K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 8
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Thermodynamik.Nun konnen eine groBere Zahl Carnotscher Kreisprozesses aneinandergeschaltetwerden (Abb.2). Dabei brauchen Isentropen, welche zwei aneinanderliegendenProzessen gemeinsam sind, nicht erst durchlaufen zu werden, weil die beidenVorgange auf den anliegenden Kreisprozessen gerade entgegengesetzt sind.Dies fUhrt zum Durchlaufen der gezackten Randkurve in Abb.2. Es werdendabei auf den Isothermen der Temperaturen Ti dieWarmemengen Qi zugefiihrt, wobei mit Gl. (32) gilt:~ Qi <= 0L..,..'F,•wieder mit dem Ungleichheitszeichen fur irreversibleVorgange.Es ist einleuchtend, daB ein beliebiger reversiblerKreisprozeB, dargestellt durch einen geschlossenenKurvenzug im V-p-Diagramm, durch eine ReiheCarnotscher Kreisprozesse beliebig genau wiedergegeben werden kann.
Fur den Grenzfall emergroBen Zahl kleiner Isothermenkurvenstiicke fuhrtdies schlieBlich zur Gleichung::f d~ <:Abb. 2. Folge Carnotscher Kreisprozesse.O.(33)T in Gl. (33) ist stets die Temperatur des W drmebehdlters, mit welch em das Arbeitsgas im Warmeaustausch steht. Dieser ist nur beim reversiblen ProzeB gleich warm mit demArbeitsgas, weshalb in diesem Fall T auch die Temperatur des Arbeitsgases ist.In allen praktischen Fallen ist stets ein wenn auch noch so kleines Temperaturgefalle fUr einen Warmeubergang erforderlich, und zwar muB T bei allenpositiven dQ stets etwas groBer, bei allen negativen dQ stets etwas kleiner alsim Grenzfall der Umkehrbarkeit sein, was dann zum Ungleichheitszeichen < 0in Gl.
(33) fuhrt.". Entropiefunktion.Die Aussage, daB das Integral der Gl. (33) fUr reversible Prozesse uber einegeschlossene Kurve verschwindet, ist gleichbedeutend mit der Aussage, daBdas Integral, gebildet zwischen einem Anfangs- und Endzustand, unabhangigyom Wege ist. Fur reversible Zustandsfolgen ist in Gl. (33) T identisch mitder Temperatur des Arbeitsgases, und die Warmezufuhr, nun bezogen auf dieMasseneinheit, kann mit dem ersten Hauptsatz Gl.
(8) durch Zustandsanderungendes Gases allein ausgedriickt werden. Mithin kann gesetzt werdenjI'de+PdTeE=SE-SA,(34)Awobei SE und SA lediglich yom End- und Anfangszustand abhangen. S ist alsobis auf eine frei verfugbare Konstante eine Zustandsgro(Je, sie wird als Entropieder Masseneinheit bezeichnet.
Die Entropie selbst sei mit S bezeichnet, siestellt das Produkt von s und der Masse des Mediums dar. Die Verfugbarkeiteiner additiven Konstanten hat die Entropie mit der inneren Energie gemein.Die Konstante kann im Rahmen dieses Buches nach Gesichtspunkten praktischerRechnung willkurlich gewahlt werden.13I, 7. Entropiefunktion.G1. (34) lautet in differentieller Form mit G1. (11):deds=+ P d (~)12T=~ dpdi -12(35)Tganz allgemein fur jedes Medium. Mit G1. (14), (15) und (17) lautet sie fUr einideales Gas:dTds = cv p -(C2)-CvdedT)e= c2)fjI- (c2)-cv)dpdp-;p = Cv -;p-C2)dee'(36)Fiir ein id. Gas konst.
sp. W. ist (36) sofort integrierbar und fuhrt zu:s2-s1=cvln TT2 -(c2)-cv)ln~=c2)ln TT2 -(c2)-c v)ln.E!.=Iel= CvIPIIn.E!.-c In~.PI11(37)elDie quasistatische adiabatische Ausdehnung erfolgt nach G1. (35) und (24) demnach bei konstanter Entropie. Man bezeichnet diese Zustandsanderung daherals Isentrope und hat damit eine Ausdrucksweise gefunden, welche eine Verwechslung mit der adiabatischen Ausdehnung ohne Arbeitsleistung unmoglichmacht.
Die Ableitungen langs der Isentropenkurven werden durch ein angefiigtes sgekennzeichnet.Fur viele Aussagen uber das Verhalten beliebiger Medien ist die Kenntnisder Funktion s, welche die Kenntnis der Zustansgleichung p (e, T) und derEnergiefunktion e (T, e) voraussetzt, nicht erforderlich.Oft genugt die Kenntnis der Ableitungen von s nach anderen ZustandsgroBen,in der Gasdynamik besonders nach dem Druck p und der Enthalpie der Masseneinheit i.
Aus G1. (35) resultiert unmittelbar:(!: L=~;(:!t=T;L /T; (:~ L= ~ ;( :; = -(~~L=-eT; (~~).=e;I(38)mit der in der Warmelehre ublichen Schreibweise, die festgehaltene Veranderlicheals Index an die Klammer zu schreiben.Wahrend in der Mathematik meist von einem Paar unabhangiger Veranderlichenx, y zu einem anderen Paar u, v iibergegangen wird, werden in der Thermodynamikdes homogenen Mediums je nach der Betrachtungsweise die verschiedensten Paarungenyon ZustandsgroLlen als unabhangige Veranderliche beniitzt, so daLl es bei der Ableitung nach einer Veranderlichen nicht klar ist, welche ZustandsgroLle als zweite, inder partiellen Ableitung festzuhaltende unabhangige GroLle verwendet wird.
Beider Schreibweise der partiellen Ableitungen eines Funktionenpaares u v:OUOUovovax' ay' ax' -oysteht fest, daLl y bei der Ableitung nach x festgehalten wird und umgekehrt. Werdennun die Abhangigen u, v mit den Unabhangigen x, y vertauscht:oxoxoyoyau' av' au' av'. d bel' d er Abl eitung OUox Jetzt.so Wlrv festgeh a I ten, wesha lbox k erneswegs.aud enreziproken Wert von :: darstellt. Der hieran gewohnte Mathematiker mag daherzunachst iiberrascht sein, daLl etwa (!: )11und (;! )2)reziprok zueinander sind. HierI. Thermodynamik.14wird aber stets dieselbe Veranderliche p konstant gehalten.
Unter dieser Voraussetzungstellen 8 = 8 (i) und i = i (8) inverse Funktionen einer Veranderlichen dar. derenAbleitungen bekanntlich im reziproken Verhaltnis zueinander stehen. Anschaulicherwerden die Verhaltnisse im Zustandsdiagramm mit den Koordinaten 8, i, p. In diesemstellt die Zustandsgleichung 8 = 8 (i, p) eine Flache und bei festgehaltenem peineKurve in einer Ebene p = konst. dar, deren Neigung(~!) pist.Es ist nun moglich, dem zweiten Hauptsatz mit Hilfe der Entropiefunktioneine analytische Formulierung zu geben.Ein Medium habe irgendeinen irreversiblen oder in der Grenze reversiblenVorgang durchgemacht, der es yom Anfangsstadium A in das Endstadium E(Abb.
3) gebracht hat. Ein irreversibler Weg kann dabei nicht in das Zustandsdiagramm eingetragen werden, da dieses dem Medium in jedem Kurvenpunkteinen ganz bestimmten Zustand zuordnet, wahrend ein irreversibler Vorganggerade dadurch gekennzeichnet ist, daB er nichtquasistatisch, also nicht als Folge von Gleichgewichtszustanden dargestellt werden kann. Die Zustandsanderung von A nach B sei durch eine gestrichelteLinie mit Pfeil angedeutet, deren Zwischenpunktenkeine physikalische Bedeutung zukommen mage.Die Zustandsanderung A ~ E sei durch einenreversiblen Vorgang langs der Kurve C zu einem irre·versiblen KreisprozeB erganzt. Fur diesen gilt nachGl.
(33):¢' dQ., TIIAbb. 3. Irreversibler KreisprozeB .=J +J!!L < o.EAdiLTA irrev.TE rev.Dabei ist fur den irreversiblen Vorgang T die Temperatur des Warmebehalters,dem die Warme dQ entzogen wird, und daher stellt das Integral, in dem nurGroBen des Warmebehalters vorkommen, dessen Entropieabnahme (wegen desnegativen Vorzeichens von dQ) dar. Mit S' als Entropie des Warmebehaltersalso ist:EJd~=SA' -Sf/·A irrev.Das Integral uber den reversiblen Weg C stellt die Anderung der Entropie Sdes Mediums dar:EJ~=SE-SA,A rev.womit schlieBlich aus Gl.
(33) folgt:SA+ SA' < SE + SE"(39)Auf jeder der beiden Ungleichungsseiten steht die Summe der Entropien alleram Vorgang beteiligten Korper in einem bestimmten Zustand. Der Komplexaller am V organg beteiligten Korper heiBt "geschlossenes System". Die Entropieeines Systems ist die Summe der Entropien aller zum System gehorigen Korper,daher kann dem zweiten Hauptsatz folgende ganz allgemeingiiltige Form gegebenwerden:Die Entropie eines geschlossenen Systems nimmt bei irreversiblen Vorgangen zu.II, 1. Vorbemerkung.15Daraus folgt:Die Entropie eines geschlossenen Systems bleibt bei reversiblen Vorgangenkonstant.Konnte namlich die Entropie eines geschlossenen Systems abnehmen, sobrauchte dieses System nur an jenes mit dem irreversiblen Vorgang angeschlossenzu werden, urn zu einem Widerspruch zu fUhren.Besondere Betrachtungen werden erforderlich, wenn sich die niedrigstenTemperaturen dem absoluten Nullpunkt nahern, da dann der Wirkungsgrad desCarnot-Prozesses den Wert 'YJe = 1 annehmen kann.
Diese extremen Zustandehaben fUr die Gasdynamik keine Bedeutung und seien daher hier iibergangen.Die entsprechenden Uberlegungen und Erfahrungen fiihren zum 3. Hauptsatzder Warmelehre, der unter anderem die Unerreichbarkeit des absoluten Nullpunktes aussagt.8. Thermodynamisches Gleichgewicht.Aus dem zweiten Hauptsatz folgen eine groBe Zahl von Aussagen iiber thermodynamische Gleichgewichte, wie sie z. B. durch die Koexistenz von Wasser undWasserdampf oder von dissoziiertem und undissoziiertem Gas gegeben sind.Aus der Tatsache, daB die Entropie eines geschlossenen Systems nicht abnehmen kann, kann auf Stabilitat des Zustandes dann geschlossen werden,.
wenn die Entropie des Systems unter den gegebenen Bedingungen einen Maximalwert erreicht hat. Daraus ergeben sich die Dampfdruckkurven, Dissoziationsgleichgewichte usw. Typisch fUr die Abhangigkeit aller Gleichgewichte von derTemperatur sind Exponentialfunktionen mit einem negativen Exponenten, indessen N enner das Produkt R T und in dessen Zahler die U msetzungsenergie (Verdampfungswarme, Dissoziationswarme usw.) steht. Die Folge ist, daB bei hohenTemperaturen gerade jene Erscheinungen von Bedeutung werden, welche mithohen Umwandlungswarmen verbundep sind.
Dies hat weiter die Folge, daBDissoziationen erst bei hohen Temperaturen auftreten, dann aber wegen ihresEnergiebedarfes sofort eine ausschlaggebende Rolle spielen. In der Brennkammereines Antriebes sind sie also tunlichst zu vermeiden. Stromungen kompressiblerMedien fiihren vielfach zu extremen Temperaturen und Drucken und erforderndaher Kenntnisse extremer Zustande, welche die moderne Thermodynamikmanchmal noch gar nicht zu vermitteln vermag.II. Stationare Fadenstromnng.1.
Vorbemerkung.Die Stromungen zusammendriickbarer Medien sind den Stromungen inkompressibler Fliissigkeiten gegeniiber so viel komplizierter, daB es angebrachterscheint, sich zunachst der Behandlung einfachster Stromungstypen zu widmen.Ais solche ergeben sich die zeitlich unveranderlichen - also 8tationiiren - Stromungen, bei welchen konstante Eigenschaften quer zur Stromungsrichtung angenommen werden konnen. Geschwindigkeitsbetrag W, Druck p, Dichte e undTemperatur T eines Teilchens sind dann nur mehr abhangig von einer einzigenVeranderlichen, etwa der in Stromungsrichtung gemessenen Bogenlange.Angenahert verwirklicht sind diese Voraussetzungen bei Stromungen inKanalen langsam veranderlichen oder konstanten Querschnittes t.
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