.Die Zufuhr eines kleinen Teiles einer Warmemenge muB nach dem Energiesatzgleich sein der Hebung del' innel'en Energie, vel'mehl't urn die Al'beitsleistungdes Mediums. Damit el'gibt sich der erste Hauptsatz der Warmelehre bei quasistatischem Vol'gang fUr die Masseneinheit eines beliebigen Mediums:dq=de+Pd(~).(8)Das Wal'meaquivalent del' Al'beit wurde dabei gleich 1 gesetzt. Es mussenalso sowohl Warmemengen als auch Al'beitseinheiten, kurz aIle Enel'giebetrage,im gleichen MaB gemessen werden.
Dies gilt fur aUe Gleichungen dieses BucheR.Neben der inneren Enel'gie spielt, wie in der ganzen Warmelehre, so auch in derGasdynamik eine andere ZustandsgroBe eine ausgezeichnete Rolle, die sich aUf;del' Summe von innerer Energie und dem Produkt p V el'gibt. Sie heiBt " Warmpinhalt" oder "Enthalpie" und sei auf die Masseneinheit bezogen mit i bezeichnet:i=e+ 'E-.e(9)Mit Gl. (4) fUr die innere Energie und der Zustandsgleichung (2) gilt fiir dieEnthalpie der Masseneinheit eines idealen Gases (festen Molgewichtes):i =i (T).(10)Mit Gl. (9) kann der erste Hauptsatz auch geschrieben werden:dqdi-J..dp.=e(11)Einem Medium kann Warme unter verschiedenen Bedingungen zugefUhrtwerden.
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