K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 30
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Eine Druckwelle (cot fl < 0) steilt sich also wieder in Fortschreitungsrichtung auf, wobei der Beginn eines StoBes abhangig von der Anfangsneigung (x = xo: cot fl = cot flo) durch Gl. (75) gegeben ist.Verdunnungswellen entsprechen bei positiver (negativer) Fortp£lanzungsrichtung positiven (negativen) Wert en von a 1 = -tgfl.
Die Veranderungen derWellenfront lassen sich direkt den abgeleiteten Gleichungen entnehmen. Besonderssei auf folgende Erscheinung hingewiesen: Eine Verdunnungswelle wird in groBerEntfernung vom Zentrum bei Annaherung an dieses zunachst £lacher, beginntsich aber von der Stelle:=( ~)AX x=-cot_2,,-1Co(~)<aax x=-cot= ,,+ 1 xan aufzusteilen (fUr (] 4= 0) und erreicht, wie Gl.
(76) zeigt, im Zentrum eine unendliche Geschwindigkeitszunahme und einen unendlichen Druckabfall amWellenkopfe.Bei den auf das Zentrum zulaufenden Wellen sind die Erscheinungen bei derKugelwelle am starksten, bei der ebenen Welle hingegen unabhangig von derLaufrichtung.Eine Sonderstellung nimmt - wie spater noch Ofters - der Fall x = - 1ein, dem allerdings kein reales Gas entspricht, dem aber doch eine gewisse theoretische Bedeutung zukommt.14. Der VerdichtungsstoJl in instationarer Stromung.Nach den Resultaten des letzten Abschnittes muB bei Druckanstiegen ander Wellenfront nach einiger Zeit stets mit einem unendlichen Gradienten, alsomit einem StoB gerechnet werden.
Es wird sich in Abschnitt 27 zeigen, daB sichebene Wellen endlicher Amplitude an Stell en des Druckanstieges stets zu einemStoB aufsteilen. Lediglich bei den Vorgangen reiner Expansion, etwa bei derinneren Ballistik, kann von StoBen abgesehen werden. Bei der uberwiegendenZahl instationarer Stromungen kommen StoBe vor.Wegen der sprunghaften Anderungen im StoB genugt es, StoBe konstanterWandergeschwindigkeit und konstanter Zustande vor und hinter dem StoB zubetrachten, da die Wanderungsgeschwindigkeiten der Zustande in der Umgebungeines StoBes gegenuber den Anderungsgeschwindigkeiten im StoBe selbst ste~sverschwindend klein bleiben. Die gewunschten instationaren StoBe konstanterEigenschaften ergeben sich sofort durch Betrachten eines StoBes aus einem senkrecht zur StoBfront bewegten Bezugssystem.
Dieser Weg der Berechnung istkurzer als eine Anwendung von Kontinuitatsbedingung, Impuls- und Energiesatz auf instationare Stromungen (siehe SchluBbemerkung Abschnitt 4).Es ist zweckmaBig, den StoBvorgang durch GroBen zu charakterisieren,welche unabhangig vom Bezugssystem sind. Dies ist von vornherein bei allenthermischen ZustandsgroBen und der lediglich von der Temperatur abhangigenSchallgeschwindigkeit der Fall.
Die Geschwindigkeit der stationaren Stromungvor dem StoB Wist in der neuen Sprache die negative Geschwindigkeit U desStofJes relativ zum anstromenden Medium. Die Differenz TV - W bei stationarerStromung ist die Relativgeschwindigkeit LI W des Mediums hinter dem StoB zumMedium vor dem StoB. Ruht also das Medium vor dem StoB, so lauft dieser mitder Geschwindigkeit U, wobei das Medium der StoBfront mit der Geschwindigkeit L1 W nachstromt.94III.
Instationare Fadenstromung.Durch SuperpositionW = -V; W-W=L1Wgehen die StoBgleichungen (II, 34) fur das id. Gas konst. sp. W . dann uber in :L1;V1 -~=P=p=x! T -~- (1- x! 1 (1 -; -=i~)=~;2)=x! 1 - -0- (~2-1) :-V~ [1 + :-~~ (~:2_- 1) l1 -L _2_~ __ (~ - 1) .'x+1c2'~~ = ~2 [1 + --x ~ 1 ( ~2-1)] [1 +:+-~ ( ~22-(77)1) I.Hierin sind aIle Geschwindigkeiten durch die Schallge3chwindigkeit c imanstramenden Medium dimensionslos gemacht. Das Verhaltnis der Laufgeschwindigkeit des StoBes V zu c ist unmittelbar ein MaB fur die Starke des StoBes.
Del'Unterschied der Zustande vor und hinter dem StoB verschwindet fUr V = c,also fur schwachste Wellen.Bei der Schallgeschwindigkeit ist es sinnvoll, nach dem Betrag und cler Richtung zu fragen. Dimensionslos wird stets mit clem Betrag gemacht, au eh ist del'Sprung im Betrag ein MaB fur die Starke der StoBwelle.
Fur die Fortpflanzungsrichtung einer Schallwelle hingegen kommen entsprechend den beiden l\'Ioglich keiten beide Vorzeichen der Gl. (77) fur c in Frage.Aus Gl. (II, 40) ergibt sich fur den Entropieanstieg8 Cv8 In [1 + _x 2+x 1 - (-~: -1)1-1- x In{ ~211 + -:+ ~=( ~:22-l)l).(78)Wie aile thermischen GraBen, andert auch 8 seine Bedeutung beim Betrachtenaus einem bewegten Bezugssystem nicht. Anders ist dies mit den GraBen Ruhedruck, Ruhedichte usw. , derenDefinition auf den EnergiesatzRtationarer Stramung GI.
(II,7)zuruckgeht. Sie sind fur dieBeurteilung der Verluste in instationaren Stromungen ungeeignet, weil sie nicht mehr alsreine Entropiefunktionen darstell bar sind. Fur schwachereStaBe kann die Beziehung Gl.(II, 37) zwischen S - 8 und PJpunverandert ubernommen werden . In der Beziehung zwischenoS - 8 und der Mach-Zahl istAbb. 34.
StoJlpolare (lnstatiouiir, " = 1,40) in der.d W . c· Ebene.M durch Vic zu ersetzen.In den Gl. (77) kann jede linksstehende GraBe durch jede andere solche dargestellt werden, wobei Vic als Parameter fungiert. Tab. (II, 1) gibt die entsprechenden Zahlenwerte. Als besonders zweckmaBig erweist sich die Auftragungin einem Diagramm Abb. 34, des sen Abszisse LI Wlc und dessen Ordinatecle = V'TIT ist. Entsprechend den beiden maglichen Laufrichtungen einesStoBes ergeben sich zwei Kurven, die "StofJpolaren".III, 14.
Der VerdichtungsstoJ3 in instationarer Stromung.95Fiir hohe StofJgeschwindigkeiten Ujc ergeben sich aus Gl. (77) und (7S) in ersterNaherung folgende Werte:2LlW= x+TU;{je+x1x - C;=f> _Ujc";?> 1:p)2. P =(U2x-uTI C 'A=±V2x(x-l)x12+1(!U2;(79)U''+cxnletI:; - 821' U I~c~v- =Damit gilt fUr U jc ";?> 1 folgende Beziehung zwischenc= ±U jc ";?> 1:Vx(x 21)c und Ll W:Ll W.(SO)Einfache Losungen ergeben sich ferner aus Gl. (77) fur schwache StoBe:L1W =ce = 1+eU~-l~l:c(U>4x+l(~-I)'c'4(~-I)cx+lP =l+~--(-~-I)0)PC = 1cx+l+ 2 _x-Ix+lc== 1 +~L1W;+x-I.(~ _ 1)c1+ L1Wc ;=1c2(81).1WcDie Niiherungen fur ~ ";?> 1cund ~ -1 <K 1 sind in Abb. 34c'!1I11fur den Zusammenhang von Ll Wundeingetragen.soEs warde am Ende von Abschnitt II, 5 ausgefuhrt, daB8die VerdichtungsstoBgleichungenihre Gultigkeit beibehalten, wennaIle auf den Zustand vor dem StoBbezogenen GroBen auf den Zustand hinter dem StoB bezogenwerden und umgekehrt.
Es istdies eine notwendige Folge der-I-~-22!8,1!,Symmetrieder Ausgangsgleichun- Abb. 35. tollpolare (instationiir, " = 1,40) in der ver7.crrtcngen. Es sei nun - (; die RelativLlW, p·Ebene.geschwindigkeit des StoBes und L1 TV die Relativgeschwindigkeit des Mediumsvor dem StoB, beides bezogen auf das verdichtete Medium hinter dem StoB,dann gilt aus Grunden der Symmetrie beispielsweise:c.1;.E..P~:=+ x 2+x 1 (fJ2_ 1)'c~2 [1 + x 2; 1 (~2 -= 1=x:T ~ (~2 -1);2'(S2)1)Jr1+ : ~~(~2 -1)l96III. Instationare Fadenstromung.Der Tatsache, daB hinter einem senkrechten StoB stets Unterschallgeschwindigkeit herrscht, entspricht hier die Tatsache, daB sich die Sto13front relativ zumverdichteten Medium mit einer Geschwindigkeit bewegt, die kleiner als die dortigeSchallgeschwindigkeit ist ({; ~ c).
Ware das nicht der Fall, so konnte das verdichtete Medium die StoBfront gar nicht beeinflussen. Der StoB wird aber geradedurch die hohen Verdichtungen hinter seiner Front bedingt. Zwischen denRelativgeschwindigkeiten in Gl. (77) und (82) besteht folgende Beziehung:LlW=W-W=-LlW.(83)Wird in den Gl. (82) oder (77) (;/e oder Ule eliminiert, so ergeben sich zweiformal gleiche Beziehungen zwischen den StOrgeschwindigkeiten:~=F(-~);LlAWccc=F (.;-).cEs handelt sich in beiden Fallen urn die gleiche Funktion, deren analytischeForm durch die Kurve in Abb. :~4, die StoBpolare, dargestellt wird. WegenGl.
(83) laJ3t sich nun schreiben:Ll~=F(~)=-~~=_~F(C).ccccccWird GcY gesetzt, so erfullt die StoBpolarenfunktion die Beziehung=~)y F(= -F(y),(84)woraus sich jeder Wert fur y < 1 aus einem Wert fUr y > 1 ausdrucken laBt.Werden die Ableitungen nach dem Argument mit F' und F" bezeichnet, so gilt:- F' (y)=F ( ~) -- F" (y)=-~F' ( ~);-~- F' (~)~y+ _1F' (~) + -~ F" (J_)~y~y=~- F" (~)..~yDie Krummung der StoBpolaren in Abb. 34 ist also fur die Kurventeile!:...
> 1 undeCc<1 entgegengesetzt und muB bei G = 1 verschwinden. Die StoB-polare hat darnach bei Ce=e1 einen Wendepunkt. D. h. der Fehler in den linearenBeziehungen (81) von C undcLlWcist erst durch ein Glied dritter Ordnung:(LlW)3cgegeben, die Naherung ist also recht gut.Zur Ableitung einer Naherung gleicher Gute sei der Energiesatz stationarerStromung auf Ll W und U umgeschrieben.
Aus Gl. (II, 29) folgt exakt:W2 _ W22(c2 _ c2)u-1'=oder mit EinfUhrung von Ll W und ULlW(2U -LlW)=_2_~ (c 2 u-1e2 ).Aus der letzten Gl. (81) folgt in zweiter Naherung:LlW=U-=-l(c-c)und folglich zusammen mit der vorausgehenden Gleichung folgende bei Vernachlassigung von Gliedern ( Ll cW ) 3 gultige, von H.U =! [c + c + LlPFRIEMW].aufgestellte Formel:(85)III, 15.
Exakte Losungen isentroper Stromungen.97U ist die StoBgeschwindigkeit, c die Schallgeschwindigkeit im unverdichteten,C + L1 W die Geschwindigkeit einer Schall welle im verdichteten Medium, alledrei GroBen bezogen auf das unverdichtete Medium. In zweiter Naherung istalso die absolute Laufgeschwindigkeit eines StoBes gleich dem arithmetischenMittel der absoluten Laufgeschwindigkeiten gleichgerichteter Schallwellen vorund hinter dem StoB. Dies gilt fur jedes beliebige Bezugssystem, da die absolutenLaufgeschwindigkeiten von StoB und Schallwelle sich in einem bewegten Systemin gleicher Weise andern.Die Naherungen zweiter Ordnung entsprechen der Annahme einer isentropenZustandsanderung, weil sich die Entropie s erst in dritter Ordnung von if Woandert.
Die Werte fur U stimmen mit den exakten Werten besser, als es beiGl. (85) der Fall ist, uberein, wenn if W in der erst en Gl. (77) durch die isentropeNaherung vonaoc!!..ermittelt wird.0fur sehr kleine Werte a kann mit Gl. (84) aus sehr groBen0ersetzt und darausDer Wert von ifWoWerten von C berechnet werden.
Fur groBe Werte von Q gilt die Beziehung (80),V"("~cCalso F (y)=a=Cc:1) y, und damit fur:~I:_ifW = F(c:)0= -8F(~)=eVF ,,(,,-1)215. Exakte Losungen isentroper Stromungen.Die Uberlegungen uber das Aufsteilen von Wellenfronten zeigten die begrenzteBrauchbarkeit von Losungen, die durch Linearisierung gewonnen werden. Essollen daher hier zur Erlauterung der wirklichen Verhaltnisse einfache Losungenebener (a = 0), zylindersymmetrischer (a = I) und kugelsymmetrischer (a = 2)isentroper Vorgange gesucht werden. Diesen liegt das Gleichungssystem (70)zugrunde, welches sich dadurch auszeichnet, daB aIle Summanden entweder xoder t in erster Ordnung enthalten. Daher ist zu erwarten, daB es Losungen gibt,welche lediglich von 1J=;abhangen.
Wird die Ableitung einer Funktion F (1J)nach r; mit F' (r;) bezeichnet, so ist:of('Y}) =~F'().oxof('Y}) =-!LF'( )1J ' o ttr; ,tund das Gleichungssystem (70) erhalt die Gestalt:(W -r;)2 1 c',,-(W-1J) W'+ c W' = - c W~;'Y}+ "~1(86)cc' =0;xr;=T"Losungen ergeben sich aus dem Linearansatz W = a lFur die ebene Welle (a = 0) ist:W _ ±2Cu,,+1+ a 2 r;,c = bl+ b2 '1.(± -;;;;-- 1) -_ ± ,,+12(± CuT-,1) .__2_ c-co = 2 (± ~-1) ±~., , - 1 00Oswatitsch, Gasdynamik.x'Y),,+1cot(87)=Co7III. Instationare Fadenstromung98Co ist die Schallgeschwindigkeit an der Stelle W = O. Die Losung wird inAbschnitt 16 und 17 verwendet und diskutiert.
Fur Zylinder- und Kugelwellenfuhrt ein Linearansatz nur zum Ziel, wenn W und c proportional zu rJ sind. Fur Wist diese Forderung sinnvoll, weil sie bedeutet, daB die Geschwindigkeit im Zentrum verschwinden solI. Anders ist es bei c, das im Zentrum im allgemeinenals c =1= 0 vorausgesetzt werden wird. Weitere Losungen geben K. BECHERT3 ,I7und H. MARX4 an. Der Ansatz kann noch erweitert werden.Um das Gleichungssystem (70) auf Differentialgleichungen von Funktioneneiner einzigen Veranderlichen rJ zuruckzufuhren, muss en c und W in gleicherWeise so angesetzt werden, daB ihre Ableitung nach t diesel be Potenz von xmultipliziert mit einer Funktion von rJ gibt, wie das Produkt von W oder c miteiner ihrer Ableitungen nach x.
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