K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 37
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Lediglich beiLinearisierung besitzt man in Gl. (101) die exakten Machschen Linien. Die Ortsbestimmung der Machschen Linien laBt sich aber sofort leicht urn eine Ol'dnungverbessern, wenn man fur die Richtungen von P r nach P und von PI nach P dasMittel aus den Richtungen in den Punkten Fr und F bzw. PI und P bildet.Es ist deshalb zweckmaBig, zuerst den Zustand im Punkte F mit Gl. (1l2) zubestimmen, womit die mittlere Richtung der Maehsehen Linie ohne Iterationangegeben werden kann.Indem aus den bereits bestimmten Punkten wieder neue Punkte bereehnetwerden (Abb.53), wird das Stromungsfeld in einem Punktgitter bereehnet,weshalb aueh von "Gitterpunktverfahren" gesproehen wird. Auf diese Weisewird das ganze "Fortsetzungsgebiet" (Abb.
50) bestimmt. Dieses umfaBt,wenn die Zustande auf der ganzen x-Aehse oder t-Aehse bekannt sind, die gesamteStromungsebene.Das erste Verfahren von PRANDTL und BUSEMANN fur stationare Ubersehallstromung sowie das Verfahren von SCHULTZ-GRUNOW fur instationare ebeneIII, 28. Berechnung beliebiger ebener, isentroper Vorgange.121Wellen ist als sogenanntes "Felderverfahren" aufgebaut. Bei diesem wird angenommen, die Zustande in der Stromungsebene waren in kleinen Feldern, wiesie sich zwischen den beiden Scharen Machscher Linien (Abb.
50 und 53)ergeben, konstant, die Zustandsanderungen hingegen gingen sprungartig in denMachschen Linien wie in kleinen stufenartigen Schallwellen vor sich. Stromlinien, Randkurven und Machsche Linien sind dann Polygonzuge. Das Verfahrenbirgt eine Dualitat in sich, indem Felder der Stromungsebene, die ja kleined.rGebiete konstanter Zustandedarstellen, Punkte der Zu- y~;-,17,~-{standsebene darstellen.
In denKreuzungspunkten MachscherLinien hingegen treten aIle"Obergangszustande der vier anAbb . 54. Richtungs!eld.grenzenden Felder auf. DiesePunkte entsprechen ganzen Feldern in der Stromungsebene. Der Nachteil derFelderverfahren besteht in der durch die Feldereinteilung eingefuhrten Ungenauigkeit, welche sich besonders bei der Erweiterung der Methode auswirkt, sodaB fast nur mehr mit Gitterpunktverfahren gerechnet wird. In mancherHinsicht sind die Felderverfahren allerdings physikalisch anschaulicher.
Manerkennt sie in den Arbeiten sofort daran, daB die Zustandswerte in die Felderder Stromungsebene hineingeschrieben sind, wahrend die Zustandswerte bei denGitterpunktverfahren den Gitterpunkten zugeordnet sind.Eine weitgehende Reduktion der Arbeitzur Berechnung des einzelnen Gitterpunktesist wichtig. Nach Gl. (109) andert sich Wrurn den " 2 1 -fa chen (bei Luft also urnden fiinffachen) Betrag der Anderung von c.Es ist zweckmaBig, von vornherein mit den -lQt-:*~~~*~~*"~~~¥.,~,...,2'Werten - - - c zu rechnen. Werden dann,,-1von vornherein diejenigen Machschen Liniengezogen, welche beginnend beim Ruhezustand2 2 '( W = 0, -,,-- 1 - c = -,,-1- - co) gleich groBenStufen von W entsprechen (etwa W = 0;± 0,1 co; ± 0,2 Co usw.), so treten auch nur2gleich groBe Stufen fur ,,_ 1 c auf und dieAbb.
55.harakteri~tikend!.gramm in derZustandsebene fUr )/ ~ 1.400.Berechnung der W- und c-Werte Iiach Gl. (112) wird so einfach, daB sie nach kurzer"Obung im Kopf erledigt werden kann. Zu den Gitterpunkten in der Stromungsebene werden zweckmaJ3ig Nummern geschrieben und in einem Protokoll zu,,-den N ummern die Werte von W, __2-1- c, W - c und W+ c notiert .Fur dieKonstruktion der Machschen Linien zeichnet man ein Richtungsfeld (Abb.
54).Mit Zeichenmaschinen wird besonders wegen der zahlreichen Winkeliibertragungen die Arbeit bei allen Charakteristikenverfahren sehr beschleunigtund kann im ubrigen Rechenhilfskraften uberlassen werden.Bei den Verallgemeinerungen ist es sehr empfehlenswert, ein Diagramm derZustandsebenen zur Hilfe zu nehmen (Abb. 55, W, c-Diagramm). In diesessind die Geraden (Gl. 109) einzutragen. Es sind dies die Bedingungen auf denCharakteristiken und daher die Bilder der Charakteristiken in der Zustandsebene,III. Instationare Fadenstr6mung.122wobei Rechtslaufigkeit beziiglich der Lebenslinie in der Stromungsebene Rechtslaufigkeit beziiglich der W-Achse in der Zustandsebene entspricht. Die ZustandeW" cr und WI, Cl entsprechen zwei Punkten in der W,c-Ebene.
Der gesuchteZustand W, c ist jener Punkt der W,c-Ebene, welcher mit W" Cr die rechtslaufigeund mit WI' cl die linkslaufige Charakteristik gemeinsam hat (Abb. 56). InAbb. 55 konnten auBerdem noch Gerade W ± c = konst. eingetragenwerden, was aber kaum lohnt. Am best en werden gleich die Halbierungspunktevon P P r und P PI aufgesucht, bei ersterem Wc und bei letzterem W - cgebildet, um die Richtung der Machschen Linien zu erhalten.
Ganz entsprechendlaBt sich innerhalb isentroper Naherung auch die Richtung des VerdiehtungsstoBes als arithmetisches Mittel der Neigungen gleichlaufender Machscher Linienablesen. (Ein in positiver Richtung, also nach rechts laufender StoB entsprichtdabei linkslaufenden Machschen Linien, weil die StoB/rant nach links iiber dieLebenslinie hinweglauft.) Bei nicht idealen Gasen ist ein Diagramm entsprechendzu Abb.
55 besonders empfehlenswert. In Gl. (106) sind bei Isentropie (! und cFunktionen von p. Es kann dann als neue ZustandsgroBeeine Funktion F(c):+F(c)=JdePc(114)eingefiihrt werden, die auch als Funktion von p oder,IfI,./Ifgesehen werden kann. Sie tritt an Stelle von..(!an-~1c beim%-idealen Gas. Die Gl. (106) integriert lauten dann:WAbb. 56. Lagc der FunktePI. P r und P in der Zu·s tn nd.se be ne.~+ F(c) =+ W + F(c) == konst.: - W'Y) =konst.:+F(c o ('Y))),F(c o (~)).(115)F (c) = konst. sind nun in der W,cDie Kurven =f WEbene keine Geraden mehr. Sie konnen natiirlich erst auf Grund der Isentropengleichungen des betreffenden Mediums mittels Gl.
(114) berechnet werden. ManmuE neben c auch noch den MaBstab vonJ_l-cedp= F(c) eintragen. Wenn dasDiagramm einmal hergestellt ist, erfolgt die Berechnung der Beispiele ebensorasch wie beim id. Gas konst. sp. W. Bei dimensionsloser Schreibweise wirdman nun nicht mehr auf eine Ruheschallgeschwindigkeit beziehen, sondern aufeine Schallgeschwindigkeit bei einem physikalischen Normalzustand (etwaT = 273 0 und p = 1 at). Die Diagrammform hangt bei nicht idealen Gasen imallgemeinen noch vom absoluten Druck in einem belie big zu wahlenden Zustand aboDie Konstruktion der Teilchenbahnen bietet keine Schwierigkeit, ist aberein wenig umstandlich. Die Richtung ist durchdx _ Wdt -gegeben. Damit ist das ganze Richtungsfeld der Stromlinien bekannt, wenn dieGitterpunkte berechnet sind.
Die schrittweise Konstruktion einer Stromliniemacht allerdings Interpolationen erforderlich, welche am besten in den Kreuzungspunkten der Stromlinien mit den Machschen Linien ausgefiihrt werden.29. Randbedingungen bei ebener isentroper Stromung.Die Randbedingungen lassen sich bei den Charakteristikenverfahren meistin einfachster Weise erfiillen. 1st an einer fest en Stelle (x = xo) eine teste Wand(W = 0), so wird zunachst die auf die Stelle zuwandernde Machsche Linie ge-III, 29. Randbedingungen bei ebener isentroper Stromung.123zogen (Abb. 57).
Auf ihr besteht eine Bindung zwischen W und c, bei emerrechtslaufigen Welle etwa:2W+ - - 1 c = Wr~-+ - - 2 -1 cr,~-wobei die Werte Wr , Cr durch den letzten Gitterpunkt gegeben sind. An derStelle, wo die Machsche Linie auf die Gerade x = Xo trifft, wird ein neuer Gitterpunkt gezeichnet, dessen W = 0 ist und dessen c-Wert sich aus der oberenGleichung sofort ergibt.Handelt es sich um eine bewegte Wand, so ist die Lebenslinie der Wand inder Stromungsebene bekannt. Auf ihr kennt man in allen Punkten W, also kann,wie bei der festen Wand, das c in einem Schnittpunkt mit einer Machschen Liniesofort angegeben werden, womit ein neuer Gitterpunkt, von welchem die weiterenRechnungen ausgehen konnen, gefunden ist.Ganz analog ist bei einem offenen Ende, aus welchem das Medium ausflieBt,vorzugehen.
Hier ist bei Unterschallgeschwindigkeiten der Druck gleich demttp.xIIorAbb.57. Zustandswerte im Randgitterpunkt.Abb .5 . Oberschallaustritlsgeschwindigkeit am offenenRohrende .AuBendruck. Mit der Isentropengleichung ist also am offenen Ende die Schallgeschwindigkeit c vorgeschrieben.
Damit kann nun umgekehrt die Geschwindigkeit W der Punkte auf den Machschen Linien am offenen Ende sofort angegebenwerden. Bei Vberschallgeschwindigkeit im Austrittsquerschnitt laufen keineMachschen Linien yom Endquerschnitt in das Rohr hinein (Abb. 58). DieWerte in den Gitterpunkten am Austrittsquerschnitt werden mit Hilfe der Wertein zwei Gitterpunkten im Rohr bestimmt.ABe besprochenen Randbedingungen lassen sich sehr einfach im Zustandsdiagramm verfolgen. Dies ist fur den folgenden Fall besonders empfehlenswert.Stromt ein Medium in ein offenes Rohrende ein, so kann der Druck nicht mehrgleich dem AuBendruck gesetzt werden, weil die Beschleunigung des Mediumsauf die Einstromgeschwindigkeit mit einem Druckabfall verbunden ist. DieStromung in der Umgebung des Rohrendes kann in jedem Zeitpunkt als stationarangesehen werden, wenn das Rohr lang im Verhaltnis zu den Abmessungen ist,in welchen sich die Beschleunigung der Luft beim Einstromen voIlzieht.
DerDruckausgleich voIlzieht sich ja mit Schallgeschwindigkeit, deren Wert bei denVorgangen nicht stark variiert. Bei einem langen Rohr kommt die erste Schallwelle an das offene Ende zuruck, nachdem dort schon viele SchaIlwellen imBeschleunigungsgebiet der Einstromung auf und ab laufen konnten und damitlangst eine stationare Stromung hergestellt haben. Weil das Einstromgebieteine kugelige Senke darstellt, ist es sicher nur wenige Rohrdurchmesser groB.Das Rohr muB also lang im Verhiiltnis zu seinem Durchmesser sein, wenn amRohrende mit quasistationarer Stromung gerechnet werden solI. Ganz entsprechende Vberlegungen gelten bei einem Kessel, welcher durch ein Rohr entleert wird. Damit der Kesseldruck nicht zu rasch falIt, wird das Kesselvolumenim allgemeinen groB gegen das Rohrvolumen sein mussen, die Rohrlange aber124III. Instationare Fadenstromung.wieder groB gegen dessen Durchmesser.
Bei Zulassigkeit der Annahme quasistationarer Stromung am offenen Rohrende kann 20 mit dem Energiesatz stationarer Stromung [Gl. (II, 29)] gerechnet werden, der mit c1 als Schallgeschwindigkeit des Ruhezustandes in der Rohrumgebung lautet:"-2Diese Beziehung zwischen1(~) 2 + (~)' 2 = l.c1c1~und ~ gibt in der W,c-Ebene ellle EllipseCC11(Abb. 59). Die Zustandswerte eines Gitterpunktes am o//enen Rohrende mussen beimEirudromen sowohl auf dieser "Energieellipse" als auch auf der vom letzten Gitterpunkt zum Rohrende fUhrenden Charakteristik liegen und sind damit an Hand vonAbb.
59 leicht bestimmbar.Auf das Verhalten von StoBen an denRandern braucht nicht weiter eingegangenwerden. Da die Sto13fronttiefe auBerordentAbb.59. ClJarakteristiken und Energieellipselich gering ist, kann der Zustand in derin der Zu,stanchebene fiir ,, = 1,400.unmittelbaren Umgebung vor und hinterdem StoB stets als konstant angesehen werden. Die entsprechenden Beispiele wurden bereits in den Abschnitten 18 bis 21 behandelt.30. Anwendung der Charakteristikenmethode auf das Ausstromenaus einem unter Uberdruck stehenden Rohr.Abb. 60 gibt die Stromung aus einem im Ausgangszustand unter Uberdruck stehenden, linksseitig geschlossenen Rohr. Damit wird ein Einblick indie Methode gegeben, der ohne wei teres fUr die Anwendung des Verfahrens aufandere Beispiele ausreicht. Das Beispiel wurde ganz ahnlich bereits von SCHULTZGRUNOW 20 gerechnet. Die Berechnung erfolgte im Felderverfahren und wurdehier fur das Gitterpunktverfahren und ein etwas gesteigertes Druckverhaltniswiederholt.
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