K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 26
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Damit ist annahernd W_dpwenn -P=W G2-4 - - 2 cu< lIst.=~ W (;,.Wird von auBeren Kraften abgesehen (freier Rohrrucklauf, wah rend dasGeschoB im Rohr ist) und wird der Nullpunkt der Zeitzahlung in den Ruhezustand vor der Auslosung des Schusses verlegt, so kann der Impulssatz (8) mit fals Rohrquerschnitt wie folgt geschrieben werden:a2tJ W(a, t) eo f da = f (PI a a,P2)0=f dt.Hierin sei a l der Rohrboden mit dem zeitlich veranderlichen Druck PI und a 2cler .GeschoBboden. Die Reibung des Geschosses an der Rohrwand werde vernachJassigt, dann sind PI fund P2 f die auf Rohr und GeschoB wirkenden Krafte,woraus sich mit ]}[ R, W R und M G, W Gals Masse und Geschwindigkeit von Rohrund GeschoB nach NEWTON ergibt:dWRdWoM R -at = - PI f;llfG d t = + P2 f·Zur Berechnung des Impulsintegrals des Treibstoffes solI der lineare Geschwindigkeitsansatz fur Stromung geringer Beschleunigung gewahlt werden:WWR=+ (W0 -lW R ) aa-a-a2(30).1Nach Ausrechnen aller Integrale auf Grund der obigen Ansatze erhalt man schlieBlich mit ML = eo f (a 2 - a l ) als Ladungsmasse den lmpulssatz:WGr-'W(}+!ML]=-+WR[MR!MLl(31)Gl.
(:31) gibt eine Bindung zwischen Rohr- und GeschoBgeschwindigkeit undRohr-, GeschoB- und Ladungsmasse. [In der Ballistik wird gerne die Rohrgesehwindigkeit in x-Richtung positiv gezahlt, was in Gl. (31) rechts ein positivesVorzeichen ergabe.] Die Zuzahlung der halben Ladungsmasse zur Rohrmasseist yon untergeordneter Bedeutung. Der Anteil der Ladung, welcher zur GeschoBmasse hinzuzuzahlen ist, in Gl. (31) also der Faktor!, heiBt Sebertscher Faktor.Zur Berechnung der GeschoBgeschwindigkeit muB vom Energiesatz Gl. (9)ausgegangen werden. Entsprechend einem Linearansatz der Geschwindigkeit"ind die thermischen ZustandsgroBen und damit auch e als unabhangig von a[e = e (t)] anzusetzen.
Als nach auBen abgegebene Leistung sei nur eine abgegebene Warmemenge Q angenommen:rLdt.otQ= -Da WI dt = W R dt und TV 2 dt = TVG dt die Wegelemente von Rohr undGeschoB sind, stellen die Druckintegrale in Gl. (9) die Leistungen der Druckkrafteam Rohr und am GeschoB, also die kinetischen Energien der entsprechendenMassen dar:tfo P2 W2WtI- of PI WI f dt =-f dt = f.f()f J PR dx0~PG=2~lfR-f-;W a2dx = M G - 2 'III. Instationare Fadenstromnng.78Die Energiegleichung (9) lautet dann:",=J [e (a, 0) -e (a, t)]eo to da - Qund nach Integration mit dem Ansatz fur kleine Beschleunigungen:J1 z;W G2+W (i W R+W R2-----~--6-----·-+ 31 'iW(J22--+-W n2J1R2-=.11[,.Ie (0) -c (t)1 ~- Q.(32)Rierin kann noch die Rohrgeschwindigkeit mittels Gl. (31) eliminiert werden.Fur groBe rucklaufende Rohrmassen, also kleine Geschwindigkeiten W R, istschlieBlich:(33)In den Lehrbtichern der Ballistik wird die kinetische Energie der Ladungvielfach einfach aus deren mittlerer Geschwindigkeit berechnet, was sich so auswirkt, daB in der Klammer statt des Summanden 1/3 der Wert 1/4 steht.
Zu diesel'Ungenauigkeit besteht aber kein AnlaB.Die Differenz der inneren Energie ergibt sich aus der Temperatur To, weIcht>die Ladung annehmen wtirde, wenn sie im Ausgangszustand vollig \-erbrennellwtirde, und del' Temperatur T zur Zeit des GeschoBaustrittes. Letztere ist imallgemeinen noch sehr hodl. Betragt namlich del' Laderaum etwa 10% des Rohrvolumens, d. h. sinkt die Dichte bei der Ausdehnung auf rund 10%, so fallt dieTemperatur bei isentropischer Ausdehnung nur etwa auf die Halfte. Es win\also nur rund die Ralfte der verfiigbaren Energie ausgenutzt, worin del' Hauptverlust beim SchuBvorgang liegt.Legt man dem Verbrennungsprodukt folgende Zusammensetzung zugrunde 32 :47(Vol.)% CO, 18% H 2 , 17% H 20, 11% N 2 , 6% CO 2 , so entspricht das einemmittleren Molgewicht von rund m = 22. Fur ein Verhiiltnis der spezifischenWarmen von 32 x = 1,286 errechnet sich aus Gl.
(I, 16) eine spezifische Warmevon c,., = 0,32 cal/g . Grad. Bei einer Verbrennungstemperatur von To = 2800° ab".und einer Mtindungstemperatur von l' = 1700° abs. ware demn350cal/g,wobei hier naherungsweise mit den Formeln eines id. Gases konst. sp. W. gerechnetwurde.Bei einem Verhaltnis der Geschossmasse zur Ladungsmasse von J1GIM L = 7wurde mit Gl. (33) ohne Wiirmeverluste an das Rohr (Q = 0) die Geschwindigkeit WG sein:e(To)-e(T) =cv(To-T).2e(T) -e(T)0MG +~ML3==630 m/sec.Doch sind die Warmeverluste betrachtlich, besonders bei kleinem Rohrdurchmesser, so daB die GeschoBgeschwindigkeit erheblich unter dem eben errechnetellWert liegt. Bei dies em Beispiel wird mit guter Niiherung mit Gleichdruck (quasistatisch) im Rohr gerechnet werden konnen.Niihert sich jedoch die Geschwindigkeit im Rohr del' Schallgeschwindigkeit,so erstreckt sich die Ausdehnung der Ladung hauptsachlich auf die geschoBnahenGebiete, was zwar zu einer Verminderung der kinetischen Energie der Ladung,III, 9.
Grundgleichungen fUr die Wellenausbreitung.79aber auch zu einer Erhohung von deren innerer Energie gegeniiber der quasistatischen Ausdehnung fiihrt. Da der letztere Effekt ausschlaggebend ist, istdie Folge eine weitere Erhohung der Verluste.Das Rohrgewicht richtet sich nach den auftretenden HOchstdrucken. Daherwird mit Verzogerungen der Verbrennung gearbeitet.
Die durch das Vortreibendes Geschosses erzielte Erweiterung des Verbrennungsraumes fiihrt zu einerHerabsetzung der Druckspitzen.9. Grundgleichungen fUr die Wellenausbreitung.Die instationaren Vorgange in Gasen konnen ganz allgemein als Ausbreitungvon Wellen endlicher Amplitude aufgefaBt werden. Dabei interessieren vorziiglich Vorgange ohne auBere Einfliisse, wie Energiezufuhren oder EinwirkungenauBerer Krafte. Auch zeitIiche Anderungen des Stromfadenquerschnittes fseien damit ausgeschlossen.
Neben dem ebenen Problem (f = konst.) wird voraHem das zylindersymmetrische (f proportional x) und das kugelsymmetrische. Problem (f proportional x 2 ) interessieren. Wird das Zentrum stets an die Stellex = 0 verlegt, so ist dannI ofI dfa = 0; ebenes Problem,f 8x f dxa1; Zylindersymm~trie,(34)a = 2; Kugelsymmetne.Dureh Kontinuitatsbedingung (Il), Bewegungsgleichung (12) und erstenHauptsatz der Warmelehre (17) werden die Aufgaben voll erfaBt. Jedoch sinddie Gleichungen schon deshalb etwas kompliziert, weil sie GroBen unterschiedlieher physikalischer Dimensionen enthalten. Auf die Entropie 8 als eine thermische ZustandsgroBe wird allerdings zweckmaBigerweise nicht verzichtet, dasie, von VerdichtungsstoBen abgesehen, wenigstens fiir jedes Teilchen konstantbleibt.
Ais zweite thermische ZustandsgroBe sei die Schallgeschwindigkeit==;I=J[C 2= ( ~: )eingefiihrt. Sie ist selbst eine ZustandsgroBe, weil sie nur von solchenabhangt, und besitzt die Dimension einer Gesehwindigkeit.Naeh dem erst en Hauptsatz der Warmelehre bleibt unter den gemachtenVoraussetzun.~endie Entropie eines Massenteilehens konstant(~: =0).Diemassenfeste Anderung der Dichte voHzieht sich also bei konstanter Entropie,woraus folgt:e1 de(it =(oP)--e1 (oe)8P Tcssde1 1(op)defit = C2 --e Tc s fit·(35)Bei stets festgehaltener Entropie 8 kann mit den partiellen Ableitungen ingleicher Weise wie mit den gewohnlichen Ableitungen verfahren werden, wovonman sich sofort mittels der Kettenregel partieller Differentiation iiberzeugenkann. Der Ausdruck~ (~~) s hatdie Dimension einer Geschwindigkeit und kannnur fUr spezielle Gase explizit angegeben werden.
Er kann mit Gl. (I, 38) auchersetzt werden durch:I (oP) (Oi)(oi)--e1 (oP)Tc s=--e ---ar s Tc s= Tc ..(36)~Q axop =~-T~=+ [(~)axax (~)oe s ~AXos c -T]~=axOi)oeI(OP)os((37)Der Druekgradient in der Bewegungsgleichung kann dann mit Gl. (I, 38)wie folgt ausgedriiekt werden:=Tc., 8x+ ease -ox'80III. Instationare Fadenstromung.Damit lautet das Gleiehungssystem fur W, c, 8:~(!:i.)c acs~ataw-+at·+ ~e (!:i.)W ~ + c~Wac s axaxW~axcW !i.= _t dx'[rp- (!:i.).J~'a8 c ax'+ (!:i.)~=ac "ax(38)~+W~=O.ataxBeim idealen Gas hangt Enthalpie i und Sehallgesehwindigkeit c nur von derTemperatur abo Damit ist i nur Funktion von c und ( ;; ) c= O. Besonders einfaehsind die Verhiiltnisse beim id. Gas konst.
sp. W., wo mit Gl. (II, 25) und (I, 15)gilt:ai )di( Tcs =-dc =2x - l C.(39)Es sei daran erinnert, daI3 der Faktor x 2 1 die in der kinetischen Gastheorieso wiehtige "Anzahl der Freiheitsgrade" ausdruckt. Dieser Faktor tritt wie dieentsprechende GroBe in Gl. (38) uberall dort auf, wo Ableitungen von c stehen.Mit Gl. (38) und (39) lautet das System fur das id. Gas konst.
sp. W.:~_~+_2__ W acx - I dtx-Iaxaw!it+Wawax+2x-~at (~)cpTc+c_aw=_cW!i.axc2acax=ta (8)C;; ;x - I jj:i+ W~ax (~)cpdx'(40)- 0.-Besonders einfaeh werden die Systeme (38) und (40), wenn 1sentropie(8 = konst.) an genom men werden kann.10. Potential- und Stromfunktion.Oft ist es zweekmaBig, Funktionen einzufuhren, welehe die Eigensehafthaben, bestimmten Gleiehungen zu genugen. Mit ihrer Hilfe ist es vielfaehmaglieh, die Probleme auf die Lasung einer einzigen Differentialgleiehung zweiterOrdnung zu reduzieren.Wird die Kontinuitatsbedingung (Il) in der Form gesehrieben:8(fe)at+a(fe W )ax=0'so zeigt sieh, daB sie dureh eine Funktion P mit folgenden Ableitungen befriedigtwird:(41 )P erfullt die Kontinuitatsbedingung identiseh.
Die Differenz der P-Werte aneinem bestimmten Ort x in zwei versehiedenen Zeitpunkten t2 und t1 gibt mitGl. (41):t,P (x, t 2 ) - P (x, t1 ) =f feW dt,t,(42)d. h. also die Masse, welehe am Ort x innerhalb der Zeit t1 bis t2 durchgeflossenist. Die Neigung einer Kurve P = konst.:-~-=Wo/x(43)III, 10. Potential- und Stromfunktion.81ist iiberall gleich der Neigung der Bahnkurve eines Teilchens in der x, t-Ebene.Damit ist P = konst. iiberhaupt die Gleichung einer "Teilchenbahn" oder"Lebenslinie". Wegen der Analogie zur entsprechenden Funktion bei stationarerStromung werde die durch Gl.
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