K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 10
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Die Arbeits1eistung des Gasesnaeh auBen in list demnaeh I P W. Am Quersehnitt 11 wird Arbeit am Mediumge1eistet und Energie in den Raum eingefuhrt. Daher folgt aus dem Energiesatz:L=W2)leW (e +"2+ I PW-11 el WI_ (e1 +W12 )-2- -11 PI Wl'Diese Gleiehung kann nun dureh Einfiihren der Entha1pie Gl. (I, 9) vel'einfaehtwerden:(4)II, 2. Grundgleichungen.19Es handelt sich dabei ahnlich wie beim Impulssatz nicht urn einen Energiesatz,sondern urn einen Satz vom Energiestrom.Vielfach treten als Leistungen L Warmezufuhren oder Arbeitsleistungenan der Schwerkraft auf. Fur diese FaIle sei L berechnet.
1st q - entsprechendzur Bezeichnung in Teil I - die der Masseneinheit zwischen lund 11 zugefiihrte Warmemenge, so ist die an das Medium abgegebene Warmeleistungdurch das Produkt von q und der DurchfluBmenge G gegeben: q leW. DieArbeitsleistung an der Schwerkraft ergibt sich am einfachsten als Differenz voneinflieBender potentieller Energie in 11 (mit z als zur Schwerebeschleunigungg entgegengesetzter Richtung): g ZI 11 el WI und ausflieBender potentieller Energieaus I: g z leW.
Dann ist:leW q + g ZI 11 el WI -g z leW=leW (~2+ i) -11 el WI (~12+ i1).Kommt zwischen den Querschnitten keine Masse hinzu, so gilt Gl. (2) und eskann durch die gleichbleibende DurchfluBmenge dividiert werden mit demResultat:(5)Die Summanden von Gl. (5) haben die Dimension einer Energie der Masseneinheit.Gl. (5) wird daher mit mehr Recht als Energiesatz bezeichnet als etwa Gl. (4).Die Enthalpie tritt an die Stelle der inneren Energie, womit die Arbeitsleistungendes Gases an den Endflachen gleich mit erfaBt werden.Fur den einfachen Fall stationarer Stromung eines Mediums ohne LeistungenL, also ohne Warmezufuhr und ohne Arbeitsleistungen auBerer Krafte, nimmtGl. (5) oder (4) die einfache Form an:(6)Hier wird zweckmaBig jene Enthalpie i eingefuhrt, welche das Medium im Ruhezustand (W = 0) annimmt.
AIle GroBen im Ruhezustand seien Ruhegropen genannt und mit dem Index 0 gekennzeichnet. Dann lautet Gl. (6) auch(7)Damit ergibt sich eine ahnliche Beziehung, wie Sle durch die BernoullischeGleichung:(8)fur dichtebestandige Medien (e = konst.) gegeben ist, wobei an Stelle desdurch die gleichbleibende Dichte dividierten Druckes die Enthalpie der Masseneinheit i tritt. Dennoch solI von Gl. (7) nicht als von einer Bernoullischen Gleichung gesprochen werden, denn diese setzt reibungsfreie Stromung voraus, eineEinschrankung, welche der Gl.
(7) nicht zugrunde liegt. Dafiir laBt sich mit derBernoullischen Gleichung (8) der Druck sofort aus der Geschwindigkeit berechnen.Dies trifft fur den entsprechenden Energiesatz Gl. (7) wohl betreffs der Enthalpieund bei einem idealen Gas betreffs der allein von der Enthalpie abhangigenTemperatur [Gl. (I, 10)] zu; damit sind die Moglichkeiten aber auch erschopft.Denn der Druck bleibt mit der Dichte unbestimmt. Es ist auch einleuchtend,daB mit der groBeren Zahl von Moglichkeiten, welche der Energiesatz Gl. (7)gegenuber der Bernoullischen Gleichung (8) enthalt, eine weniger starke Festlegung des Zustandes verbunden sein muB.2*II.
Stationare Fadenstromung.20Da die Enthalpie i einen Minimalwert hat, der bei verschwindender Temperatur zu suchen ist, kann die Geschwindigkeit bei stationarer Stramung abhangigvon der Ruheenthalpie io einen Maximalwert Wmax nicht uberschreiten. DieGeschwindigkeit steigt also keineswegs uber aIle Grenzen, wenn sich der thermische Zustand des Mediums dem absoluten Nullpunkt nahert, sie kann nur jenenWert erreichen, welcher durch die volle Umwandlung der Enthalpie in kinetischeEnergie gegeben ist.Beim idealen Gas ist i reine Temperaturfunktion, beim id. Gas konst.
sp. W.geht Gl. (7) mit Gl. (I, 19) uber in:(9)Daraus ergibt sich die Maximalgeschwindigkeit fur das id. Gas konst. sp. W.:W max=V2 cp(10)rf1-~~Stramt Luft aus einem Raum mit Zimmertemperatur (20°0) durch einen geeignetgeformten Kanal in einen Kessel, der auf absolutem Vakuum gehalten wird, sofolgt (c p = 0,240 cal/g Grad; Warmeaquivalent: 0,4186. 10 8 Erg/cal)W max =V2. 0,4186.108.0,240.293 em = 767~,ss(U)unabhangig vom Ruhedruck Po und auch davon, ob die Expansion unter innererReibung vor sich geht oder nicht.Gaskinetisch ist der V organg so zu verstehen, daB die gesamte Bewegungsenergie der Molekule, welche bei der Geschwindigkeit Null in Form von Warmevorhanden ist, sich bei der Temperatur Null in einheitliche geradlinige Geschwindigkeit verwandelt hat.
Diese belauft sich ubrigells auf nicht viel mehr als dasDoppelte der Schallgeschwindigkeit im Ruhezustand.Aus der Existenz einer Maximalgeschwindigkeit bei fester Ruhetemperaturdarf nicht etwa auf eine Begrenzung der Fluggeschwindigkeit geschlossen werden.Bei Steigerung der Fluggeschwindigkeit wird namlich bei festem Anstramzustandder Ruhezustand erhaht.3. StoBwelle und Schallwelle.Die einfachste Anwendung der Grundgleichungen des vorangegangenen Abschnittes bietet ein Rohr oder ein Stromfaden konstanten Querschnittes (f = f1)'wenn das flieBende Medium weder der Einwirkung auBerer Krafte noch irgendwelcher Warmeabgaben oder Leistungszufuhren ausgesetzt ist. Die Zustande imAnfangsquerschnitt seien ohne Index, die im Endquerschnitt mit Dach gekennzeichnet.
Kontinuitatsbedingung Gl. (2), Impuls- und Energiesatz Gl. (3) undGl. (5) haben dann die Form:TV2e+ P=W2(!+pW2WA2-2+ i = -2 + iAKontinuitats bedingung,Impulssatz,( 12)Energiesatz.Da keinerlei Einwirkungen von auBen erfolgen, ist sicher eine Lasung des Gleichungssystems (12) durch die Gleichheit der Zustande in den beiden Querschnittellgegeben (TV = W; (j = (!; p = p; i = i).
Es gibt aber noch eine zweite Lasung,die fUr das id. Gas konst. sp. W. leicht zu ermitteln ist. Fur dieses kann i mitGl. (I, 19) und der Zustandsgleichung (I, 17) direkt durch Druck und Dichte21II, 3. StoJ3welle und Schallwelle.ausgedriickt werden. Die Elimination der thermischen ZustandsgroBen ausGl. (12) ergibt dann eine quadratische Gleichung fiir W mit den Losungen:W=AU+11+[W xeupW2 ±(1-eUP)]W2(13).Das positive Vorzeichen vor der runden Klammer gibt die Identitiit W = w.Interessanter ist die zweite Losung. Sie fiihrt zusammen mit der Kontinuitiitsbedingung und dem Impulssatz zum Resultat:TVeW = e= 1P= 1+Pu2+U2U+1(1(W2 eup1-UP).'e W2-1).(14)7Uber den Abstand der beiden Fliichen fund wurde zuniichst nichts vorausgesetzt.
Handelt es sich um eine Rohrstromung, so konnen zwischen den betrachteten Querschnitten sehr komplizierte Stromungsvorgiinge mit Wirbeln und Totwasser liegen. fund sind dann so zu legen, daB in ihnen mit guter Niiherung einheitliche Stromungszustiinue angenommen werden konnen. Werden die Betrachtungen aber in einen Stromfaden fern von jeder Wand verlegt,so konnen die Fliichen zuniichst beliebig nahe aneinandergeriicktwerden. Mit den Losungen der Gl. (14) fiihrt dies aber in derGrenze zu sprunghaften Anderungen von Geschwindigkeit, ------ - - - - Druck, Dichte usw., welche unter bestimmten Bedingungen in Abb.
5. StoJ3weIleder Tat beobachtet werden konnen. Sie heiBen Sto(3wellen (Abb. 5). (___ Stromlinie).Zuniichst solI auf die einschriinkende Annahme, daB es sichum ein id. Gas konst. sp. W. handelt, wieder verzichtet werden. Fiir ein beliebigesMedium kann der Impulssatz Gl. (12) mit Hilfe der Kontinuitiitsbedingung wiefolgt geschrieben werden:r--:---I---~----(15)Durch Elimination der Geschwindigkeiten aus Gl. (15) und dem EnergiesatzGl.
(12) falgt:-:- . 1(1e +-e1)(Ap-p.)~-~=2(16)Um die Gleichung auszuwerten, ist natiirlich die Kenntnis der Enthalpie derMasseneinheit als Funktion von Druck und Dichte i = i (p, (}) erforderlich.Dann kann aus der Kenntnis des Ausgangszustandes p, e der Druck p abhiingigvon der Dichte emit Gl. (16) angegeben werden. Die auf diese Weise gewanneneKurve heiBt dynamische Adiabate oder auch nach den beiden Forschern6 , 7, welchedie Beziehung zuerst aufstellten, Rankine-Hugoniot-Kurve. Bei ihr ergibt sichder Zusammenhang von Druck und Dichteaus einem dynamischen Problem.Die nahe Verwandtschaft mit der Isentrapengleichung wird sofort deutlich,wenn diese Gleichung (I, 24) integriert wird.
Um im folgendendie Integrationsvariablen vom Anfangs- und Endzustand zu unterscheiden, sei der Anfangszustand mit dem Index 1 und der Endzustand mit dem Index 1 und einem Dachgekennzeichnet. Dies ergibt:. J-eA~PI~1-~11 dp.=PI8= konst.(17)22II. Stationare Fadenstromung.Da die Dichte nicht allein yom Druck abhangt, muB der Integrationswegkonst.) angegeben werden.Auf der Rankine-Hugoniot-Kurve muB sich die Entropie mit dem Druckandern, da der funktionelle Zusammenhang hier anders ist als auf der Isentrope.Zunachst solI die Entropieanderung in der Umgebung des Ausgangspunktes(PI' el) berechnet werden.
Mit Gleichung (I, 35) und Gl. (16) ist:(8=AAj'l- dP = 21(1--;:- + -l)(API -~•-:- [Td 8 = ~l.~l-p,(2(21(11ldl' -poA~~PI) -•.(2(18)PiHHDer an das Integral angefugte Buchstabe H deutet an, daB der Integrationsweglangs der Rankine-Hugoniot-Kurve verlauft. Zur Untersuchung der Verhaltnisseim Ausgangspunkt (el' PI) sei die reziproke Dichte dort als Funktion des Druckesentwickelt:11(81)e= 12-; + eHI (p -8pPI)+ 21(88p22e1)HI (p -Pl)2+ ...Die Ableitungen sind langs der dynamischen Adiabate im Ausgangspunkt gebildet.
Die Entwicklung im Integral von Gl. (18) eingesetzt und integriert ergibt:PiI~dp=:1' (PI-PI) + ~(8~ ~)Hl(PI-Pd2+! (8~2 ~)Hl(Pl-Pl)3+ ...PiHDa die Entwicklung vonlei tung (-:--..!:.)up(2HI..!:.Qauch im Endpunkteliminiert werden mit dem Resultat:1 1) P-Pf·-1dP=-1(--;:-+Pi•(22el' PI gilt, kann damit die Ab-(A(11(21I11 (8 1) ('P-P)3 +II2) - - ----128p2(2HIPiHDanach reduziert sich die linke Seite von Gl. (18) auf ein Glied dritter Ordnungin (PI - PI) vermehrt urn Glieder hoherer Ordnung. Zur Ermittlung des Gliedeserster Ordnung des Entropieintegrals in Gl. (18) genugt es, den IntegrandenT = Tl zu setzen mit dem Resultat:T 1 (8 1 A81)_-1 (82 e1) (PI -128p2HIAPI)3+ ...(19)ErfahrungsgemaB ist die zweite Ableitung von..!:. nach P positiv.
Bei kleinem(2Druckanstieg wachst also die Entropie, allerdings erst mit der dritten Potenz vonPl- PIDie erste und zweite Ableitung der Entropie nach dem Druck auf der RankineHugoniot-Kl,lfve verschwindet also. Das hat zur Folge, daB die erste und zweiteAbleitung dieser Kurve mit den entsprechenden Ableitungen der Isentrope inirgendeinem Zustandsdiagramm identisch sind. Die beiden Kurven haben nichtnur gemeinsame Tangente, sie oskulieren auch noch (gemeinsame Krummung).(Abb. 7). Es ist:(20)II, 3. Stol3welle und Schallwelle.23Damit kann der Entropieanstieg der Rankine·Hugoniot·Kurve naherungsweiseauch durch die zweite Ableitung langs der Isentrope ausgedriickt werden. Soist er auf die thermodynamischen Eigenschaften des Mediums zuriickgefiihrt.Es gilt also fUr jede8 homogene Medium, wenn der Anfangs.
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