K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 33
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39. Reflexion elnes StoBes an einer festen WandGl. (81)). Dies fUhrt zu einer Ver- (---- Teilchenbahn). (Wenn, wle auch in mehreren derBilder, kein Mallstab angegeben wird, mulldoppelung der Schallgeschwindig- folgendendieser an den Koordlnatenachsen gleich angenommenkeitsstorung nach der Reflexion anwerden. Seine Hinge hlngegen blelbt willkiirlich.)der Wand [C 3 - C1 = 2 (C 2 - C1 )],wahrend die Druckstorung mehr als verdoppelt wird, was unmittelbar aus derIsentropie folgt.
Es unterscheiden sich auch bereits "Einfalls- und Reflexionswinkel" des StoBes.Handelt es sich urn sehr starke StoBe, so kann beim "einfallenden" StoB mitden Gl. (79) und (80) gerechnet werden, nicht aber beim reflektierten StoB. MitGl. (80) ergibt sich LI WC2=V"(2,,-1). DaLI W beim zweiten StoB gleichist, kann aus der erst en Gl. (77) das Verhaltnis D 23 und aus den zweiten GleiC2chungen Dichte und Druck berechnet werden.
Es ergibt sich fUr einen sehr starkeneinfallenden StoB:.R!. = __"_;e2"- 1Ps _ ~-1 .P2,,- 1Die Verdichtung im ersten StoB ist hochstens ~!ll= ,,+sich die maximale Verdichtung bei einer Reflexion zu:!Is--e; =,,-11 ,und damit ergibt+,,(x1)(,,-1)2'(93)Das Druckverhaltnis Ps -Pl, welches bei kleinsten Storungen den Wert 2P2-Plannimmt, kann bei einer Reflexion eines starken StoBes (PIden Betrag3 ~~ - 1PS-Plnicht iibersteigen 7 •x-I~P2 und PI ~ Pa)(94)106III. Instationare Fadenstromung.Die Reflexionsvorgange an StoBen konnen auch in Abb. 34 verfolgt werden.Es wurde darauf hingewiesen (Abschnitt 14), daB die Kurvenaste unter C = 1cdie Werte vor dem StoB wiedergeben, wenn die Werte nach dem StoB bekanntsind.
Abb. 34 gebe die StoBpolare fur den Zustand 2 wieder (also c = c2 ).Dann liegt C1 /C 2 auf dem unteren, C3 /C 2 auf dem oberen Kurvenast beim gleichendurch die Aufgabe gegebenen,clWC2-Wert. Zur Auswertung ware nur nocheine ~-Skala an der StoBpolaren anzubringen. Dieser fur die Behandlung dercReflexion bedeutend einfachere Weg erscheint indessen nicht so verallgemeinerungsfahig.Nicht immer ist eine Reflexion der hier geschilderten einfachen Art moglich.In diesem Zusammenhang kann es dann zu StoBverzweigungen kommen (sieheetwa 8).19. Uberlagerung gegenlaufiger Verdichtungssto6e.Schon die Reflexion eines StoBes an einer Wand konnte als Uberlagerungzweier gleich starker gegenlaufiger StoBe betrachtet werden.
Es interessiertdie Verallgemeinerung auf StoBe beliebiger Starke. Dabei kann das Koordinatensystem - ohne die Allgemeinheit zu beeintrachtigen - stets so gewahlt werden,AWoAbu. 40. Dberlagerung zweier gegenliiufiger StoBwellen in der Stromungsebene und im W,p- Stol.\polarendiagramm (---- Teilchenbalm; =Unstetigkeitslinie).daB beide StoBe in ein ruhendes Medium hineinlaufen (Abb. 40). Nachdemdas Gas aIle StoBe durchlaufen hat, muB es eine einheitliche Endgeschwindigkeitund einheitlichen Enddruck besitzen. Jedoch konnen sich die Gasteilchen, jenachdem, welche StoBe sie durchlaufen, in der Endentropie und somit in der Endtemperatur unterscheiden.
Lediglich bei schwachen StoBen sind die Zustandsanderungen isentrop. Gemeinsamer Enddruck ist dann gleichbedeutend mitgleicher Schallgeschwindigkeit, der im folgenden besprochene Vorgang kanndann einfacher im StoBpolarendiagramm derW-Ebene (Abb.38) verfolgtwerden. ("Isentrope Naherung".) 1m Beispiel der Abb.40 ist ein groBerUnterschied in der StoBstarke angenommen, urn den allgemeinsten Fall darzustellen.c,III, 20. Nachlaufende Schall- und Stoi3wellen.107Gegeben sind zwei in ein ruhendes Medium 1 vordringende StoBe und damitdie Zustande 2 und 3, welche zwei Punkte auf den StoBpolaren des Zustandes 1in der verzerrten.t..,PIW -Ebenec1darstellen.
(Eine nichtverzerrtep, W-Ebene zuwahlen, ist wegen der groBen Druckunterschiede unzweckmaBig.) Alle moglichenZustande, welche mit einem StoB vom Zustand 2 oder 3 aus zu erreichen sind,1iegen auf StoBpolaren, die die Punkte 2 und 3 als FuBpunkte haben. DerSchnittpunkt der beiden Polaren gibt Druck und Geschwindigkeit in denPunkten 4, 5, bezogen auf PI und CI . Die Schallgeschwindigkeiten und StoBgeschwindigkeiten in den Punkten 4 und 5 sind uber die Druckverhaltnisse ::und ~ gesondert zu berechnen. Zur Ermittlung der Neigungen von LebenslinienPsund StoBlinien in der Stromungsebene sind zunachst alle Geschwindigkeitenauf die Gerade ci zu beziehen.
Auch darf nicht vergessen werden, zur StoBgeschwindigkeit U relativ zum Medium vor dem StoB die Geschwindigkeit vordem StoB zu addieren [Gl. (92)], um die absolute StoBgeschwindigkeit zu erhalten.Die StoBpolare in Abb. 35 bezieht sich auf den Zustand vor dem StoB,fUr den StoB 2 ..... 4 also auf den Zustand 2. Wenn die p und W auf PI und ci,,-1bezogen werden sollen, ist~2 I-,,-1(.E..)~ mit dem FaktorP2(.J2.)2;<undPIA~.c2mit dem Faktor ~ zu strecken. [Entsprechendes gilt naturlich auch fur die imC1Punkte 3 beginnende Polare.] Zum Unterschied von den Verhaltnissen inAbb.38 unterscheiden sich die Streckungen auf beiden Achsen um einen Faktor:,,-18,-8,~ (.J2.)"""2><- =e2C;" ,c2Plder nach Gl. (91) vom Entropieanstieg im StoBe 1 -.2 allein abhangt.20.
Nachlaufende Schall- und Sto6wellen.Laufen stetige oder stoBartige Verdichtungen hintereinander her, so lauftdie nachkommende Verdichtung mit erhohter Schallgeschwindigkeit auf derin Stromungsrichtung bewegten Gasmasse. Die Wellenfront steilt sich auf.Wahrend dieser Vorgang in Abschnitt 13 naherungsweise verfolgt wurde,geben Gl. (87) und (90) ein exaktes Beispiel fur eine ebene, steiler werdendeDruckwelle. Mit den oberen Vorzeichen erhalt man eine positiv laufende Druckwelle, die in Abb. 41 fur ein Druckverhaltnis von etwa 1: 20 gezeichnetwurde. (Der ZeitmaBstab ist der groBeren Deutlichkeit wegen mit dem Faktor 2multipliziert.) An einer bestimmten Stelle wird der Druckanstieg unendlich,hier muB offenbar ein StoB ansetzen.Die von 1 nach 2 fuhrende Gerade sowie die in 1 ansetzende StoBpolareim verzerrten W,p-Diagramm geben die stetige Verdichtung [Gl. '(90)] und diemoglichen StoBe wieder.
Es kann aber kein StoB gefunden werden, der zumZustand 2 fuhrt. Nur in dem Gebiet, in welchem die nach 2 fuhrende Geradeund die StoBpolare praktisch zusammenfallen, also innerhalb der isentropenNaherung, lage Punkt 2 auch auf der Polaren.1m allgemeinen muB vom Ansatzpunkt des StoBes also noch eine zweiteStorung abgehen. Diese kann wieder nur die Losung (90) sein. Mit dem unterenVorzeichen genommen, ist es eine im Polarendiagramm fallende Gerade, welcheim Schnittpunkt mit der Stol3polaren 3 und 4 Geschwindigkeit und DruckIII.
Instationare Fadenstromung.108hinter dem StoB ergibt. Da im Zustand 1 und 2 gleiehe Entropie herrseht(8 2 = 8 1 ),ist die Neigung der Geraden zurTV -Aehse gleieh -1,0; der PunktC13, 4 in der Zustandsebene entsprieht den beiden Seiten der Unstetigkeitsliniece,tIt'r,,r 'Abb. 41. Nachlaufende Schallwellen in Stromungsebene und W,p-Ebene ( - - Machlinien,keitslinie, - - Ston).Unstetig-in der Stromungsebene.
Wieder erreehnen sieh fur c, T oder (! fur das Feld 3uber die Isentropengleiehungen, fur 4 uber die StoBgleiehungen untersehiedliehe Werte. AuBer dem StoB ergibt sieh also eine stromaufwarts laufende Vei·dunnung, welehe - im Gegensatz zu den Verhaltnissen inAbb. 36 - bei endlieher StrocOmungsgesehwindigkeit III 2endigt.1 '0Die Losung Hir zwei naehlaufende StoBe ergibt sieh ganzanalog (Abb.
42). Ein StoB kannAim allgemeinen nieht gleiehe':' zeitig vom Zustand 1 in den!-'-----!;c----!~--''4 Zustand 2 und 3 fuhren. YomTreffpunkt beider StoBe gehtAbb. 42. Zwei nachlaufende Stolle in der Stromungs· undZustandsebene.wieder eine Verdunnung aus[Gl. (90)], welehe im Polarendiagramm dureh eine vom Punkt 3 ausgehende fallende Gerade dargestellt wird,deren Sehnittpunkt mit der Polaren des Zustandes 1 die gesuehten Zustande inden Feldern 4 und 5 ergibt.
Wegen 8 3 =!= 8 1 ist die Riehtung del' Geraden8 2 - 83dureh -e~ (im vorliegenden Fall= -0,89) gegeben.21. Reflexion eines Sto.6es am offenen Ende.Es sei zunaehst angenommen, daB ein StoB konstanter Starke in einem Rohrin ein ruhendes Medium laufe und dabei sehlieBlieh an das offene Rohrendegelange. Hier muB eine Reflexion so VOl' sieh gehen, daB an der Reflexionsstellestets del' gleiehe Druck PI herrseht. Es muB angenommen werden, daB ein VerdiehtungsstoB ahnlieh wie eine sehr kleine Verdiehtung (Abb.
32) als Verdunnung reflektiert wird, wobei diese am Rohrende sprunghaft einsetzt. AmIII, 22. Exakte L6sungen anisentroper Vorgange.109StoBende muB also eine Lasung der Gl. (90) einsetzen, welche auf den Druck PIfuhrt. Es ist die eine vom Punkt 2 ausgehende, im vorliegenden Fall mit der81- 8 2Richtungskonstanten - e+ 2"C;- = - 0,99 fallende Gerade, die im Schnittpunkte 3 mit der W-Achse den Stramungszustand am Rohrende nach derRefIexion ergibt.Wahrend also an der fest en Wand der Zustand nach der RefIexion dadurchgefunden wurde, daB in der Zustandsebene vom Punkte 2 ausgehend die PolarefUr einen entgegengesetzt laufenden StoB bis zur Achse W = 0 gezogen wurde,muB hier die einem entgegengesetzt laufenden Verdunnungsfacher entsprechendeGerade bis zur Achse p = PI gezogen werden. Ein Verdunnungsfacher ersetzthier den thermodynamisch unmaglichen VerdunnungsstoB.
1m Gegensatz zum StoB gibt der Facher nure,tin einem einzigen Punkt emen? 10sprunghaften Druckabfall.Wenn das Medium vor dem StoBstromt, so wird die Losung durchentsprechende Verschiebung derPolaren in W-Richtung im W,pDiagramm gefunden. In dies em Falloder auch bei starkeren StoBen kanndas Gas hinter dem StoB mit Dber- Abb. 43. Reflexion eines Sto/3es am offenen Rohrende.schallgeschwindigkeit stromen. Derin Abb. 43 eingezeichnete Verdunnungsfacher weist dann aus dem RohI' heraus,im Rohr selbst wird der Druck durch das Rohrende nicht beeinfIuBt.
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