K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 14
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Er wirkt sich in_1_ dWW dxX -Richtungedxauf die FlachendifferenzKraft verursachen: P1 ~ P (f -1-11aus, so daB die Drucke folgende11)'Die Summe der anderen Krafte ergibt sich aus dem Produkt von X und derim Kegelstumpf eingeschlossenen Masse h I~ 11e (hHi::ihe des Kegelstumpfes).Damit kann der 1mpulssatz [Gl. (3)] geschrieben werden:PI~P(f -11)Oswatitsch, Gasdynamik.+X hI ~lIe + PI 11 - P I = e W2 1- e1 w12 11'334II. Stationare Fadenstr6mung.Daraus folgt nach Anwendung der Kontinuitatsbedingung Gl.
(2) und kleinenUmformungen:x P - PI _ W W - WI 21--~--h-1+/1und nach Ubergang zu verschwindendem h:W dW =_~dpedxdx+X(4±}mit X als pro Masseneinheit in Stromrichtung wirkender Kraft. Zum Unterschied von Gl. (43) spielt in die Bewegungsgleichung (44) die Querschnittsanderungnicht hinein.Fehlen auBere Krafte (X = 0), so gilt langs des Stromfadens alRo folgendeBeziehung:(45 )e WdW =-dp.Die Querschnittsanderung spielt auch in der differenzierten Form der Energiegleichung keine Rolle. Sie lautet nach Ableiten von Gl.
(5) unter Verzicht aufdie Schwereeinwirkungen:dq _ W dWdx Tx-+didx'(46)Hierin ist i Funktion zweier thermodynamischer ZustandsgroBen. Mit p und sals abhangigen Veranderlichen kann dann unter Anwendung der Gl. (I, 3R)fUr jedes physikalisch homogene Medium geschrieben werden:~ = (~)dxopsdpdx+ (~)~ = ~ dp + T~.8s p dxe dxdxDamit wird eine neue Form des Energiesatzes gewonnen:dq _ W dWdx dx-1I~ dpe dx+T~dx '(47)welche eine nahe Verwandtschaft mit del' Bewegungsgleichung (44) aufweist.In den gewohnlichen Differentialgleichungen (43), (44), (46) und (47) ist xnicht als kartesische Koordinate, sondern als langs der Stromfadenmitte gemesseneBogenlange eingefiihrt, was fUr manche Anwendung wichtig ist.Die Subtraktion del' Gl. (44) vom Energiesatz (47) liefert beim FehlenauBerer Krafte (X = 0):!!!L=T~dxdxeine Gleichung, welche an den ersten Hauptsatz del' Warmelehre erinnert.Wahrend hier abel' die Anderungen del' Zustande mit dem Ort stehen, werdenin del' Thermodynamik (1.
Kapitel) lediglich die Zustandsanderungen vonMassenteilchen betrachtet. Es wird spateI' (Gl. III, 17) darauf naher eingegangen,wobei sich zeigen wird, daB sich beide Differentiale bei stationarer Skomungnul' um den Faktor W unterscheiden. Rier sei nul' darauf hingewiesen, daB erganzend zur Kontinuitatsbedingung und zur Bewegungsgleichung anstatt desallgemeinen Energiesatzes als dritte Gleichung auch del' erste Hauptsatz del'Warmelehre (der Energiesatz fUr das bewegte Massenteilchen) genommen werdenkann.8. Stetige Stromung ohne au6ere Einwirkungen.Treten wedel' auBere Krafte noch Energie- odeI' Warmezufuhren in El'scheinung(X = 0;~; =0), steht die Stromung also lediglich unter del' Einwil'kung del'ihren Drucken das Gleichgewicht haltenden Gegendrucke, nicht etwa abel'II, 8.
Stetige Stromung ohne 1tui3ere Einwirkungen.35unter der Einwirkung von Reibungskraften der Umgebung (Wande oder Nachbar·stromfaden), so folgt durch Subtraktion der Bewegungsgleichung (44) vomEnergiesatz (47) sofort:~=o.dx'die Entropie entlang dem Stromfaden ist konstant, die Zustandsanderung imMedium erfolgt isentropisch. Damit ist ein fester funktioneller Zusammenhangvon Druck und Dichte gegeben. Es folgt aus der Bewegungsgleichung (44), ausder Definitionsgleichung (23) fur die Schallgeschwindigkeit c und (24) fur dieMach-Zahl M:W dW =_.!..
(~) de =_~ dedxund weiter:e.!..dee dxoe s dx= _M2_1_We dxdWdx·(48)Wird die Anderung einer GroBe dividiert durch die GroBe selbst (also eine dimensionslose Zahl) als relative Anderung bezeichnet, so sagt Gl. (48) aus, daB dierelative Dichteanderung in Unterschallstromung (M < 1) kleiner, in UberschaIlstromung (lll > 1) groBer als die relative Geschwindigkeitsanderung ist. Fursehr kleine Mach-Zahlen (M1) verschwindet praktisch uberhaupt jede Dichteandetung.
Die Stromung eines kompressiblen Mediums kann in dies em Bereichalso als inkompressibel angesehen werden. Es wurde am Ende von Abschnitt 2gezeigt, daB die Geschwindigkeit bei stationarer Stromung einen Hochstwertnicht zu ubersteigen vermag. Bei sehr hohen Mach·Zahlen finden daher keineAnderungen der Geschwindigkeit, sondern nur mehr solche der Dichte und deranderen thermischen ZustandsgroBen statt, wie auch direkt aus der Kontinuitats·bedingung (1) folgt. Gl.
(48) zusammen mit der Kontinuitatsbedingung (43) gibt:<(1_.iW2)_1_dW _ _I_deW -_.!...!!.LW dx - e W dx f dx·(49)In Unterschallstromung wachst die Geschwindigkeit mit abnehmendem, in Uberschallstromung mit zunehmendem Querschnitt. Bei Schallgeschwindigkeit(M = 1) andert sich der Stromfadenquerschnitt nicht. Die Stromdichte (! Whatdort offenbar ein Maximum.Dje Stromdichte kann darnach in der Umgebung von M = 1 aufgetragenfiber der Mach-Zahl als Parabel angenahert werden.
Das gilt auch fur aIle Auftragungen der Stromdichte uber irgendeiner anderen GroBe, welche im kritischenZustand nicht selbst ein Maximum hat, also uber der Geschwindigkeit, dem Druck,der Dichte usw. Von den zwei Stellen gleicher Stromdichte nahe an M = 11iegtalso die eine ebenso weit im uberkritischen wie die andere im unterkritischenGebiet. Ein senkrechter schallnaher StoB verlauft praktisch isentropisch, d.
h.er springt von einem uberkritischen Wert der Stromdichte auf einen gleichgroBen isentropischen unterkritischen Wert. Damit ist aber fur ein beliebigesMedium gezeigt, daB die Zustande vor und hinter dem StoB in Schallndhe symmetrisch zum kritischen Zustand liegen (1- M = M -1; 1 - M* = M* -1;p-p* = p* - p usw.).Auch bezuglich der Stromdichte also ist der "kritische Zustand" ausgezeichnet.Es werden daher auch die kritischen Werte von Druck und Dichte interessieren,die sich mit der Isentropengleichung sofort aus der kritischen Temperatur ergeben. Fur das id. Gas konst.
sp. W. ist mit Gl. (30) und Gl. (I, 27):~:= ( u!~~1 ) -1;::= (U!1I )x-I .(50)3*II. Stationare Fadenstromung.36Tabelle II, 3: Zustands- und GeschwindigkeiUigrof3en im Strom/aden bei isentroper,stationdrer Stromung .Unterschalltabelle (" = 1,400)...E....M0,050,10,150,20,250,30,350,40,450,50,550,60,650,70,750,80,850,90,951,000,9980,9930,9840,9730,9580,9390,9190,8960,8700,8430,8140,7840,7530,7210,6890,6560,6230,5910,559 .0,5280,0550,1090,1640,2180,2720,3260,3790,4310,4830,5350,5850,6350,6840,7320,7790,8250,8700,9150,9581,000(/0TTo0,9990,9950,9890,9800;9690,9560,9410,9240,9060,8850,8 630,8400,8160,7920,7660,7400,7140,6870,6600,6341,0000,9980,9960,9920,9880,9820,9760,9690,9610,9520,9430,9330,9220,9110,8990,8870,8740,8610,8470,833QPoUberschalltabelle (xM11,051, 11,21,31,41,51,61,71,81,922,533,544,556789102000IM*1,0001,0411,0821, 1581,2311,3001,3651,4251,4831,5361,5861,6331,8261,9642,0642,1382, 1942,2362,2952,3332,3592,3772,3912,4352,44951PPo(/00,5280,4980,4680,4120,3610,3140,2720,2350,2030,1740,1490,1280,0590,0270,01310,006590,003460,001890,0006330,0002420,0001020,00004740,00002360,00000020900,6340,6080,5820,5310,4830,4370,3950,3560,3200,2870,2570,2300,1320,07620,04520,02770,01740,01130,005190,002610,001410,0008150,0004950,00001700(}I0,0860,1720,2560,3370,4160,4910,5620,6290,6900,7460,7970,8420,8810,9140,9410,9630,9800,9910,9981,0000,9990,9950,9890,9800,9680,9540,9370,9170,8930,8660,8350,8000, 7600,7140,6610,6000,5270,4360,3120, 000= 1,400)-TTo0,8330,8 190,8050,7760,7470,7180,6900,6610,6340,6070,5810,5560,4440,3570,2900,2380,1980,1670,1220,09260,07250,05810,04760,01230Ie lV()- c·1,0000,9980,9920,9700,9380,8970,8500,8000,7480,.6950,6430,5930,3790,2360,1470,09330,06040,04000,.0 1880,009600,005260,003060,001870,000065 1°I~Po1,0001,0000,9990,9930,9790,9580,9300,8950,8560,8130,7670,7210,4990,3280,2130,1390,09170,06180,02970,01530,008490,004960,003040,0001080Wahrend aber kritische Temperatur und Geschwindigkeit lediglich an denEnergiesatz gebunden sind und folglich vor und hinter einem Sto13 gleichbleiben,werden kritischer Druck und kritische Dichte aus der kritischen T emperatur unddem Ruhezustand mit Hilfe der Isentrope errechnet, p* und e* andern sich daher,37II, 8.
Stetige Str6mung ohne au.l3ere Einwirkungen.solange - wie im StoB - der Energiesatz (9) gilt, wie die entsprechenden RuhegraBen Po und eo·Tab. II, 4 gibt die kritischen Daten fur verschiedene Verhaltnisse u derspezifischen Warmen. Der Ausdruck __2_ entspricht der Anzahl der Freiheits:>1:-1grade eines Molekuls nach der gaskinetischen Theorie. Fur ganzzahlige Werte von__2_ ergeben sich besonders einfache Zahlenwerte der Ausdrucke ~1' __1-1:>1:-1:>1::>1:usw., was die Rechnung oft sehr vereinfacht. Gase mit Wert en u > 1,66 kommennicht vor, weil ein Molekul mindestens drei Freiheitsgrade besitzt.
Dennochwerden auch die Werte fUr x = 2,00 wiedergegeben, da dieser Wert einer derStramung kompressihler Medien analogen Stramung von Flussigkeiten in flachenoffenen Gerinnen entspricht 4 • Der Wert" = 1,00. 1st nur als unerreichbarerGrenzwert zu verstehen, der zusammen mit" = 1,66 die Grenzen gibt, innerhalbwelcher alle kritischen Werte zu suchen sind.
Auffallend sind die geringen Unterschiede in den Werten von P*/Po und besonders von e*./eo' Beide GraBen strebenfur x~1 nachp* /Po=e* /eo1_ (e = Basis der naturlichen Logarithmen).=VeTabelle II, 4. Kritische W erte idealer Ga8e kon8tante1' 8pezijischer Wdrmen.:>1: ........ .2" -1....W*/ Wmax ..c* /co •......T* / To .....P* /Po ......e* leo ......21,666) ,4001,3331,250235680,5770,8160,6660,4440,6660,5000,8660,7500,4870,6500,4080,9130,8330,5280,6340,3780,9260,8570,5400,6300,3330,9430,8890,5550,6241,200100,3020,9530,9090,5640,6211 100200,2180,9760,9520,5850,6141,00000°1,0001,0000,6070,607Die Steigerung von Unterschallgeschwindigkeiten auf Uberschallgeschwindigkeiten erfordert zunachst eine Abnahme des Stromfadenquerschnittes, bis Schallgeschwindigkeit (M = 1) erreicht wird. An dieser Stelle erreicht der Strom fadenquerschnitt ein Minimum und nimmt dann wieder zu. Eine Duse zur Erzeugungvon Mach-Zahlen M> 1 muB also erst konvergent, dann divergent sein.
Siewird nach dem Schweden DE LAVAL als Laval-Duse bezeichnet. Ihr engsterQuerschnitt weist die eben bezeichneten kritischen Zustande auf und sei daher als"kritischer Querschnitt" bezeichnet.Mit der Bewegungsgleichung (45) ist die Geschwindigkeit durch den Druckdurch folgendes Integral langs einer Isentrope gegeben:P~2 =-J~(51)dp.Po8 =SoNoch schneller kommt man heim id. Gas konst. sp. W. mit Hilfe des Energiesatzes Gl. (9) und der Isentropengleichung (I, 27) zum Ziel. Es ist mit EinfUhrender Maximalgeschwindigkeit:W2W,bax = I -( pPo)~ =I -(eoe ),,-1Direkt aus Gl.
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