K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 6
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Praktisch leicht realisierbar ist eine \Varmezufuhr bei konstantemVolumen und, im allgemeinen noch einfacher, eine Wal'mezufuhr bei konstantemDruck. Die Warmemenge, welche erforderlich ist, urn die Temperatur derMasseneinheit eines Mediums urn 1 zu erhohen, heiBt "spezi/ische W arme".0I, 3. Erster Hauptsatz der Warmelehre; spezifische Warmen.5Wird das Volumen festgehalten (V = konst. oder e = konst), so spricht manvon der spezifischen Warme bei konstantem Volumen CV 'Fur sie gilt mit Gl. (8):(12)Fur die spezifische Warme bei konstantem DruckCpgilt mit G1. (11):(13)Fur das ideale Gas konnen, wegen G1. (4) und (10), die partiel1en Ableitungen inGl.
(12) und (13) durch gewohnliche Ableitungen ersetzt werden. Damit ergebensich fUr e und i die Gleichungen:de=dT(14)eli = cpdT.(15)CvundAus der Definitionsgleichung (9) fUr i und der idealen Zustandsgleichung ergibtsich mit G1. (14) und (15) sofort fUr das ideale Gas:Rm=cp(16)cv ,-womit dessen Zustandsgleichung (2) auch geschrieben werden kann:(17)Wahrend der Begriff eines bestimmten idealen Gases stets an ein festes Molgewicht gebunden ist und von einem anderen Gas gesprochen wird, sobaldsich m etwa durch Dissoziation oder Ionisation andert, ist es keineswegs erforderlich, daB auch die spezifischen Warmen eines idealen Gases konstant bleiben.Die GroBe der spezifischen Warmen hangt wesentlich davon ab, wie sich dieinnere Energie auf die translatorische und rotatorische Bewegung der Molekiileund auf deren Schwingungen aufteilt.
Gerade der Energieanteil der Schwingungenist stark temperaturabhangig - die Begrundung gibt die Quantentheorie - ,was mit geringer Dichte, welche fur den idealen Zustand eines Gases verantwortlich ist, nichts zu tun hat.Ein MaB fUr das Abweichen vom Zustand idealer Gase ist durch den Wertdes Verhaltnisses-J:;T [Gl. (2)] gegeben.Versuchswerte finden sich in Tab. 1:Tabelle I, 1. W erte von ;::1~ jii?' Lujt *.Temperatur: T -p273 0techno ato50100200 0 C0102050100,00000,99450,98950,97790,96991,00000,99900,99 40,99861,00571,00001,00121,00271,00871,02351,00001,00311,00641,01681,0364,* Nach Versuchen der Physikalisch.Technischen Reichsanstalt von HOLBORNundOTTO:Z.
Physik 33, I (1925).61. Thermodynamik.Starker sind die Schwankungen im Werte von cP ' wie Tab. 2 zeigt:Tabelle I, 2. Mittlere spezifisehe WarmeHOLBORN10,242'PCp250,249Cpundfur Luft zwischen 20 und 100 0 C (nachJAKOB).500,2551000,2692000,292I300 techno at0,303 caljg GradEs wird sich zeigen, daB der TemperatureinfluB auf die spezifische Warmefur die Gasdynamik von groBerer Bedeutung ist, so daB vielfach mit idealenGasen, aber mit veranderlicher spezifischer Warme zu rechnen ist. Tab. 3 zeigtneben c p das wichtige Verhaltnis der spezifischen Warmen }C = cpfc v flir denZustand des idealen Gases (p = 0 at).Tabelle I, 3.
x und cp fur Luft und Wasserdampf bei p = 0 at abhangig von derTemperatur* .1:'-273°LuftH 02{xc" ......{x ...Cj) . ••o200400600001,4010,2401,3310,4441,3900,2441,3680,2551,2920,4891,3490,2661,2650,5271,3320,2761,3130,4641,2440,563I10001,3200,2831,2280,596I15001,3030,2951,2030,659I2000· C1,2940,302 cal/g Grad1, 1870,701 ca.ljg GradAus der kinetischen Gastheorie ergibt sich das Verhaltnis der spezifischenWarm en fUr 3,5,6,7 Freiheitsgrade der Molekule zu }C = 5/3, 7/ 5, 8/6, 9/ 7. Bei0° C und niedrigem Druck entspricht Luft also sehr genau dem Modell derkinetischen Gastheorie mit funf, Wasserdampf jenem mit sechs Freiheitsgraden.Eine hohere Genauigkeit kann nur unter Berucksichtigung der Temperaturabhangigkeit der spezifischen Warmen und der Luftfeuchte erreicht werden.Da die Werte der kinetischen Gastheorie auch fur die numerische Rechnungbesonders geeignet sind, sollen sie weitgehend den Tabellen dieses Buches zugrundegelegt werden.Fur nicht zu groBe Temperaturintervalle kann mit einem idealen Gas konstanterspezijischer Warme (id.
Gas konst. sp. W.) gerechnet werden. Fur dieses ergebensich nach Gl. (14) und (15) folgende Ausdrucke fur innere Energie und Enthalpieder Masseneinheit:e = Cv Tkonst.(18)undi = cp Tkonst.(19 )Mit seinen einfachen expliziten Ausdrucken fur aIle Zustandsgro13en spielt dasid. Gas konst. sp.
\V. in der Gasdynamik eine hervorragende Rolle. Jedochkann mit ihm bei Rechnungen uber gro13ere Temperaturintervalle keine groBeGenauigkeit erzielt werden. Wegen Gl. (16) ist im ubrigen mit cp auch stets Cvkonstant.++4. Zustandsanderungen.Schon bei der Definition der spezifischen Warmen cp und C v wurden zwelZustandsanderungen besonders ausgezeichnet.
Bleibt das Volumen oder dieDichte konstant, so spricht man von einer isochoren Zustandsanderung. Diezugefuhrte Warme ist dabei nach Gl. (8) gleich der Zunahme der inneren Energie:dq = de.*(20)E. JUSTI: Spezifische Warme, Enthalpie, Entropie und Dissoziation technischerGase. Berlin: Springer, 1938.I, 4. Zustandsanderungen.7Beim idealen Gas steigt dabei der Druck proportional mit der Temperatur,diese nimmt allerdings nur bei konstanter spezifischer Warme proportional zurWarmezufuhr zu.Isobar heiBt die Zustandsanderung bei konstantem Druck.
Nach G1. (ll)ist hier die Warmezufuhr gleich der Hebung der Enthalpie:dq=di.(21 )Beim idealen Gas wachst dabei das spezifische VolumenBei konstanter spezifischer Warme cp gilt~ wie die Temperatur.e(22)wenn mit q die gesamte Warmezufuhr pro Masseneinheit und mit den Indizes 1und 2 Anfangs-' und Endzustand bezeichnet werden. G1. (22) gilt auch fUrbeliebige Medien, da bei festgehaltenem p die Enthalpie i nur mehr von derTemperatur abhangt, G1.
(13) also bei festem cp integriert werden kann. DieGleichdruckverbrennung stellt im wesentlichen eine isobare Warmezufuhr darund spielt fUr die technischen Anwendungen eine besondere Rolle.Wird der Luft nur ein Gewichtsprozent Kohlenwasserstoff (Benzin, Benzolusw.) mit einem Heizwert von rund 10000 caljg zugesetzt und isobar verbrannt,so gibt dies bei einer spezifischen Warme von cp = 0,240 caljGrad eine Temperaturerhohung:T 2T1=-.!1...cp=10000 X 0,010,2400C = 417 0 C.(23)Die Berucksichtigung des Massenzusatzes bei der Verbrennung von Stoffenhohen Heizwertes ist darnach nur dann sinnvoll, wenn sehr genau unter Berucksichtigung der Temperaturabhangigkeit von cp und der Verseuchung der Luftdurch Abgase gerechnet wird.
Bei vereinfachten Rechnungen mit Luft als id. Gaskonst. sp. W. ist die Berucksichtigung des Massenzusatzes an Brennstoff imallgemeinen sinnlos, es genugt hier das einfache Bild der Verbrennung alsreine Warmezufuhr.Als isotherm wird die Zustandsanderung bei konstanter Temperatur bezeichnet.Bei einem idealen Gas andert sich dabei der Druck wie die Dichte, wobei nachG1.
(8) und G1. (4) die zugefuhrte Warme vollkommen in Arbeit verwandeltwird.Die groBte Bedeutung fur Stromungen kommt der Ausdehnung eines Stoffteilchens zu, das mit seiner Umgebung stets im Druckgleichgewicht, nicht aberim Warmeaustausch steht. (Sowohl Warmeleitung als auch innere Reibungwird sich in vielen Fallen als unbedeutend erweisen. Sie kann auBerhalb des unmittelbaren Wandeinflusses bei den hier interessierenden Stromungen fastdurchwegs vernachlassigt werden.) Es handelt sich also um eine quasistatischeadiabatische Zustandsanderung, bei welcher das Stoffteilchen - im Gegensatzzur adiabatischen Ausdehnung ohne Arbeitsleistung - Arbeit leistet.
DieserGleichgewichtsvorgang wird gerne als adiabatische Ausdehnung bezeichnet, dochwird fur ihn anschlieBend an G1. (37) mit dem Wort Isentrope ein treffendererAusdruck eingefuhrt. Fur diese Zustandsanderung gilt mit G1. (8) oder (ll)o=de+ p d ( ~)oder0= di -~dp.(24)Da die innere Energie e der Masseneinheit als ZustandsgroBe nur von p und (!abhangt, ist mit G1. (24) ein funktioneller Zusammenhang von Druck und Dichte1.
Thermodynamik.8odeI' auch von irgendeinem anderen Paar von ZustandsgroBen gegeben. Fur dasideale Gas ist mit G1. (14) und (17):o=cv d1' -(I -(c p - cv ) l' ~(!.jodeI' mit dem Verhaltnis del' spezifischen Warmen:dT1de(I=:<~=f·j(25)0= dp -u~.P(!Fur den allgemeineren Fall del' Temperaturabhangigkeit vondaraus:T2•Tl"-1ergibt sidlT2In ~ = f~-"- dTPI%T'In 122 = f~_l- dT121." -1Tl(26)Tmit den Indizes 1 und 2 fUr Ausgangs- und Endzustand.In den thermodynamisehen Tabellen wird oft nieht die spezifisehe Warme Cj ),sondern das Produkt von spezifiseher Warme und Molgewieht: m c p = C p , die sogenannte Molwarme angegeben, da sieh bei Gasen mit Molen (das sind m Massenein-1,heiten) besonders praktiseh reehnen laBt. Es ist dann 11: 11: 1 =wobei nun nurnoeh im Zahler eine vom speziellen Gas und dessen Temperatur abhangige GroBe steht.Fur das id.
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