K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Der allgemeinere Fall des schiefen StoBesspielt bei allgemeineren Stramungsformen eine Rolle und wird dort besprochenwerden.Explizite Formeln kannen nur fUr das id. Gas konst. sp. W. aufgestelltwerden. Damit wird allerdings auch einer der am meisten interessierenden FaIleerfaBt. Es ist zweckmaBig, in die bereits gewonnenen Formeln Gl. (14) die Machsche Zahl M mit Hilfe von Gl.
(26) einzufuhren. Ferner interessiert das Verhaltnisder Temperaturen und der Mach-Zahlen. Diese sind mit Hilfe der Zustandsgleichung (I, 2), der Gl. (26) und der Kontinuitatsbedingung des Systems (12)leicht durch das Verhaltnis der Geschwindigkeit und Drucke auszudrucken:M2M2 =nr2eW2pWpe P- = w ~.(33)II, 5. Zustandsanderungen im senkr. StoJ3 des idealen Gases konst. spez. Warme.27Damit erhalt man fUr den senkrechten StoB eines id.
Gases konst. sp. W. dieFormeln:W =!L. = 1___2 _ (1--.!-) =eWx+1M2_1_Milo[1 + _x+- I1X0112-1)1;_P =1+~-(M2-1);px+l(34)x-I1 +-x~(M2-1)~= _______________ _1 + ---~ (M2-1)x + 1~~2Die Verhaltnisse der Werte einer GroBe vor und nach dem StoB hangen darnachlediglich von der Mach-Zahl M vor dem StoB ab, woraus allein schon die Bedeutung dieser Kennzahl folgt.Eine sehr einfache, von L. PRANDTL stammende Beziehung folgt mit Gl. (34),(29) und (30):ww =~~ W2X+l+2x+lc2x - I W.=x+lmax=c*2(35)oder auch mit Gl. (31):M* M*=(36)1.Da die Geschwindigkeit im StoB stets absinkt, folgt aus Gl.
(36), daBein senkrechter StoB stets von -Uberschallgeschwindigkeiten zu Unterschallgeschwindigkeiten fUhrt. Er kann also nur in -Uberschallstromungen auftreten.Damit wird auch das Auftreten VOn StoBen verstandlich. Einwirkung VOnden Seiten wurde bei der Ableitung von vornherein ausgeschlosgen. Die UrsachemuB in starken Storungen stromabwarts gesucht werden. Solche starkenStorungen konnen ein Anlaufen einer StoBwelle gegen -Uberschallstromungenbedingen.
Die StoBwelle bleibt schlieBlich an einer Stelle stehen, an welcherihre Fortpflanzungsgeschwindigkeit gerade gleich der Stromungsgeschwindigkeit des Mediums ist.In einer Unterschallstromung vermag sich eine kleine Druckstorung nachallen Richtungen hin bemerkbar zu machen.
Irgendwelche Hindernisse stromabwarts der betrachteten Stelle des Stromfadens machen sich also theoretischiiberall im Stromfaden geltend. Dies ist bei -Uberschallstromungen nicht moglich,weil eine kleine Schallwelle einfach nicht gegen die Stromung anlaufen kann.Befinden sich aber starke Hindernisse etwa in Form von Verengungen im Kanal,so machen sich diese in sprunghaften Aufstauungen, eben den VerdichtungsstoBen geltend.
Ihre Existenz ist zur Erfiillung bestimmter Stromungsbedingungen erforderlich.GroBeres Interesse kommt dem Entropieanstieg im StoB zu. Fiir kleineDruckanstiege wurde Gl. (21) abgeleitet. Mit der Isentrope Gl. (I, 27) laBt sichdie zweite Ableitung von...!:. nach p leicht bilden, woraus dann weiter mit Gl. (34)efolgt:_8 -Cv8 = _,::2 -12 X21 (~_P1)3+...=~ x (x 3(x+ 1)21)(M2 _1)3 +••.(37)28II.
Stationare Fadenstromung.Mit der entsprechenden Gleichung von Tab. II, 5 findet man leicht furMach-Zahlen nahe an M = 1:M2-I = (u+ 1) (M* -1) + ...(38)und mit Gl. (38) als weitere Naherung fUr den Entropieanstieg:8-82- - = - 3 u(u 2 -I)(M*-I)3+ ...(:39)CvFur beliebig starke StoBe folgt aus Gl. (I, 37) und Gl.
(34)§ -Cv8= In[1 +"2"+1(M2 -1)]_ + u In 1-.1-__2~ __ (1 - -~-)J" + IM2'(40)woraus durch Entwickeln wieder Gl. (37) gewonnen werden kann. Vielfachwird bei stationaren Stromungen nicht mit der Anderung der Entropie 8, sondernmit der Anderung des Ruhedruckes gearbeitet. Wahrend die Ruhetemperatur Tonach dem Energiesatz durch das Abbremsen der Geschwindigkeit auf den WertW = 0 vollkommen festgelegt ist, gilt das fur den Ruhedruck Po und die Ruhedichte eo nicht. Es muB noch gesagt werden, wie das Abbremsen der Geschwindigkeit zu erfolgen hat.
Man fordert ein quasistatisches Abbremsen des Mediums,also eine verlustlose - eine isentrope - Drucksteigerung. Der Ruhedruck istdarnach jener Druck, der im besten Fall durch Reduktion der Geschwindigkeitauf den Wert W = 0 erreicht werden kann.Die "Ruheentropie" ist definitionsgemaB gleich der Entropie des betrachtetenZustandes (s = so). Die Ruhedrucke Po und Po zweier verschiedener Zustandedrucken sich durch die Entropien und die Ruhetemperatur To und To mit Gl. (I, 37)fUr ein id. Gas konst. sp.
W. wie folgt aus:Po1n-i'o(~)I To(Cp-C v ) 1n-=cpT- - So-so =Cp nT- Po0(~s-s).0Mit dem Energiesatz folgt wegen des Gleichbleibens der Ruhetemperatur:=In eo.(41)cp-cveoGl. (41) folgt aus der Definition der RuhegroBen und gilt stets, wenn der Energiesatz in Form der Gl. (9) erfUllt ist.
Wie sich zeigen laBt, gilt (41) fur jedes ideale Gas.FUr den senkrechten StoB gilt mit Gl. ((40) und (41):Ineo = Po =eoPo[1 + " 2"+IPoPo= _ 8-S)1-(M2- 11,,-1[1 _ _2_"+I(1 ~ _1_)1M2",,-1(42)Die Ruhezustande vor und hinter dem StoB verhalten sich also genau so wie dieZustande vor und hinter der adiabatischen Ausdehnung eines Gases ohne Arbeitsleistung.
Wegen dieser Verwandtschaft mit dem Drosseleffekt, welcher stetseine Ausdehnung ohne Arbeitsleistung darstellt, wird das Ruhedruckverhaltnisauch als Drosseltaktor bezeichnet.Tab. II, 1 zeigt die Zustandsanderungen in einem senkrechten StoB einesid. Gases konst. sp. W. abhangig vom Druckanstieg im StoB. Die zweite KolonneM kann ebensogut als Machsche Zahl einer stationaren Stromung vor dem StoBals auch als Verhaltnis der Fortpflanzungsgeschwindigkeit U des StoBes Gl.
(28)zur Schallgeschwindigkeit c des ruhenden Mediums gelesen werden. Das Druckverhaltnis ist die fUr den Experimentator "anschaulichste" GroBe und wurde daherhier in die erste Reihe gestellt. Ein Druck von 3000 at herrscht etwa im Laderaumeiner Kanone beim AbschuB. Entsprechende Druckverhaltnisse sind also durchausrealisier bar.II, 5.
Zustandsanderungen im senkr. StoJ3 des idealen Gases konst. spez. Warme.29Tabelle II, 1. Zustand8gro(Jen und Ge8chwindigkeit8betrage vor und hinter einem8enkrechten Sto(J." = c'lJ/c" = 1,400..E....PMjJ1'-PUc11,11,21,31,41,51,7522,533,545681012,51517,52025304050608010015020025030040060080010002000300011,041,081,121, 161,1951,281,361,511,651,771,892,102,302,652,953,303,613,894,164,655,095,876,557,198,309,2711,3513,114,6516,0518,522,726,229,341,450,7PWWf!- -lVc -;c=w l,I.1We-cI1,0351,071,101,131,1551,221,2751,371,451,521,581,681,761,871,952,032,082,122,162,212,242,292,322,342,3652,382,402,412,422,432,432,442,442,442,452,45°0,0690,1320,1910,2460,2990,4180,5250,7090,8671,0081,1331,3581,5531,8902,182,502,783,033,263,694,084,755,345,866,817,649,3810,8512,1413,3115,418,921,824,434,542,3-e11,071,141,211,271,331,481,631,882,112,322,502,823,083,503,824,114,344,514,654,875,035,255,385,475,605,675,785,835,865,895,915,935,955,975,985,99IT8- 8T-iT8-.evT11,0281,0541,0781,1021,1251,181,231,331,421,511,-601,781,952,282,623,043,463,884,305,145,967,639,3011,014,317,626,034,342,651,067,6101134168334501°c."-0,000040,000250,000730,001540,002710,007090,01340,03070,05250,07710,10380,15890,2150,3260,4290,5480,6550,7530,8431,0021,1401,3701,5581,7151,9722,1762 562,833,053,223,503,904,194,415,275,50~Po-8 )e.'CP ( - 8-C'lJ -c"10,99990,99940,99820,99610,99320,98240,96700,92610,87700,82460,77140,67220,58390,44310,34230,25410,19440,15210,12150,08160,057850,03250,02030,01370,007220,004340,001680,0008420,0005420,0003190,00015850,00005830,00002810,00001620,000001910,00000107Aus den errechneten Temperaturverhiiltnissen geht aber hervor, daB beisehr starken St6Ben und normalen Anfangstemperaturen keineswegs mehr mitGasen konstanter spezifischer Warme gerechnet werden kann.
StoBwellenk6nnen offen bar zu Extremwerten von Temperaturen fiihren, wie sie kaum aufanderen Gebieten der Physik erreicht werden. Das Abweichen yom Zustandeines idealen Gases bleibt bei kleinen Anfangsdichten stets gering, da das Verdichtungsverhaltnis im StoB beschrankt bleibt (Abb.7).Die Entropieanstiege oder anschaulicher die Ruhedruckverluste sind beikleineren Druckverhaltnissen unbedeutend. Bei einem Druckanstieg auf denzehnfachen Ausgangswert, was einer Mach-Zahl der Anstromung von etwa M = 3II. Stationare Fadenstri:imung.30entspricht, fallt der Ruhedruck auf ein Drittel.
Die Ruhedruckverluste werdenbei sehr groBer Mach-Zahl schlieBlich auBerordentlich hoch. Ein StoB entsprichtthermodynamisch also bei Mach-Zahlen wenig uber 1 einem Vorgang von sehrgutem, bei hohen Mach-Zahlen einem Vorgang von sehr schlechtem Wirkungsgrad.Tab. II, 2 zeigt einen Vergleich der exakt berechneten Entropieanstiege mitden mit Hilfe der Naherungsformeln Gl.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
