K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 28
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Kleine Starungen im ruhenden Medium.85muB. Auch die Form einer positiv oder negativ laufenden Welle bleibt nichtunverandert, ihre Starke nimmt mit der Entfernung vom Zentrum ab, was manschon aus einer Energiebetrachtung gar nicht anders erwarten kann. rp und seineAbleitungen:(61)__2-1- (C-C o) = __I_rpt =-~FI' (x-cot}-~F2' (xxCoxx+ cot)haben nUll Formen, welche sich mit dem Fortwandern der Wellen andern undabhangig von t bei festem x .andere Werte ergeben als abhangig von x beifestem t. (Das gleiche gilt naturlich auch fUr "P, "POl' "Pt).Die Ableitungen von rp zeigen, daB Geschwindigkeit und Druck im Zentrumuber aIle Grenzen steigen, ein Resultat, das im Gegensatz zu den fur die Linearisierung erforderlichen Voraussetzungen steht.
Foiglich ist diese Theorie kleinerStarungen in einem Kugelzentrum wohl eine mathematisch richtige Lasungder linearisierten Gleichungen, jedoch betreffs ihrer physikalischen Aussagenfalsch. Wenn dennoch Lasungen behandelt werden, welche das Zentrum miteinschlieBen, so durfen physikalische Schlusse lediglich bei genugendem Abstand x gezogen werden, indem etwa angenommen wird, die Welle ware erst aneiner Kugel von genugend groBem Radius x entstanden, wobei dieser Radiusurn so kleiner sein darf je schwacher die Storungen sind. Die physikalischenFolgerungen dieser Theorie uber KugelweUen (und ZylinderwelIen) sind alsonur auBerhalb des Ursprunges gerechtfertigt und in diesem Sinne zu verstehen.Auch im Versuch ist im ubrigen das Zentrum selbst vielfach ausgeschlossen.
EinImpuls oder eine Masse kann niemals in Wirklichkeit aus einem punktformigenZentrum flieBen, sondern wird in seiner unmittelbaren Umgebung produziert.Das Anwachsen von Druck und Geschwindigkeit uber aIle Grenzen im Zentrumuberrascht nicht, da ein endlicher Energie- und MassenfluB an einem verschwindend kleinen Querschnitt I nur auf diese Weise moglich ist. Hingegen hat dieGesamtmasse, welche in der Zeiteinheit durch die Flache I flieBt, nach Gl. (55)und (61):leow =-+eo/[FI(X-cot) +F2(x+c o t)]xe~f[F I ' (x -Cot)+F2'(x+ Co t)],(62)wegen der Proportionalitat von· I zu x 2 auch in der Nahe des Zentrums einenendlichen Wert.
Dasselbe gilt auch fur das Produkt (c - co) f, das man wieeo w t direkt als Ableitung von "P erhalten kann [Gl. (55)].Wenn die Welle an einer Stelle zeitlich begrenzt ist, so behalt sie diese Eigenschaft bei. Das Medium verfallt hinter der Welle in den vor der Welle herrschenden Ruhezustand. Wahrend aber eine Quelle bei ebener Stromung nach GI.
(59)ei)le Uberdruckwelle verursacht, verschwindet das Druckintegral einer zeitlichbegrenzten Quelle bei einer Kugelwelle. Uber der Zeit aufgetragen, ergibt sichfur (j = 2 ebensoviel Unterdruck wie Uberdruck, wie allgemein gezeigt werden kann:Wahrend fUr die Quellstarke W eol in x = 0 einer ebenen Welle nach Gl. (59)die Ableitung FI' (x - Co t) [und F 2' (x Co t)] verantwortlich ist, tritt im Zentrumeiner Kugelwelle wegen der Proportionalitat von f zu x 2 nach Gl.
(62) nurFdx-cot) auf. [F2(Xcot) wurde sich auf eine auf das Zentrum zu laufendeWelle beziehen.]++86III. Instationare Fadenstromung.SolI in x = 0 eine Quelle G = I eo W nur innerhalb der Zeit t = 0 und t = tovorhanden sein, so muB also Fl (x - Co t) am Anfang und Ende der Quelltatigkeit verschwinden. Nun ist aber das Zeitintegral der Schallgeschwindigkeits(oder Druck-) Starung nach Gl.
(61):t.[ -_ _2---c- (c . ,,-1co) dt =~t.X.[F/ (x -tt=Cut) dtt.-~~[Fl'(x-Cot)d(x-cot)x Co.(63)tl=-_ 1_[Fl (x x CoCo t2)-Fl (x -Co tl )].Die Argumente der Funktion FI geben den Ort einer nach rechts laufenden (positive x-Richtung) Schall welle. Fl verschwindet also bei jedem x am Anfang undam Ende der Starung und dat/~~Nmit daa ,eitliehe Dmekintegcaliiber die ganze Starung.d"-ODas Auftreten von Unter00, pf,'o '/:;fcJ'O~~---i"'--~!l;-trotQMtlYtllt druckgebieten in Kugelwellenentspricht den Beobachtungen,daB bei Bombenwiirfen dieFensterscheiben vielfach vor dasift~ z.x-!;fc- ,Haus fallen.Dem in Abb.
30 behandeltenx-!jc-tgJtliQ-!11"-'00,:JL..'o70o,-="=,-'-,'<--">:z:-t!roZy-lintltrwt/ltBeispiel del' Kugelwelle ist fol~gende Funktion FI zugrundegelegt (~ = x - Co t) :''l5't.Lfiir F I-Co to ;:::; ~ ~ 0:4~2(10~ (co to )2"-+ Co to )2 ,fiir ~ ~ -Abb. 30. Ausbreitung schwacher Druckwellen. Quellstiirke inx ~ 0 und Druckwelle in x ~ coto tiber der Zeit, Druckwellezu den Zcitcn t ~ 0,5 to lind t = 2 to liber dem Ort.Co to und 0 ~ ~:FI =0.1m Zentrum ist al so F I == _ ~~~_)2n(.!.-.)2to(1 __tofiir 0 ~ t ~ to und verschwindet fiir alle anderen Zeiten.
D. h. mit Gl. (62),daB die Quellstarke im Zentrum in Form einer Glockenkurve anwachst undwieder abfallt. Das Extremum der Kurve liegt bei t~, bei t = 0 und t = toverschwindet Fl und seine erste Ableitung. [Die Funktion FI> welche nachGl. (61) die Dimension von Geschwindigkeit mal Flache haben so11te, ist hiereinfach mit Dimension einer Flache angesetzt, da es im Resultat (Abb. 30) nul'auf einen Vergleich von GraBen gleicher Dimension ankommt.] Fiir die thermischen GroBen folgt:- -~--(c - c ) = ~ F ' (~)lOx1% -fiir -=Co to ~ ~ ~-~1..(~+ -~-):r;x2Co to0, sonst FI'=(1 -I- __L)Co toO.Die Funktion FI' verschwindet also an den Endpunkten und in der Mitte(~=-c~o ).
In zeitlicher Reihenfolge ergeben sich anfangs Uberdrucke. Da fIII, II. Kleine St6rungen im ruhenden Medium.87selbst proportional x 2 ist, nehmen die Druckextreme proportional mit dem Abstand vom Zentrum aboWahrend die Darstellung von Kugelwellen bei Linearisierung noch einfachwar, bediirfen Zylinderwellen einer weitergehenden Uberlegung. Die G1. (52)und (56) lassen sich nicht mehr so einfach lOsen. Wegen der Linearitat derGleichungen sind aber Superpositionen moglich, die Summe zweier oder mehrererLosungen ist wieder eine Losung. Werden also auf der ganzen Zylinderachse zgleiche Kugelwellen angenommen, so miissen diese eine Zylinderwelle ergeben.Da es in dem Raum hoherer Dimension (a = 2) einfache Losungen gibt, gelingtes, auch im Raum kleinerer Dimensionen Losungen aufzubauen.
Man sprichtvon einer "Absteigemethode"*.1st nun x der Abstand von der Zylinderachse (Abb. 31) und z die Koordinate auf der Zylinderachse, so ist der Abstand eines Punktes x in der Ebene z = 0von einer Kugelquelle mit dem Zentrum auf der Zylinderachse im Abstand zvom Ursprung gleichx2Z2.Dieser Abstand ist iiberall dort, wo bei derKugelquelle x steht, auch in t = prop. X2, einzusetzenund dann iiber jene Werte von FI zu integrieren,zfiir welche sich die Funktion von Null unterscheidet.Auf der Zylinderachse selbst herrscht Quelltatigkeit in der Zeit 0 ;S t ;S to' Die vom Ursprungausgehende Storung wird einen Punkt x der x-AchseV +in der Zeit ~ ;S t ;S ~CoCo+ to durchlaufen.In dieserZeit kommt noch die Storung aller Quellpunktehinzu, die geniigend nahe am Ursprung liegen, umoZ'an der Storung im Punkte x zur Zeit t mitzuwirken. Abb.
31. Skizzc zur AusbreitungFiir sie darf der Abstand vom Punkte x, d. i.einer Zylinderwelle.X2Z2 nicht grof3er sein als der Weg Co t, den eineStorung in der Zeit t zuriickzulegen vermag. Damit sind die Grenzen durch z = 0und Vx 2Z2 = Co t festgelegt, solange die Storung aus dem Ursprung den betrach-V ++teten Punkt durchlauft.
Fiir spatere Zeiten (t ~ :+ to)beteiligen sich dieQuellen am Ursprung nicht mehr, weil sie versiegt sind. Es kommen dann nurQuellpunkte mit x 2Z2 ~ Co (t to) in Frage. Damit ist das Potential einersich au.sbreitenden Zylinderwelle (der positive und negative Teil der z-Achse ergibtdas gleiche Resultat):V +fiir x ;SCot ;S x+ Co to:(64)VCo2 t2 If!=2f-vX2_1- -x2+ Z2F(fiT+1CoZ2 -t) dzVco' (t _""CtCCo);C-,--x""",bei Quelltatigkeit fiir 0 ;S t ;S to' Fiir Zeitengestort.*COURANT-HILBERT:Cot<xbleibt die Stelle noch un-Methoden der Mathematischen Physik, II.
Bd., S. 166.III. Instationare Fadenstromung.88Schon die bisherigen Betrachtungen zeigen einen grundlegenden Unterschiedder Zylinderwelle von der ebenen Welle und der Kugelwelle. Das Medium kommtnach dem Durchgang der ersten Starung iiberhaupt nicht mehr zur Ruhe, esklingen dauernd Storungen, von entlegenen Kugelwellen kommend, nachoDie Ableitungen von cp Gl. (64) ergeben fiir x ~ Co t ~ x + Co to:Vco2 t 2 -WX2= 2f[~_I-----FI'(V X 2 +Z2 - co t) 22(lVX1------ F2x+ZVi Co 2 t2 -_2-1- (c x -+Z21V +(--x2Z2 -c t0)1 V'..
__. +xdz=;:r2Z2 '(fiii)X2co) = 2f. - 1 _ F I'VX2 +Z2(V x + Z2 -Co2t) dzofiir Co t ~ xCo t ist wie in Gl. (64) wieder nur zwischen den GrenzenVC02 (t - to)2 - x 2 ~ Z ~ Vc;Tt 2 - X2 zu integrieren. Die Ableitungen nachden Grenzen der Integrale von cp verschwinden mit der Funktion FI an dies enStellen.Gl. (65) kann aus Gl. (61) auch direkt gewonnen werden, indem das x clerx 2 + Z2 der Zylinderwelle ersetzt wird. WahrendKugelwelle wieder durchsich C- Co als skalare GroBe einfach durch die Summe der (c - co)-WerteallerKugelwellen darstellt, muB bei der Geschwindigkeit W die Normalkomponente+Vauf die z-Achse, also die mit -.__x__ multiplizierte Geschwindigkeit der Kugel-VX2 +Z2welle, integriert werden.Es ist noch festzustellen, wie die Quelltatigkeit an der Achse mit der Funktion FI zusammenhangt.
Die zeitlich durch einen Zylinder von der Hohe h unddem Radius x flieBende Masse Gist innerhalb linearer Naherung mit Gl. (65):G=2 n xheo WJ/Co2 (2 _:z;2·=4n x2eoh jO,+,F I'•xTZ(rr + Z2- co t) 2_._1_3_ 1 FI(X2 + Z2) ,2(I/~-+ Z2-=--C O t) -Idz._oHierin muB iiber z integriert und darnach x = 0 gesetzt werden, wozu aber dieFunktion FI bekannt sein muB. Endliche Werte fiir FI iiberall vorausgesetzt,lassen sich aber direkt schon Aussagen machen. Weil x 2 vor dem Integral alsFaktor steht, kann von Ausdriicken ein Beitrag erwartet werden, deren Nennerbei x = 0 selbst gegen Null geht. Das konnen bei x = 0 nur Werte des Integrandenbei z = 0 sein.
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