K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 24
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Besolldersim Kanonenrohr wird dabei gut mit kOllstanten Zustanden uber den Querschnittgerechnet werden konnen. Die genallntell Vorgange werden daher vor aHem denVorstellungen bei den Ableitungen dieses Abschnittes zugrullde liegen.Die Kontinuitiitsbedingung hat wieder fur eine massen-queHenfreie Stromungauszudrucken, daB die zwischen den bewegten Endquerschnitten eingeschlosseneMasse zeitlich konstant sein muB.
D. h.:X2(t)a2Je 1dx = a,Jeo 10 da =konst.(6)x,(t)Mit dem Index 0 ist dabei der Zustand zur Zeit t = 0 bezeichnet, wobei moglichstein Ruhezustand als Ausgangszustand zu wahlen sein wird. 1st der Ausgangszustand kein Ruhezustand, so unterscheidet sich allerdings die Bezeichnung vonjener bei stationarer Stromung. Jedoch gibt dies kaum zu Irrtiimern AnlaB,weil dem Ruhezustand bei instationarer Stromung keineswegs dieselbe Bedeutungzukommt wie bei stationaren Vorgangen. Bei instationaren V organgen kannnamlich durch Ubergang in ein bewegtes Bezugssystem fur ein bestimmtesTeilchen stets jeder beliebige Zustand zum Ruhezustand werden.
Dies ist beieiner stationaren Stromung nicht moglich, weil diese im bewegten Bezugssystemsogleich zu einer instationaren Stromung wird.Die Kontinuitatsbedingung in Lagrange-Koordinaten ist schon allein durchdie zeitliche Unabhangigkeit des Integral8 uber eo 10 da, der Masse des Elementesda, gegeben. In dieser DarsteHung klingt die Kontinuitatsbedingung nahezutrivial.
Das Integral uber x zeigt folgende Beziehung fur die Massenelementein Eulerscher und Lagrangescher Schreibweise:eldx=eo/oda.(7)Die Kontinuitatsbedingung (6) druckt eine Massenbeziehung, die cntsprechendeGl. (3) eine DurchfluBmengenbeziehung(l\~:::e)aus.
Durch zeitliche Ableitungvon Gl. (6) ist ein Vergleich sofort moglich. Es zeigt sich, daB sich die beidenKontinuitatsbedingungen, wie auch entsprechend die anschlieBend abgeleitetenImpuls- und Energiesatze, durch die MassenfluBglieder 1 W durch die Endflachen unterscheiden. Wird namlich das Integral uber x in Gl. (6) bei festem xnach t abgeleitet, so sind auch die zeitlichen Ableitungen nach der oberen undunteren Grenze auszufuhren, was gerade die entsprechenden Glieder ergibt.eFur eine Funktion F (x, t) gilt mit dd als gewi:ihnlicher und aa und ~ als partiel\erttaxAbleitung bei festem x und t:j. ,(x, t) dx j.X2(1)d-dt}fx:(t)x,=x:of--,-- dxr:t"-+-dJ: 2l' (x 2 , t)-l- Itl'!(Xl.t)d.r!1-·(tSpeziel\ in diesem Abschnitt ist _d~!/ - ~~ l'V 1; ~~2_ ~= W 2.Der Impulssatz als Gleichung fUr die BewegungsgroBen und nicht wie Gl. (4)fUr deren Strome aufgestellt, driickt aus, daB die Differenz der BewegungsgroBenIII, 5.
Differentialgleichungen in Eulerscher Darstellung.71in Richtung der Kraft K zu den Zeit en t und t = 0 gleich ist dem Zeitintegralder Krafte zwischen 0 und t. Wieder sollen die Druckkrafte auf die Endflachengesondert geschrieben werden:a,W (a, 0) cos{} (a, 0)] eo 10 daf[W (a, t) cos{} (a, t) t= fK=tdt+0ft)+ e (a, t) -(PIlI COS{)l - P2 12 cos {}2) dt.(8)oGanz entsprechend ergibt sich die Gleichung fur die Energie (und nicht fur denEnergiestrom) :J[ W2~,a.tW2~, 0)e (a,-0)] eo 10 da=t=fLdt +f(PI WIll-Pi! W 212)dt.(9)o0Dabei stehen im letzten Glied die Arbeitsleistungen der Druckkrafte an den Endflachen. Fur den allgemeinsten Fall zeitlich veranderlichen Querschnittes I (x, t)ist wieder auf die entsprechenden Arbeitsleistungen zu achten.Grundsatzlich konnen die Integralsatze (6), (8) und (9) nach einer zeitlichenAbleitung ganz entsprechend zu den Satzen des letzten Abschnittes hingeschriebenwerden, doch werden in den folgenden Anwendungen gerade die hier wiedergegebenenFormen verwendet.Mit Hilfe der Integralsatze dieses oder des vorhergehenden Abschnitteskonnten nun die Bedingungen fiif instationare StoBe gefunden werden.
Jedochist es bedeutend einfacher, die erforderlichen Gleichungen zu gewinnen, indemman den stationaren StoB aus einem gegen den senkrechten stationaren StoBin Stromungsrichtung bewegten Bezugssystem betrachtet.5. Differentialgleichungen in Eulerscher Darstellung.Die Anwendung der Integralsatze auf Langenelemente dx liefert sofort dieentsprechende Differentialgleichung. Dabei ergeben die Differenzen der in denEndflachen 12 und 11 auftretenden GroBen dividiert durch dx die ortlichen Anderungen der entsprechenden GroBen. Beispielsweise ist in der Grenze:lim12e2W2:-::11_(hW~_=~W =Ie oW +IW~+eW~.
(10)ax ->- 0dxoxoxoxoxMit dem im allgemeinen vorgegebenen Querschnitt 1 auf der linken Gleichungsseite lautet die Kontinuitatsbedingung G1. (3) dann:~~eot+W ~ -+- oWe ox 'ox= ~j~ +e dtoWox=_!'_ 81fox_~!1 =_~ df1otfdt·(Il)Zur Ableitung der Bewegungsgleichung ist der Impulssatz G1. (4) wieder aufeinen Kegelstumpf (Abb. 13) anzuwenden. Die Rechnung unterscheidet sichim ubrigen von jener bei stationarer Stromung nur dadurch, daB partielle Ableitungen nach der Zeit auftreten, von den en jene der Dichte~~ nach Anwendungder Kontinuitatsbedingung G1. (11) wegfallt. Mit X als Massenkraft in x-Richtung bezogen auf die Masseneinheit ist:oWot+WoWox=dWdt=_~~e ox+ X.In der Bewegungsgleichung fehlt also wieder der Querschnitt(12)f.III. Instationare Fadenstromung.72Bevor der Energiesatz in die differentiierte Form ubergefiihrt wird, sei dieLeistung L genauer ausgedruckt.
Sie besteht erstens aus der von auBen zugefuhrten Warme. Die der Masseneinheit eines Teilchens insgesamt zugefuhrteWarme war q [Gl. (I, 8)1. Mithin ist die der Masseneinheit pro Zeiteinheit zugefuhrte Warme:~ und die der ganzen Masse in der Zeiteinheit zugefiihrte Warme :r"'2d'l.dT /(!(13)dx.Zur zeitlichen Verengung des Stromfadens wird auch Leistung aufgewendet, diesich aus dem Produkt von Druck p und zeitlicher Volumenabnahme auf derStrecke dx ( - p~::dX) ergibt,(14)Die Arbeitsleistung der auBeren Krafte X in x-Richtung ist schlieBlich"'2fX(!f W dx.(J.5)Dieser Ansatz hat zur Voraussetzung, daB die KraHe auch wirklich an denbewegten Teilchen angreifen und auf diese Weise Arbeit leisten. Das wurde nichtzutreffen bei Reibungskraften an ruhenden Wanden.
In diesem Abschnitt interessieren aber Reibungskrafte kaum. Sie werden in allgemeinster Form spaterbehandelt. Nach Einsetzen von L:I :~ / -Ip ~:XZL=X2(!dxIxX2dx+(! /W dxin Gl. (5) und Anwendung dieser Gleichung auf eine Strecke dx ergibt sich naf'llkurzer Rechnung+ e) [J)fatQ + ~af axe W] + f (! _~[W2 + e1 + / W ap + p(~2dt2ax=dq_ffl_P~dt"at+Xaf ~ax=a/W.~Mit der Kontinuitatsbedingung Gl. (11) fallt der erste Summand weg und konnendie Glieder mit pals Koeffizient transformiert werden. N ach Division durch f I!folgt schlieBlich:.!£ (W2 + e) _dt2Ee2dedt+ ~.!E=e ax_c}J~dt+XW.(16)Die Glieder dieser Energiedi/ferentialgleichung lassen sich in verschiedensterWeise zusammenfassen, doch fiihrt keine zu einer ahnlich ubersichtlichen Formwie bei stationarer Stromung.
Es ist daher am besten, die KriiJte mitder mit W multiplizierten Bewegungsgleichung (12) zu eliminieren, womit derEnergiesatz in dem fur das Teilchen ruhenden Koordinatensystem, d. h. clererste Hauptsatz der Warmelehre gewonnen wird:!!q= aq+W~= T!!!...=~+ .!£~=dtataxdtdtp dt Q= ~at+ W axae. + p~J:.+ p W ~J:..ot eax e(Ii)73Ill, 7.
Stromungen ohne Beschleunigung.Er gibt bei instationarer Stromung die beste Erganzung zu den Differentialgleichungen der Bewegung und der Kontinuitat.Wiirden die Krafte X keine Arbeit leisten, wie dies bei Reibungskraften, diean ruhenden Wanden angreifen, der Fall ist, so wiirde der Summand mit X inder Energiegleichung (16), nicht aber in der Bewegungsgleichung (12) fehlen.Nach Subtraktion der mit W multiplizierten Bewegungsgleichung stiinde inG1. (17) neb en~~ noch - W X, d.
i. die von den gegen die Geschwindigkeitgerichteten Reibungskraften produzierte Warme.Bei stationarer Stromung fallen aIle partiellen Ableitungenweg und die partielle Ableitung:xkann durch:x:t nach der Zeitersetzt werden. Es kann femerdurch W dividiert werden, womit die Gleichungen des Abschnittes II, 7 wiedergewonnen sind.6. Differentialgleichungen in Lagrangescher Darstellung.Zur Ableitung dieser Gleichungen kann sowohl von den entsprechendenIntegralsatzen als auch von den Differentialgleichungen des letzten Abschnittesausgegangen werden.
Der zweite Weg soli hier begangen werden.Die Kettenregel der Differentiation (Abschnitt 2) liefert fUr eine beliebigeFunktion g mit G1. (7):og ) ( Og) (OX)(aat = ax t 8a tOg) (ot)eo to (Og)+ (at'" ··oa t = eTax t·(18)Mit G1. (1) ergibt sich dann nach kurzer Transformation aus der Kontinuitatsbedingung (11)o (eo to) _ oWat eT -aa'(19)worin eo und to Funktionen von a sein konnen. Da die Geschwindigkeit W selbstdie zeitliche Ableitung von x bei festem a darstellt, kann W und x in gleicherWeise als Unbekannte gewahlt werden. Man gewinnt die KontinuitatsbedingungfUr x durch Integration von G1.
(19) nach der Zeit:eo 10oxoaeT(20)oder auch direkt aus GI. (7).Mit GI. (18) folgt aus der Bewegungsgleichung (12) sofortoW _ c2 x---at -- ot2flop_--To eo fu+X.(21)Die noch fehlende Beziehung zwischen Druck und Dichte wird durch denersten Hauptsatz GJ. (17) gegeben. Er lautet in Lagrangescher Darstellung:!!L _ oeot - ot~.!.. _+ p ot e -Tosot .(22)Wo keine Warmezufuhr stattfindet (und auch keine Warme durch Reibung entwickelt wird), muB also mit GI.
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