K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 17
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Rohrstromung mit Reibung.Bei konstanter Entropie (Laval-Duse) hat die Impulsdichte zugleich mit derStromdichte (bei M = 1) fUr jedes Medium einen Extremwert.1m kritischen Querschnitt verlauft darnach die Zustandsanderung jedesMediums beim AusschluB von Energiezufuhr isentrop, auch wenn auBere Krafteeinwirken.Mit der Zunahme der Entropie ist eine Abnahme des Ruhedruckes und damitder kritischen Dichte verbunden. Da die an den Energiesatz gebundene kritischeGeschwindigkeit W* gIeichbIeibt, falIt also mit steigender Entropie die kritischeStromdichte. In der fur id. Gase konst. sp.
W. gezeichneten Abb. 19 sind dieStromdichte- und Impulsdichtelinien auf die zur Entropie 8 1 geharigen kritischene1* W*2 (es ist ja W1* = W*, i1* = i*, T1* = T*)GraBen e1* W* und P1*bezogen. Die Stromdichtelinien ("Fanno-Kurven") ergeben sich wegen iji o == T jTo mit der Gl. (I, 37) fUr die Entropie:+8 81-=C= Inivi* +(Yo -(x -In -.i ~*W.1) In W* -1) In -ee1*=We1) In w* e*'(x -Daraus folgt mit dem Energiesatz und durch Einsetzen der kritischen Verhiilt.W*i*nlsse -.- und - W :~o8- 81- - - = In--;-i (~oCvmax1---;- )-2N-li~o-+"1 )-2N-l2-ln~1"(" -1I"We *.(x-1)ln W*(61)(!Zur Berechnung der ImpuIsdichteIinien sei von folgendem Ausdruck fUr dieImpulsdichte id.
Gase konst. sp. W. ausgegangen:P + e W2 = P (1+ Yo M2) = P : + ~ (,,~" 17-1).(62)Mit der Entropiegleichung fUr Enthalpie und Druck ist dann nach Einfuhrender RuhegraBen:8C 8 1_v=InUJN ( "~ 1~o-1-(x-1)lnrP11-In ( " !1 )" (x _ 1)P + e*+*W*2'e1W2N-1+(63)Die Stromdichte- und Impulsdichtelinien gehen [Gl. (61) und (63)] durchVerschiebungen in Richtung der Entropieachse ineinander uber, was den Zeichenaufwand fur das Diagramm (Abb. 19) bedeutend herabsetzt.Fur nicht ideale Gase hangt die Mach-Zahl nicht nur von i, sondern auchvon 8 ab, was das Einzeichnen von Mach-Linien erforderlich macht.Die Zustandsanderung im VerdichtungsstoB kann aus Abb. 19 sofort abgelesen werden. Die Zustande vor und hinter dem StoB mussen auf gemeinsamenStromdichte- und ImpuIsdichtelinien liegen.
Man sieht wieder, daB nur einSprung von UberschalI- auf Unterschallgeschwindigkeiten mit einem Anwachsender Entropie verbunden ist.13. Rohrstromung mit Reibung.Es solI hier lediglich die Rohrstramung mit Reibung ohne Energiezufuhrdurch die Wande behandelt werden. Auch die Schwerkraft bleibe wieder unberucksichtigt, so daB der Energiesatz in der Form der Gl. (6) gilt. Damit kanndas Diagramm Abb. 19 angewendet werden und gelten aIle Aussagen desAbschnittes 4 bezuglich der kritischen Geschwindigkeit idealer Gase.II. Stationare Fadenstromung.48Unter einem Rohr wird in diesem Buch stets ein Kanal konstanten, aber nichtnotwendig kreisformigen Querschnittes verstanden.
In ihm bleibt also die Strom·dichte konstant. Das Fortschreiten eines Teilchens im Rohr entspricht demVorrucken auf einer "Fanno-Kurve" im s-i-Diagramm. Da die Entropie einesTeilchens im Rohr wie beim VerdichtungsstoB nur zunehmen kann, weil sonstan del' betrachteten Stelle im Widerspruch zum zweiten Hauptsatz der Warmelehre fortlaufend Entropieverminderungen eines abgeschlossenen Systems stattfanden, kann die kritische Geschwindigkeit nach Abb. HI yom Medium stetignicht uberschritten werden.Denn jedes Medium hat bei konstanter Stromdichte bei M = 1 ein Entropiemaximum. Bei stetiger Anderung nahert sich die Stromung in jedem FaIle derkritischen Geschwindigkeit, sei es, daB die Mach-Zahl bei Unterschallgeschwindigkeit ansteigt oder bei Uberschallgeschwindigkeit abnimmt.Sicher ist die Wandreibung und damit die Entropiezunahme pro Langeneinheit urn so groBer, je hoher die Geschwindigkeit, je groBer also die Mach-Zahl ist.Die Stromung vermag bei kleinerer Mach-Zahl stets ein groBeres Rohrstuck biszum Erreichen von M = 1 zu uberwinden als bei hoheren M-Zahlen.
Bei Uberschallstromungen in Rohren, welche zu einer kritischen Stromung und damit zueiner uniibersteigbaren Schranke bereits vor dem Rohrende fiihren wiirden,wird die Stromung daher in einem StoB auf Unterschallgeschwindigkeit springenund dann bei steigender Mach-Zahl am Rohrende gerade wieder den kritischenZustand erreichen. Allerdings macht das Medium auch im StoB einen Entropieanstieg mit, jedoch ist der besonders bei schwachen StaDen nicht groB.
DerDruck p*, den das Medium ausgehend von einem bestimmten Zustand bei 2~[ = 1erreicht, ist, unabhangig ob ein StoB auftritt oder nicht, stets der gleiche, da ernur yom Ruhedruckabfall, also yom Entropieanstieg abhangt. Dieser ist aberbis zum Erreichen des kritischen Zustandes, wie dies auch geschehen mag, stetsderselbe (Abb. 19).Wie in der Laval-Duse bestimmte Geschwindigkeitsbereiche ausgeschlossensind, bei welchen der kritische Zustand schon vor dem kritischen Querschnitterreicht wurde, sind auch bei der Rohrstromung jene Mach-Zahlen nicht realisierbar, welche vor dem Rohrende zu Wert en M = 1 fiihren wurden.
Sie konnenebensowenig wie in der Laval-Duse durch Hereinpumpen des Mediums erzwungenwerden, da dies nur zu einer Drucksteigerung, nicht aber zu einer Anderung derMach-Zahl fuhrt.Urn uber diese fur jedes Medium geltenden qualitativen Aussagen hinaus zuquantitativen Aussagen zu kommen, bedarf es eines Ansatzes fur die Reibungskraft, welche in der Bewegungsgleichung (44) an Stelle der auf die Masseneinheitbezogenen Kraft X einzufiihren ist.Mit 'iw als Wandschubspannung (Kraft pro Flacheneinheit) und U als (innerem)Rohrumfang wirkt auf der Langeneinheit die Reibungskraft U'i w .
Auf derLangeneinheit wirkt die Massenkraft X ef, womit die Reibungskraft als eine durchdie Gleichung(64)X e f = U'iwgegebene Massenkraft angesehen werden kann.Die Wandschubspannung sei in ublicher Weise proportional dem "Staudruck"angesetzt* :1\ e W 2'iw =4-2-'(65)wobei angenommen werden muB, daB die Widerstandszahl i, nicht nur von der* L.PRANDTL:Fiihrer durch die Stromungslehre, S. 145. Vieweg. 1942.49II, 13. Rohrstromung mit Reibung.Reynoldsschen Kennzahl, sondern auch von M abhangt (siehe Abschnitt IV, 4).Mit Gl.
(64) und (65) ist:(66)Damit ist die Kraft X durch W ausgedruckt. Das Verhaltnis 4 flU werde alshydraulischer Durchmesser bezeichnet. Es ist der Durchmesser des Rohreskreisformigen Querschnittes mit gleichem Wert von 4 flU. Die Reibungsvorgangein Rohren verschiedenster Querschnittsformen konnen also miteinander verglichen werden.
Die mit dem Durchmesser des Rohres gebildete ReynoldsscheKennzahl ist in allen Teilen des Rohres im wesentlichen gleich, und die Versuchezeigen, daB A innerhalb der MeBgenauigkeit als unabhangig von M angesehenwerden kann. X variiert darnach in Stromungsrichtung nur mit W2.Der Ausdruck (66) fur die Kraft in die Bewegungsgleichung (44) eingesetzt,gibt mit der Kontinuitatsgleichung (43) und der Energiegleichung (46) (mit:! =0) drei Gleichungen mit der Geschwindigkeit W und zwei voneinanderunabhangigen thermischen ZustandsgroBen als unbekannten Funktionen von x.Die Gleichungen werden zweckmaBig auf eine einzige Gleichung fur die MachZahl reduziert, welche mit Tab. II, 5 fUr das id.
Gas konst. sp. W. folgende Formhat:I+I-M2_1_ dM =1 M2 M% -dx2},~jW2~.24f(67)Nun kann wegen der Unabhangigkeit der Widerstandszahl }, von x integriertwerden. Wird fUr x = 0: M = 1 gesetzt, so folgt aus Gl. (67)~%(1 __M21 )+ ~ln[1 __% +2__I (1 __1)] =.!-!!-.x.2%M24/(68)Gemessen allerdings wird stets der Druckverlauf im Rohr abhangig von derDurchfluBmenge pro Flacheneinheit Glf = (2 W. Mit der Zustandsgleichungund mit Tab. II, 5 ergibt sich, wenn der Ruhezustand des Gases yor dem Rohrmit dem Index 0 bezeichnet wird:pTePo = Toeo =TGTo / eo WG(2)"/ eo* W* ~="-1I-M V=I=+=---:--'-=~==:,r-=(M-2---'I-'-) .Hierin ist f (20* W* = Gmax die maximale DurchfluBmenge, welche uberhauptbeirri gegebenen Ruhezustand moglich ist.
Mit Po* als kritischem Druck zu Poist dann:Po*PGmaxPo-G-MV] + -:; ===--cc~ (M~-l)-·Po(69)Darnach ist das Verhaltnis.1!- GmGax Funktion der Mach-Zahl allein. Mit diesemPoVerhaltnis oder der Mach-Zahl aufgetragen uberA4~ x konnen alle stoBfreienDruckverlaufe in Rohren auf eine einzige Kurve reduziert werdenl l .Durch Subtraktion der Bewegungsgleichung (44) von der dem Energiesatzentstammenden Gl. (47) ergibt sich:dsW2 UT dx =X=A 2 4T"Oswatitsch, Gasdynamik.(70)4II. Stationare Fadenstromung.50Durch Einfuhren der Mach-Zahl mit G1. (26) ist dann der Ruhedruckabfallnach G1.
(41) im Rohr zwischen Xl und x 2 gegeben durch:In~P02=1'2~2-81cp-c v=~J;.M2~dx.2(71 )4/x,Noch einfacher wird dieser Wert der "Fanno-Kurve" 1m s-i-Diagramm entnommen:Abb. 20 und 21 zeigt Druckverteilungen in Rohren nach FROSSELI2, diebei Reynoldschen Zahlen im Bereiche 3.104 < Re < 4.10 5 (entsprechendeWiderstandszahlen im Bereiche 0,022 > A > 0,013*) durchgefuhrt wurden.JAbb. 20. Druckverteilung bei Unterschallgeschwindigkeit nach W. FROSSEL.10I.!.elf;ZOZ.1Abb. 21. Druckvcrteilung bei UlJerschalIgeschwindigkeit nach W.
FROSSEr,.Der kritischen Geschwindigkeit entspricht nach G1. (69) und Tab. II, 4 ein Wertvon .1!.- _GmGax = 0,528, der im Rohr nicht durchschritten werden kann und der beiPogenugend starken Unterdrucken am Rohrende zu erwarten ist. Man errechnetfUr folgende DurchfluBmengen aus den Messungen von FROSSEL am Rohrende:Abb. 20Abb. 21-------~----------~G/Gmax ..... 0,452P Gmax-0,498PoG0,4900,5520,6290,7500,7250,6700,3730,5000,4700,4780,4660,5020,4850,482Darnach werden die kritischen Druckwerte manchmal erheblich unterschritten,wozu allerdings nur eine kleine Unterschreitung von M = 1 erforderlich ist.
Eshandelt sich dabei zweifellos um einen Effekt am Rohrende, welcher mit einereinfachen Stromfadentheorie nicht mehr erfaBbar wird.Abb. 22 zeigt den Verlauf der durch GJ. (68) und (69) gegebenen Kurve unddie Reduktion der Frosselschen Versuche auf:0 G~ax als Ordinate und ~ ~Xals Abzisse. Diese ist am Rohrende Null gesetzt. Die Kurve ist vollig festgelegt,wenn am Rohrende kritische Geschwindigkeit herrscht. Das gilt auch fUr dieStromung stromabwarts eines StoBes. Fur jeden anderen Fall, auch fUr dieUberschalldruckverteilung vor dem StoB (Abb. 22, Uberschall: G/Gmax = 0,670und 0,373) muB der Druck am Rohranfang oder in irgendeinem anderen Punktals "Anfangsbedingung" der Differentialgleichung (67) gegeben sein.* L.
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