K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 25
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(I, 35) die zeitliche Ableitung der Entropie verschwinden.7. Stromungen ohne Beschleunigung.Sind stromende Teilchen ohne Einwirkung auBerer Krafte sich selbst iiberlassen, so kann der Fall eintreten, daB sich jedes Teilchen mit der ihm eigenen,zeitlich unveranderlichen Geschwindigkeit vorwartsbewegt.
Es ist naheliegend,III. Instationare Fadenstromung.74diesen Vorgang in der Lagrangeschen Darstellungsweise zu verfolgen. Aus derBewegungsgleichung (21) folgt wegen W = W(a) sofort:W = W(a); p = p (t),(23)unter den Teilchen muB also volliger Druckausgleich herrschen.Urn aus der Kontinuitatsbedingung (19) weitere Schlusse zu ziehen, muss enAnnahmen uber den Querschnittsverlauf gemacht werden. Vor aHem wird derebene, der zylindrische und der kugelsymmetrische Fall interessieren. Es ist:1=x",(24)mit n = 0, 1 und 2 fUr ebene Stromung, fur Zylinder- und Kugelsymmetrie,wobei der Querschnitt im Abstand x = 1 auf 1 = 1 festgelegt ist, was keine Einschrankung bedeutet.
Mit Gl. (1) kann 1sogleich abhangig von a und t dargestelltwerden. Es ist:a~nl =W~{=O fUr n1=0,xdt=Wnr -nfUr n=1=0.Weil W nur von a abhangt, lafit sich diese Gleichung integrieren, was mit Rucksicht auf:1 = to = an fUr t =bei jedem n zur Gleichung fuhrt:°L=(1 +~)n.10aAuch die Kontinuitatsbedingung (19) laBt sich integrieren. Mit(25)aa:=W' ist beirichtiger Wahl der Integrationskonstanten~I;=1+ W't.Hierin kann eo wie 10 noch von a abhangen.Da aber keine Warme zugefuhrt werden solI, dehnt sich jedes Teilchen fursich isentrop aus.
efeo ist also eine Funktion von pjpu und daher eine reine Zeitfunktion. Wahrend aber p nach Gl. (23) nur von der Zeit abhangt, kann eo und (!einzeln auch noch von a abhangen. Nach der letzten Gleichung und Gl. (25)kann eo/e nur dann unabhangig von a sein, wennW' = konst. und W = W' a(26)ist. Damit lautet die Losung fur eine unbeschleunigte StromungW=W'a;eo/e=(1+ W't)n+l,(27)mit n = 0, 1, 2 fur den ebenen, zylinder- und kugelsymmetrischen Vorgang.Daraus laBt sich - etwa beim id.
Gas konst. sp. W. - mit Hilfe der Isentropedie Anderung von Druck, Temperatur und Schallgeschwindigkeit ermitteln.Das Ergebnis ist einleuchtend. 1m Zentrum des Zylinders odeI' del' Kugelist die Geschwindigkeit Null. Je nachdem, ob W' positiv odeI' negativ ist, wachstdie vom Zentrum weg oder auf das Zentrum hin gerichtete Geschwindigkeitproportional mit a uber alle Grenzen. (Bei ebener Stromung gibt es kein Zentrum,der Punkt a =ist nicht ausgezeichnet.) Entsprechend zur Volumenanderungandert sich die Dichte in den drei Fallen mit del' ersten, zweiten odeI' dritten Potenzder Zeit. Bewegen sich die Teilchen auf das Zentrum zu (W' < 0), so steigt dieDichte und urn so mehr der Druck uber aIle Grenzen.Abb.29 zeigt eine kugelsymmetrische, beschleunigungslose Stromung fUrein id.
Gas konst. sp. W. (~ = 1,40) und konstanter Entropie. Die MaBstabe°III, 7. Stromungen ohne Beschleunigung.75Hind so gewahlt, daB die Teilchen in den Punkten t = 0; x = 1,0; 2,0; 3,0 mit einfacher, zweifacher, dreifacher Schallgeschwindigkeit stromen und sich zur Zeitt = 1 im Zentrum treffen. Bei der Kompression bleibt wohl die Geschwindigkeitder einzelnen Teilchen konstant, jedoch steigt mit Dichte und Druck auch dieSchallgeschwindigkeit. Die Kurven, welche den Ort eines bestimmten Teilchensin jedem Zeitpunkt angeben, heiGen "Teilchenbahnen" oder "Leben.slinien" .Sie ergeben sich durch Integration von(~;L=W hier als Geraden.
1st ein-mal x(t, a) bekannt, so kann a aus den Gl. (27) eliminiert und der Vorgangin der x, t-Ebene dargestellt werden. In Abb. 29 sind ferner jene Kurven eingetragen, welche den Ort einer von einer gegebenen Stelle ausgehenden unendlich schwa chen Schallwelle abhangig von der Zeit angeben. Diese KurvenheiGen "Machsche Linien"*. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit~:schwacherSchallwellen ergibt sich aus der Summe von Stromungsgeschwindigkeit undSchallgeschwindigkeit, je nachdem,ob sie in positiver oder negativerx-Richtung laufen, zudx(it = W ± c.(28)Die Kuryengleichung einer MachLinie ergibt sich dann durch Inte(Jgration von Gt.
(28). Diese istAbb. 29. Kugelsymmetrlsche beschleunigungslose Str5mungnicht immer leicht durchfuhrbar.(x = l ,'lO). _ _ Mach·Linicn, ---- Teilchenbahnen.Wenn jedoch die Lasung unddamit W(x, t) und c (x, t) bekannt ist, laBt sich ein " Richtungsfe1d" zeichnen,in dem mit Gl. (28) die beiden Neigungen der Mach-Linien in einer groBen Zahlvon Punkten in die x, t-Ebene eingezeichnet werden, woraus sich unmittelbarein Bild der Mach-Linien ergibt.Weil bei Unterschallgeschwindigkeit die eine Schallwelle stets gegen dieStramung anzulaufen vermag, ist W < c dadurch im Bild gekennzeichnet, daBdie beiden Mach-Linien Neigungen entgegengesetzten Vorzeichens aufweisen,wahrend die Neigungen der Mach-Linien bei "Oberschallgeschwindigkeitengleiches Vorzeichen mit jener der Teilchenbahn haben.
Die Richtungskotangenteder Teilchenbahn, gegeben durch W, ergibt sich mit Gl. (28) sofort als arithmetischesMittel der Richtungskotangenten beider Mach-Linien im selben Punkt. BeiSchallgeschwindigkeit steht eine Mach-Linie senkrecht zur x-Achse. Aus derDifferenz der Mach-Linienkotangenten ergibt sich sogleich die Schallgeschwindigkeit.
Aus den beiden Mach-Linienscharen ist somit der ganze Stramungszustandabzulesen.Die Bedeutung der Mach-Linien liegt darin, daB sie die Grenzen der BeeinflufJbarkeit der einzelnen Teile untereinander darstellen, solange keine StaBe auftreten. Diese laufen ja mit "Oberschailgeschwindigkeit und vermagen daherStorungen in Gebiete hereinzutragen, welche Mach-Wellen nicht zuganglich sind.Herrscht in Abb. 29 beispielsweise der Anfangszustand (t = 0) nur zwischenden Punkten 0,5 < x < 2,0, so stellt das Bild die Vorgange innerhalb jener Zonerichtig dar, welche von der im Punkte t = 0, x = 0,5 nach rechts laufenden undim Punkte t = 0, x = 2,0 nach links laufenden Mach-Linie begrenzt wird.
Innerhalb dieser Zone kann sich eine Starung, wie sie eine Anderung der Anfangsbedingungen auBerhalb des Intervalls darstellt, gar nicht bemerkbar machen.* Betreffs der Bezeichnung siehe Abschnitt VI, o.III. Instationii.re Fadenstri:imung.76Urn also beim beschriebenen Vorgang im Zentrum hohe Drucke zu erzeugen,ist es keineswegs erforderlich, gleich hohe Drucke auch weiter drauBen sicherzustellen, da sich die Zustande auBen nur bedingt im Zentrum bemerkbar machen.Es handelt sich bei Abb. 29 urn einen der Hohlraumwirkung verwandtenEffekt, bei welchem die Energiekonzentration in einem Zentrum dort zu Kompressionen und Druckerhohungen fUhrt, welchen auch starke Panzerpl.atten nichtmehr gewachsen sind.8. Das innerballistische Problem.Filr die Frage, ob in einem durch bewegliche Kolben abgeschl03senen Zylinder·einheitliche thermische Zustande angenommen werden konnen, ist die Moglichkeit eines Druckausgleiches entscheidend.
Voraussetzung ist dabei natiirlich,daB die einzelnen Teile des Mediums ausgehend von gleicher Entropie wahrendder Ausdehnung gleiche Entropieanderungen erleiden oder sich ilberhaupiisentrop ausdehnen. Andernfalls ware mit einem Druckausgleich ja auch keinAusgleich von Temperatur und Dichte verbunden.Aus der Bewegungsgleichung (12) ergibt sich der ortliche Druckunterschied Jpvon zwei Stellen, welche die Entfernung l haben, aus mittlerer Dichte und Beschleunigung (°8~ )a wiefolgt:LJp~ (!( aW)at al -- .Der Druck ist, wenn man sich mit der Naherung durch ein ideales Gas begniigt,;.c p = (! c2, woraus sich dann die ortliche Druckschwankung berechnet:l (Jl..Wat ).Jpa_.- ~ ;.c -~2~-.cp(2!1)In kleinsten Abstanden l kann also bei endJichen Beschleunigungen stets Druckausgleich angenommen werden, was filr die Anwendung der Thermoiynamikquasistatischer Vorgange auf die Teilchen des stromenden Mediums entscheidend ist .Es leuchtet ein, daB sowohl die Schallgeschwindigkeit als auch die Entfernung l der Punkte mit dem Druckunterschied LJp in die Gleichung filr dieDruckschwankung eingehen muB.
Dann laBt sich aber nur eine dimensionsloseGroBe zusammen mit der mittleren Beschleunigung der Gasmasse bilden. DerenWert laBt sich filr den Vorgang in einem Rohr der Lange l leicht abschatzen.War die Gasmasse anfangs mit der Geschwindigkeit W = 0 auf die Gegend desRohrbodens konzentriert und hatte sie schlieI3lich in der Rohrmitte l/2 diemittlere Geschwindigkeit W, so brauchte sie zur Erlangung dieser Geschwindigkeit die Zeit_l/2Wj2= l/W.Daraus errechnet sich eine mittlere Beschleunigungvon W2/l und mit Gl. (29) die Abschatzung:..
1p---~-P~%W2-2-'cOrtlicher Druckausgleich im Rohr kann also angenommen werden, wenn diemittlere Geschwindigkeit des Treibstoffes (der Ladung) genilgend klein gegendie Schallgeschwindigkeit ist. Diese betragt rund den dreifachen Wert (etwa1000 m/sec) der Schallgeschwindigkeit in Luft normaler Temperatur, weil dieabsolute Temperatur im Rohr rund zehnfache AuBentemperatur annimmt.Fiir nicht zu hohe Austrittsgeschwindigkeiten WG des Geschosses kann ahiowie bei der beschleunigungslosen Stromung mit Druckausgleich im Rohr [p = p (I) ;III, 8. Das innerballistische Problem.e=(!77(t)] und folglich mit linearer Verteilung der Geschwindigkeit in jedemZeitpunkt uber die Rohrlange gerechnet werden.
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