K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 16
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16 zeigt, daB in einem beliebigen Querschnitt f der Diise ein bestimmterGeschwindigkeitsbereich gar nicht vorkommt. Wird eine entsprechende Geschwindigkeit vorgegeben (gestrichelte Kurve) , so endet die Stromung vor demkritischen Querschnitt der Duse, weil sie dart bereits das Maximum ihrer Strom-II, 10. Laval-Diise.43dichte erreicht hat und eine weitere Verengung des Stromfadens daher nicht mehrzulaBt. Auch ein VerdichtungsstoB wiirde zu keiner Losung fUhren, da er eineHerabsetzung der Ruhedichte - also auch der kritischen Dichte - und damiteinen erhohten Raumbedarf im kritischen Querschnitt verursacht. Lediglich derdurch den zweiten Hauptsatz der Warmelehre ausgeschlossene VerdiinnungsstoBwiirde hier zum Ziele fiihren.Die Aufklarung der Eigentiimlichkeit, gewisse Geschwindigkeiten an bestimmten Stellen nicht vorgeben zu konnen, ist darin zu suchen, daB die Vorgabevon Geschwindigkeiten einer mathematischen Methode, nicht aber in diesemFaIle einer physikalischen Bedingung entspricht.
Normalerweise werden beiDiisen entweder die Drucke stromabwarts vorgegeben, indem etwa in einenKessel abgesaugt wird, oder es werden DurchfluBmengen vorgegeben, indemder Diise ein Verdichter vorgebaut wird.Urn den letzteren Fall naher zu erlautern, sei angenommen, daB der Verdichterdie Luft in einen Vorraum der Diise pumpt, in welchem praktisch Ruhedruckherrscht.
Der Verdichter besitzt eine Charakteristik, nach der die DurchfluBmenge (das Ansaugvolumen) abhangig vom Druck Po gegeben ist. Auch dieAbb.17. Druc],;verteilung in der La.\'aldiise der Abb. 16 boi Ycrschiedcnenegendriicken.DurchfluBmenge der Laval-Diise liegt abhangig vom Ruhezustand fest, und eswird sich jener Ruhedruck einsteIlen, bei welchem die DurchfluBmengen durchVerdichter und Diise einander gleich sind.
Solange im engsten Diisenquerschnittkritische Geschwindigkeit herrscht, ist der Verlauf von Moder M* in der Diisenach Gl. (53) vollig festgelegt. Eine Steigerung der DurchfluBmenge andert nichtden ortlichen Wert von M*, sondern nur den von e, indem sie eo andert, und denyon W, indem sie Co und c* andert.Zur Erlauterung der Absaugung in einen Kessel sei ein stetiger Ubergang desQuerschnitts-Verhaltnisses f/t* zu auBerordentlich groBen Werten angenommen(Abb. 17). An irgendeiner Stelle der Diise befinde sich ein senkrechter StoB,nach welchem die Stromung bei Unterschallgeschwindigkeit abgebremst wirdund bei den groBen Querschnitten praktisch zur Ruhe kommt.
1m Kessel herrschtder Ruhedruck Po, den die Stromung hinter dem StoB annimmt und dessen VerMltnis zum Ruhedruck Po vor dem StoB nach Gl. (42) und Tab. II, 1 allein vonder Mach-Zahl M abhangt, bei welcher der StoB stattfindet. Der Gegendruckim Absaugkessel bedingt also einen StoB in der Diise, dessen Lage allein durchdas Verhaltnis Po/Po festgelegt ist. Da die Ruhedrucke hinter StoBen bei wachsenden Mach-Zahlen unter aIle Grenzen sinken, gibt es zu jedem Gegendruck eineLosung entsprechend der Abb.
17. Bei iiberkritischen Verhaltnissen von Druckim Absaugkessel und Ruhedruck gibt es sogar zwei Losungen, wenn Strahlablosungen zugelassen werden. Die Stromung kann sich, ohne die Mach-Zahl M = 1zu iiberschreiten, beim Druck des Absaugkessels von der Wand ablosen, wofiirvor aIlem der kritische Querschnitt selbst in Frage kommt. 1m engsten Querschnitt herrscht dann der Druck des Absaugkessels mit der entsprechendenII. Stationare Fadenstr6mung.44DurchfluBmenge und im divergierenden Teil durchmischt sich die abgelOsteStromung bei gleichbleibendem Druck mit dem sie umgebenden Gas und kommtdabei langsam zur Ruhe.Es ist einleuchtend, daB die Stromung in der Laval-Duse durch Reibungsvorgange beeinfluBt wird, vor allem wenn Druckanstiege auftreten.
Bei DruckabfaH ist der ReibungseinfluB gering und die Druckverteilungen konnen zufriedenstellend aus den Querschnitten errechnet werden. Ein Vergleich zwischen Theorieund Versuch ist in Abb. 28 des Abschnittes iiber Kondensationserscheinungengegeben. Beim Auftreten von StoBen (Abb. 17) in Dusen verursachen allerdingsdie Reibungsvorgange ein erhebliches Abweichen der Versuche von dieser einfachen Theorie. Die Erklarung kann nicht mehr im Rahmen der Stromfadentheorie gegeben werden, auch tritt gerne Ablosung ein (Abschnitt XI, 7).Laval-Dusen finden in der Windkanaltechnik, der Raketentechnik und in derDampfturbinentechnik ausgedehnte Anwendung.11. Kanal mit zwei Verengungen.Zu einigen interessanten Resultaten fiihrt ein Kanal mit zwei Verengungen,wie er durch das Hintereinanderschalten zweier Laval-Dusen gegeben ist.
DieseAnordnung spielt fur die Uberschallwindkanaltechnik eine wichtige Rolle(Abb. 18). 1m Parallelstuck zwischen den beiden kritischen Querschnitten fl undfs herrsche - bei genugend stark em Druckgefalle und geniigend weit geoffnetemzweiten kritischen Querschnitt fa - abJ_---_______hangig yom Querschnitt f2 des ParallelP:/.5'.1/)/1-----stiickes eine Mach-Zahl M 2. Der senk~~rechte StoB, der bei dieser Mach-Zahl auf<i treten kann, habe ein Ruhedruckverhalt'---- - -- -- - - -- - - - nis P20/P20. Dann ist fur die geschilderteAnordnung folgender Bereich kritischerPil'~ l.1b1//Querschnittsverhaltnisse von besonderemVInteresse:~/'~l"--_ _ _ __ _ _ __ _ _ 01 >~fa,,~__~~=======-V~______> P20,(59)P20denn er laBt mehrere Losungen ZU, wennausreichendes Druckgefalle da ist.Stets wird im ersten kritischen Quercschnitt Schallgeschwindigkeit herrschen.+.
~ Es ~~:g:~~enKanalUberschallstromung~ herrschenmit einem Minimum in f3'2.kannsich zwischen den beiden QuerAbb. 18. Verlauf der ~Iach - Zahl in einem zwei·mal verengten Kana!.schnitten fl und f3 ein senkrechter StoBbefinden, der vor f3 auf Unterschall und inf3 gerade wieder auf Schall fuhrt. Da nun durch beide kritische Querschnittebei kritischer Stromung die gleiche DurchfluBmenge flieBen muB, gilt mit Gl.
(50)__....L...._ _1G=fIel WI= fI12)--;;-=}2 )--;;-=} e30·WI ( ,,+Iel0 = f 3 e3 W3 = f 3 W3 (-,,~Die kritische Geschwindigkeit bleibt durch den StoB ungeandert, also ist W3 =Die Ruhedichten verhalten sich wie die Ruhedrucke, also ist mit Gl. (59)WI.II, 12. Die Mach-Zahl im 8-i-Diagramm.45Das Ruhedruckverhaltnis im StaB muB groBer sein als bei einem moglichen StaBim Querschnitt f2. Der StaB muB also bei einer kleineren Mach-Zahl, er muB ineinem Querschnitt f < f2 liegen.
DafUr konrite es allenfalls noch zwei Moglichkeiten geben, indem sich der StaB zwischen f1 und f2 oder zwischen f2 und f3 befinden konnte. Die letztere Lage ist aber instabil.Dies ist sofort einzusehen, wenn angenommen wird, daB der StaB, durch einekleine Storung veranlaBt, stromaufwarts ruckt. Er ruckt dann zu hoheren MachZahlen und damit zu starkeren Ruhedruckabsenkungen. Die Folge ist, daBauch die DurchfluBmenge in f3 absinkt, d.
h. der Raum zwischen StoB und 13muB sich mit stromendem Medium anfullen und den StaB weiter stromaufwartstreiben. Dieselbe Uberlegung fuhrt zum SchluB, daB ein zwischen 12 und 13stromabwarts ruckender StaB weiter stromab gesaugt wird, daB also ein zwischen11 und 13 befindlicher StoB labil ist. Es befindet sich zwischen zwei stabilen einelabile Stromungsform.Die Stromungsform Abb. 18 c entsteht, indem der Druck stromabwarts vonf3 ausgehend yom Ruhedruck p = PlO langsam abgesenkt wird. Die Stromungsform Abb. 18a kann erhalten werden, wenn der Querschnitt 13 bei bereits herrschender Uberschallstromung ausgehend von 13 = f2 verengt wird. Sie ist nichtleicht realisierbar.Die ubrigen denkbaren Querschnittsverhaltnisse sind uninteressant.
Furf11/3 > 1 herrscht in f3 kritischer Zustand und stromaufwarts Unterschallstromungmit einem Geschwindigkeitsmaximum in fl. Fur f1/13 < P20!P10 herrscht stromabwarts von f1 Uberschallstromung, ein StoB kann sich zwischen 11 und 13 nichthalten.Es interessieren noch die Verengungen f3/12' welche zulassig sind, wenn dasAuftreten von StoBen im Kanal eben noch verhindert werden soll. Sie sinddurchf3t; -f3 11P20r; t;122 W 2P20 e* W*gegeben und mittels Gl.
(42) fUr den Ruhedruckverlust und Gl. (53) fur die Stromdichte abhangig von M 2 leicht zu berechnen. Es ist:Zuli.i8sige Verengungen bei Vermeidung von StO{J n (y.M2 .... ... ..f3... ......t;=11,.522,534510,9150,820,760,720,670,651,400).100,60(Xl0,60Darnach sind nur verhaltnismaBig geringe Verengungen erlaubt, wenn die Losungmit Stoll, Abb. 18 c, ausgeschlo sen werden soJlls.12. Die Mach-Zahl im s-i-Diagramm.Wegen der U nubersichtlichkeit vieler gasdynamischer Formeln und der thermodynamischen Gleichungen, sobald die Aussagen auf nicht ideale Medien ausgedehnt werden sollen, ist es zweckmaBig, die Vorgange an Hand von Diagrammenzu verfolgen. In diesen erscheinen komplizierte Funktionen meist als recht einfache, glatte Kurven.
Fur nicht isentrope Vorgange, die im folgenden untersuchtwerden sollen, bietet sich wegen der Bedeutung von i im Energiesatz das 8-i-Diagramm (oder Mollier-Diagramm) an. In ihm werden sich die Vorgange in Richtung wachsender Entropie 8 abspielen.Fur Vorgange ohne Energiezufuhr gilt dabei der Energiesatz [Gl. (7)], womitdie Ordinate i als verzerrter MaBstab der Geschwindigkeit und beim idealenII. Stationare Fadenstromung.46Gas auch als verzerrter MaBstab der Temperatur, del' Schallgeschwindigkeitund der Mach-Zahl aufgefaBt werden kann.Die Stromdichte e W und der Ausdruck e W2p, die sogenannte Impulsdichte, sind fur jedes Medium mit dem Energiesatz Gl. (7) auf thermische ZustandsgroEen allein ruckfuhrbal'. Damit konnen Kul'ven konstantel' Impulsdichte und konstanter Stl'omdichte in das s-i-Diagl'amm eingezeichnet werden.Letztere heiBen auch "Fanno-Kurven"* (Abb. 19).
Die Eigenschaft del' Stl'omdichte- und Impulsdichtelinien, bei M = 1 einen Extl'emwert der Entropiezu besitzen, kommt jedem Medium zu und nicht etwa nur id. Gasen konst. sp. W.,+N~p p~~~~~~~~~~~==~~~-----.i. ,.,191,5I,IJ70,1Jf!.Q,5(JAbb. 10. (- -) Stromdichte· und (- - -) Impulsilichtelinien 1m s-i-Diagrnmm fiir das idea Ie Gas mit" ~ 1,400.die der Abb. 19 zugrunde gelegt sind. Mit der Definitionsgleichung del' Entropie(I, 35) und dem Energiesatz Gl. (7) gilt:Tds=di-~dp=-WdW-~dp.eHiel'aus folgt fur eine Stromdichtelinie (Weo=d(e W)= (1-(60)e=konst.):= ( ~~ )s W dp + ( ~; )p W ds+ f] d W=~2)edW-[ec; -(~nJWd8.In der eckigen Klammer stehen zwei positive Ausdrucke. Bei konstantem DruckmuE namlich die Entropie mit fallender Dichte stets zunehmen, denn es ist Warmezufuhr erfol'del'lich, um den Druck bei fallender Dichte aufrechtzuerhalten.Die Entropiezunahme ergibt sich dabei aus der Warmezufuhr auf reversiblemWege.
Da del' Ausdruck in del' eckigen Klammer nicht Null sein kann, muE beiW = emit der Stromdichtenanderung auch die Entropieanderung verschwinden.Fur die Anderung del' Impulsdichte gilt mit Gl. (60) und del' Gleichung furdie Anderung der Stromclichte:d(p+ e W2)=dp+ We dW + W d(e W)= (1_~2) e dW -[e T (~2+=-+ 1) -f]T dsW2+ W d(e W)(~; )Jds.=Auf einel' Impulsdichtelinie (pe W2 = konst.) hat die Entropie bei W = cebenfalls ein Maximum. Die Gleichung kann auch wie folgt gelesen werden:* A.STODOLA:Dampf- und Gasturbinen, S.50. Berlin. 1924.47II, 13.
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