K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 29
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Daher kann fiir sehr kleine x- Werte naherungsweise geschriebenwerden:G=2n x h=4 n x2eo Wh [F '(_ c ~)CJ02t:-. ~:__ F (_ c ~C)~2ft2_=-X2d_Z__00~I0x2o= 4n h eOFI' (-Cot) xarctg+ Z2I0•0(X 2 +Z 2 )V( c~ty -1--4 n h eO F! (-3/ 2Co t)Vi-=( c~t r:Fiir x = 0 nimmt die Quellstdrke auf cler Einheitsstrecke der Zylinclerachse alsoden Wert an:(66)III, 12. Randbedingungen bei kleinen Storungen in ruhendem Medium.89Genau derselbe Wert ergibt sich fUr die Kugel fur G (f = 4 n X2), wenn in Gl.
(62)zur Grenze x = 0 ubergegangen wird; entsprechend zur Kugelwelle ist inAbb. 30 fUr die Zylinderwelle4~2FI = - - - (-)3 (~+ co tO)2JlCo toangenommen. Fur die Flacheneinheit der ebenen Stromung hingegen erhalt manmit Gl. (59) im Punkte x = 0:Glf =eoW=eOFI' (- Co t).Entsprechend den verschiedenen Dimensionen ist auch nur ein Vergleich vonQuellstarken unterschiedlicher Dimension moglich. Der Quellstarke G bei dreiDimensionen «(1 = 2) steht die Quellstarke pro Langeneinheit Glh bei zwei Dimensionen «(1 = 1) und die Quellstarke pro Flacheneinheit oder Stromdichte Glf beieiner Dimension (a = 0) gegenuber. In Abb. 30 sind aIle GroBen mittels Co toauf die Dimension einer Geschwindigkeit gebracht, urn einen direkten Vergleichmit _2__ (c-co) zu ermoglichen.
Der MaBstab ist dabei gleichgultig, nur mussenx-IaIle auftretenden Geschwindigkeiten klein gegen die Schallgeschwindigkeit sein.Die Berechnung der Zylinderwelle erfordert einigen Rechenaufwand.12. Randbedingungen bei kleinen Storungen in ruhendem Medium.Trifft eine fortwandernde Welle auf eine feste Wand auf, so muB dort dieGeschwindigkeit verschwinden. Gelangt eine Welle hingegen an das Ende einesoffenen Rohres, so herrscht dort Druckausgleich mit der Umgebung, es muB alsodie Druckstorung und damit auch die Schallgeschwindigkeitsstorung verschwinden.Es sei angenommen, daB es sich urn eine rechtslaufende Welle handelt, welcheauf ein geschlossenes oder offenes Rohrende trifft. Stets laBt sich eine linkslaufende Welle so angeben, daB die Bedingung W = 0 oder c - Co = 0 an einerbeliebigen Stelle erfUllt wird.
Beispielsweise ergibt sich fUr eine ebene Welle,die im Punkte x = 0 auf eine feste Wand auftrifft, nach Gl. (59) dort W = 0,wenn F 2'(x+c o t) =-FI'(-x-cot} gilt. Es ist dann:W =FI'(x-cot)-FI'(-x-cot),_2___ (c _x-Ic)0=F I ' (x -c0t) ' _LF I ' (- x -(67)c0 t) .Daraus geht hervor, daB sich c - Co und also auch p - Po einer ebenen Wellean der festen Wand verdoppelt. Die Bedingung eines offenen Rohrendes imPunkte x = 0, C = Co wird durch F 2' (x + Co t) = F I ' (- X - Co t) erfullt. Dann ist:W=FI'(x-cOt) +F1'(-x-cot),(68)Daher verdoppelt sich also die Geschwindigkeit Weiner ebenen Welle am offenenRohrende.Abb.
32 gibt die rechts- und linkslaufende Welle einige Zeit vor dem Eintreffen im Punkte x = O. Darnach kann eine feste Wand verwirklicht werden,indem man spiegelbildlich die gleiche Druckwelle, (c - Col-Welle, ein offenesRohrende, indem man spiegelbildlich eine auch in den Drucken gespiegelte Wellelaufen laBt, was physikalisch unmittelbar einleuchtet. Die Wellen geben wechsel-III.
Instationare Fadenstromung.90weise die Gestalt der Druckwelle nach der Reflexion an, wenn die Wellen volligubereinander weggelaufen sind.Die Reflexion einer K ugelwelle an einer kugelformigen Wand liiBt sich ganzentsprechend behandeln, wenn x 0 ist. Das Auffinden der Funktion F 2' welchein x mit Fl zusammen W = 0 ergibt,ist allerdings nicht mehr so einfach.Vor der Reflexion haben die Wellen<0:..7 t1.r ~ nicht mehr spiegelbildliche Gestalt.C-Cp ~D ie Wellen deformieren sich ja beim~, ,!--L.:=~~\J-r----1..-.......L----l,:,,-:==/r---.x;:-'" bFortschreiten und sollen sich erst im'\.../Punkte x = 0 zu W = 0 erganzen.Abb.3i.
Die rechts- und linkslaufende ebene WeUeDie Reflexion im Zentrum x = 0bei der Reflexion an der festen Wand (a) und amkannnicht an Hand der Ausdruckeoffenen Rohrende (b).fur W behandelt werden, da W inx = 0 uber aIle Grenzen wachst. Da aber das Zentrum keine Senke sein soIl,muB F2 so angesetzt werden, daB die sich aus Fl und F2 ergebende Quellstarke G = eo W f verschwindet. Mit Gl. (62) ergibt sich das einfache Resultat:F2 (x + cot) = -Fl (- x-cot).(69)*13. Das Aufsteilen von Wellenfronten.Zur Untersuchung des Fehlers, der sich aus der Annahme konstanter Schallgeschwindigkeit im Medium ergibt, soll die Front einer ebenen ((1 = 0), zylindrischen ((1 = 1) oder kugelsymmetrischen ((1 = 2), in ein ruhendes Mediumhineinlaufenden Welle untersucht werden.
An der Wellenfront habe weder Wnoch c - Co einen Sprung, jedoch mogen diese GroBenC- Cpgegen das Innere der Welle mit endlicher Tangente ansteigen (Abb. 33). Die Stromung sei isentrop (verlustfrei), dann lauten die Gl. (40) mit Gl. (34):2oc2Abb. 33. Wellenfront einer inx-Richtu ng laufenden " eUe.OCoWa+ x-I W 8x + c-ax =-c W x'(70)oW + W ~W + __2_c~= 0otoxx-Io:r.x-lat()An der Wellenfront herrscht stets die Schallgeschwindigkeit C = co. Urn dieVorgange dort zu verfolgen, sind C und W an der Stelle x = Co t zu entwickeln.Dabei ist die Zeitrechnung so eingerichtet, daB sich die Wellenfront zur Zeit t = 0im Zentrum x = 0 befindet.
Es sei:x 2 1 (c -co) = a l (x -Co t)+ ~a 2 (x -Co t)2+ ... ,WCo t)+ ~- b2 (x -Co t)2+ ... ,=bl (x -(71)worin a v bl , a 2 , b2 , •••• entsprechend einer zeitlichen Deformation des WellenkopfesFunktionen der Zeit sind. Sie geben die Neigung und Krummung des Wellenkopfeswieder.
Sind a/, b/ die (zeitlichen) Ableitungen von ai und bi , so ist mit Gl. (71):2x-IOC-ax=oW-~- =ux-x_2---Cl~ ~~o,watalbl+a+b2(x -2(x -+ ... ,Co t) + ... ,Co t)= -Co a l+ (aI' -Co a 2) (x -Co t)+ ... ,=Co bl+Co b2 ) (x -Co t)+-(b l '-III, 13. Das Aufsteilen von Wellenfronten.91Das Gleichungssystem (70) muB auch fur die Wellenfront x = Co t, W = 0, C = cggelten und lautet dort:2x-IOCoWoW2----at + Co iiX----at +=Cox-I0,(72)OCax =O.Daraus folgt nach Einsetzen der Ableitungen a l = bl . Die Neigung von W undc - Co an der Wellenfront kann nicht willkurlich angesetzt werden, beide GraBenunterscheiden sich um den Faktor x -;- 1 .Die Entwicklungen von c, W und deren Ableitungen enthalten nur t undCo t), weshalb ~ in Gl.
(70) auch wie folgt entwickelt werden mage:(x -x~=x1cot+(x-cot)=_1_[1+ x-Co t-J-l=_I_[I_ x-cot + ...cotcotcotcotJ.AIle Entwicklungen in Gl. (70) eingesetzt, gestatten nun einen Vergleich derGlieder erster Ordnung in (x - Co t), was gleichbedeutend ist mit der Anwendungdes Systems (70) auf die unmittelbare Nachbarschaft der Wellenfront. NachDivision durch (x - Co t) ergeben sich dann folgende Gleichungen:aI'+x+laI '+x +2 1 al 2aCo a 2 + Co b2 = - a l t 'al2-2+ Co a z -Co b2 = 0 ,als Beziehungen zwischen den Zeitfunktionen ai' bi und deren Ableitungen.Nach Addition der beiden Gleichungen fallt a 2 und b2 weg und es bleibt eineDifferentialgleichung2 fur aI' also im wesentlichen fUr die Ableitungen von cund W an der Front:+da 1dtx+21al2+ 21 a ta0=l.(73)Die Substitution z = _1_ ergibt die Differentialgleichunga1 tt~dt=(~21) z +_x+21 'die sich durch Trennung der Veranderlichen - besonders fur a = 2 lOsen lant.
Setzt man a l = - tg fl und fur t = to:+al=2( -OC )x-lox x=Cot=(oW-)oxx= Cotleicht=-tgpo,so ergeben sich die Beziehungen:a= 0:a = 1:a=2:cot p -cot Po = -x ~ 1 . (t -Vt;;cotfl-Vt cot flo =to cot fl- t cot flo = -to),-(u + 1)x+12Vt(Vt-Vt;;),(74)tt to In - .toWird nun anstatt der Zeit wieder der Ort der Wellenfront x = Co t, Xo = Co toeingefuhrt, so kann man aus Gl. (74) sofort das Aufsteilen der Wellenfront92III. Instationare Fadenstromung.zu senkrechtem Abfall 2 (cot ,unehmen:=0) fUr folgende x-Werte abhangig yon a ent-(JEbene WelleoIZylinderwelleI(IKugelwelle2exp ( __2__2Co+ -;-+1 x~+ -2111:2cot Po')2C(7;i)l~ cot flo ,..LXo11:,cot II ).+1 ~.1':00Eine in x-Richtung laufende Welle der durch Abb. 33 skizzierten Form (tg/I > Ofergibt an der Front nach einer bestimmten Lauflange stets einen senkrechtenAbfall, also einen Stoll Dies tritt auch bei kleinster Amplitude ein, worau~hervorgeht, daB die Linearisierung in Abschnitt II fur lange Zeiten oder groBeLauflangen stets falsch wird.
Bei gleichen Werten yon - 2 _.- ~ cot 110 ergeben11:+1Xosich die groBten Werte x/xo' also die langsten Laufzeiten, bei der Kugelwelle,die kleinsten bei der eben en Welle. Je flacher die Welle an der Front anfiinglichist, je groBer also cot flO ist, desto groBer sind auch die Langen x, bei welehen einStoB entsteht.Die Wellenfront der Abb. 33 entspricht einem negativen a l . Au,.; del"Differentialgleichung (73) folgt sofort, daB die Front steiler wird flir:-BW-)(-oxx= Cot=2 --111: -( ..Bc- )axx =tto=to"II'>(J' C(O"".X (11:i· 1).Bei der ebenen Welle (a = 0) steilt sich die Front also stets auf.
Bei grol3enAbstanden vom Zentrum benimmt sich die Zylinder- und Kugelwelle wie dieebene Welle. Bei kleinen x-Werten hingegen tritt zunachst ein Abflaehen amWellenkopf ein, bis so groBe Werte x erreicht werden, daB sich die Front wiederaufsteilt und schlieBlich in den in Gl.
(74) angegebenen Abstanden einen StoBbildet.Fur Wellen, welche auf das Zentrum zulaufen, gelten entsprechende Resultate.In diesem FaIle ist c und W analog zu Gl. (71) nach (x + Co t) zu entwiekeln,wobei der ZeitmaBstab am best en so gewahlt wird, daB die Welle zur Zeit t = 0im Zentrum eintrifft. Die interessierenden Vorgange spielen sich also wiihrendnegativer t-Werte abo Geschwindigkeits- und Schallgeschwindigkeitsgradienthaben nun entgegengesetztes Vorzeichen.
Die Differentialgleichung fur b1 lautetgenau so wie fruber GI. (73) fUr a l . Setzt man:-al=b1=tg fl=+ (il!Y_)ax x=-Cot=_ -11: -2 1(~)axx= _. Cot,so ergibt sich nun entsprechend zu den Gl. (74), wenn der Ort der Wellenfl"Ontx = - Co t als unabhangige Variable gewahlt wird:a = 0:cot ! I - cot flO c= -a'lxoV ~c cot ft=I:a = 2:x cot!t o-j/xr cotx cot11:+--2····110 =jII =, 0-II(x -C(O(% -'- 1)11:I+Ix o)'yx.r. Xo.. __. _ - - -2CoCo(VX - I/x~),(7H)xIn - .XoFormal ergibt sich also genau diesel be Form, wie wenn in Gl. (74) der Ort derStoBfront (dart x =Co t) anstatt t eingefuhrt wird, jedoch mit einer anderen+III, 14. Der Verdichtungssto13 in instationarer Stromung.93Bedeutung fur tgfl. Damit gelten auch wieder die Gl. (75), wobei nun tgfl dieGeschwindigkeitszunahme und Schallgeschwindigkeitsabnahme (Druckabnahme)in x-Richtung ist.
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