K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 39
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DieEntropie eines Teilchens bleibt in der stetigen Stromung nach Gl. (104) dannkonstant. Sie hat auf Lebenslinien zwischen den Stemen feste Werte und andertsich nur auf den StoBen selbst sprunghaft. Werden also gleichzeitig mit demIII. Instationare Fadenstromung.128Netz der Machschen Linien auch die Teilchenbahnen konstruiert, so kann dieEntropie bei der Berechnung der Gitterpunkte als bekannt angesehen werden, da sieim Abhangigkeitsgebiet (Abb. 49) mit dem Ausgangszustand gegeben ist. Allerdings munden die Lebenslinien meist nicht gerade in jenen Gitterpunkten, inwelchen der Entropiewert gefragt ist, wodurch Interpolationen erforderlichwerden.
Es ist deshalb zweckmiiBig, die Entropie am Rand der Stramungsebeneals Kurve aufzutragen (Abb. 62).In den meisten Fallen wird der Querschnitt f eine Ortsfunktion sein, so daB1 0/auch - als Funktion von x am Rand der Stramungsebene aufgetragenf oxwerden kann.
Bei Anwendung auf Kugel- oder Zylinderwellen ist die Funktion [Gl. (34)J besonders einfach.Es wird bei der allgemeinsten Form der Charakteristikenverfahren mit der Bestimmung des Ortes anPunkt P begonnen, der wieder mit bekannten Punkten P,und P z auf einer gemeinsamen rechtslaufigen und linkslaufigen Mach-Linie liegen mage. Deren Richtungensind bekannt [Gl. (113)J, wodurch P in der Stramungs'------ -+.- - ' -- I---,r,..- ebene festgelegt ist.t'~~ : iMit den Vertraglichkeitsbedingungen (106) ist dieI~Anderung von W und P langs Machscher Linien gegeben. Eine Integration dieser Gleichungen ist nunAbb.62. Gitterpunktrechnungin der Strornungsebene beiaber allgemein nicht mehr maglich.
In der Zustandsanisentroper Striirnung (scheebene sind die Charakteristiken keine von vornhereinIllatisch) (____ Lebenslinie).festliegenden Kurven. Die Gl. (106) kannen wie folgtin Differentialform geschrieben werden:1- W + Wz +ec(p-pz)w-W--l- -1(p -P)=-c=-(W0/ + TTt1 0/)-I-ax( t - t z)'(Wfax-0/c ---l- -1-0/)at (t -(116)t )fr .Fur eine erste Naherung sind e c und das Produkt von c mit der Querschnittsanderung in den Gitterpunkten P r und P! zu nehmen (hahere Genauigkeit furdie Orts- und Zustandsbestimmung des Punktes P gewinnt man bei ein wenigUbung sofort, weil sich die Werte der entsprechenden GraBen fUr die Halbierungspunkte von P P r und P P z leicht extrapolieren lassen, wenn einige Schritte gerechnet sind).Die beiden Gl. (116) stellen in der W,p-Ebene gerade Linien dar, derenRichtungskonstante gegeben sind durch± e c.(117)Da e und c von p und 8 allein abhangen, kannen sie aus den p-Werten in denPunkten P, und P z und den Entropiewerten auf den Lebenslinien bestimmt werden.Die erste Gerade (116) geht durch den Punkt mit den KoordinatenW aj1 OJ)W = W z + c (T ox + T Tt (t - tz)'P = pz;r'eerIdie zweite Gerade (116) durch den Punkt:W = W, -W ofc (-,-ax1 0/)+ TTt(t- tTl,P =Pr'Diese beiden Punkte sind also um die Betrage:Ll W=± c (~~f ox + ~~)f ot(t -t z.
r )(118)129III, 31. Berechnung beliebiger anisentroper Vorgange.gegenuber den Punkten P z und P r verschoben. Diese Betrage sind jeweils ausden t-Differenzen des Punktes P mit den Punkten P z und P r und den Querschnittsanderungen zu berechnen. Der Zustand im Punkte P ergibt sich dann als Schnittder beiden Geraden (116) (Abb. 63).Fur id. Gase konst. sp.
W., die bei den Anwendungen ja stets die groBte Bedeutung haben, laBt sich die Vertraglichkeitsbedingung (lO6) mit G1. (91) fUrdie links- und rechtslaufige Charakteristik leicht auf folgende Form bringen:=t= d~ + e8::C;ld[_2_(L)X2~1]=_~(~u-lCIPICICIolnJOX+oln J )o(cIt)d(c1t).(119)Der Druck erscheint hier wieder in derselben funktionellen Form, wie er schonin der verzerrten W,p-Ebene (Abb.
35, 42 usw.) des StoBpolarendiagrammsauftrat. In dieser Ebene ergibt sich der Zustand des gesuchten Punktes ganzanalog zu G1. (116) durch den Schnitt zweier Geraden:+ e8::C;1 {[_2 (L)( ~)c 11U -iPIx:;"1]_ [_2 (L) :;"1] t1U -x1=I)PIdel'en Neigungen nun nur von der Entropie abhangen, also direkt am Diagrammrand abgelesen werden konnen. Sie gehen wieder durch jene Punkte, welchedurch die W-Verschiebungen G1. (118) aus P z undP r hervorgehen.~,Es wird bei diesem Verfahren also mit dreipthermischen ZustandsgroBen gearbeitet, mit 8,x-I~ und __2 _ (L)~ciU -1PIDas MitfUhren der1~~/"""-:..~~: :: iEntropie ist unvermeidlich, ebenso jenes der Schall~ :• •it'geschwindigkeit c, welche fUr die Ermittlung der L-----~__~------~~--- c,L11tfL1 Jtf.Charakteristikenrichtungen erforderlich ist.
DieDruckfunktion ist aber fUr die Arbeit im StoB- Abb. 63. Bestlmmllog des ZllstandesP im allgemeinstenPolarendiagramm, fUr die Bedingungen an offenen im Gittnrpunkt :Fall.Rohrenden und Unstetigkeitslinien besonders praktisch und schliel3lich auch die praktisch wichtigste GroBe. Die Entropie wird8-am besten nur in der Form e~ ausCI812 cp notiert.Dann lal3t sich mit G1. (91) stets leichtx-I(L)--z,;- ermitteln undPIumgekehrt.Die Fortsetzung einer StoBfront unterscheidet sich kaum von der Methode,wie sie schon in Abschnitt 30 beschrieben wurde. Lediglich die yom Punkte P 2(Abb.
61) in die StoBfront einmundende Charakteristik ist in der verzerrtenW,p-Ebene nicht yom Punkte P 2 , sondern von einem urn LI W nach G1. (118)verschobenen Punkt aus zu zeichnen, urn im Schnittpunkt mit der StoBfrontden Zustand hinter dem StoB zu gewinnen. Aus dem Druckverhaltnis im StoBOswatitsch, Gasdynamik.9III. Instationare Fadenstr6mung.130folgt ohne weiteres das Schallgeschwindigkeitsverhiiltnis, der Entropieanstiegund die Laufgeschwindigkeit des StoBes.Die von den verschiedenen Punkten aus gezogenen Hilfsgeraden (116) oder(120) sind naturlich keine Charakteristiken der Zustandsebene, sondern nurHilfskurven zur Ermittlung des Zustandes im neuen Punkt.
Die Charakteristikensind nach wie vor die Verbindungslinien der Bildgitterpunkte in der Zustandsebene.Das Charakteristikenverfahren kann auch mit W und c als ZustandsgroBenunter Umgehung der Druckwerte durchgefUhrt werden. Es ist dann von denG1. (108) auszugehen. Fur die Anderung der Entropie langs der Mach-Linieergibt sich mit G1. (103) fUr .; und 17 = konst.:_ c_ d (~)1u -weil~;=0 ist. Weil8cp=~ _c 2_ _ ~ (~) dt,ox1U -cpnur von der Stromfunktion 'P abhangt, ist mit GJ.
(46):2",=81--8± P1t (:1) x-1 d~ e"P-cvdt.Damit lauten die Vertraglichkeitsbedingungen auf der links- und rechtslaufigenMach-Linie eines id. Gases konst. sp. W.:~ dW=[-e(w_+2u - l de =jo!n~ec~=;Jdt.ox + Olnj)±Plt(~)X~lot -C1d'PJ(121)Hierin ist die Ableitung der Entropiefunktion nach 'P wieder nur Funktion von 'P,sie kann also uber der Stromlinie ein fiir allemal aufgetragen werden. Sonstenthiilt G1. (121) nur mehr W und e als ZustandsgroBen. Werden nun die Differentiale dW, dc, dt durch Differenzen W - Wz, W - W r , C - Cz usw.
ersetzt,so ergibt sich der Zustand im Punkte P aus dem Schnitt zweier Geraden, derenNeigung durch den Wert±u 2 1 festliegt, die aber nun durch Punkte gehen,welche aus P z und P r durch die Verschiebungen.dw=[±e(w o~ntox+ Olnf)_p1t(..5.._)X~1~ec~=:V1(t_tlotd'lfJ. ) (122)C1rhervorgehen.
Somit bleibt der Aufwand etwa derselbe wie bei der erst geschilderten Methode.32. Randbedingungen insbesondere im Zentrum.Die Randbedingungen bei der Anwendung der allgemeinen Methode fuhrenzu keinen neuen Fragen. Bei SWBen kann eine genugend kleine Umgebung derReflexionsstelle stets als isentrope Parallelstromung angesehen werden.
Randgitterpunkte ergeben sich ganz wie bei der isentropen ebenen Stromung, wobeidie Bedingung auf der Charakteristik in der Zustandsebene wieder mittels derKonstruktion einer Geraden, nun aber aus einem um .d W verschobenen Punkt,wie in Abb. 63 erfolgt.Eine Ausnahme macht lediglich die Bedingung im Zentrum einer Zylinder(a = 1) oder Kugelwelle (a = 2). Dort verschwindet mit der Geschwindigkeit WIII, 33. Allgemeine Charakteristikenmethode auf Explosionsvorgange.131auch der Querschnitt f. Die etwas schwierigen, aber fiir die Verfahren wenigerwichtigen Reflexionsvorgange von StoBen im Zentrum wurden in Abschnitt 23behandelt.
Fiir das Auftreffen einer links- oder rechtslaufenden Mach-Welleim Zentrum gilt mit Gl. (106) und (34):=t= dW+ _l_dp =ec-ac~dt.xAuf der rechten Seite steht dabei eine kleine GroBe im Nenner, weshalb es fraglicherscheint, ob dort W und x durch die Werte WI und Xl in dem dem Zentrum nahegelegenen Ausgangspunkt P z gesetzt werden diirfen. W verschwindet im Zentrumund kann in des sen Umgebung linear angesetzt werden:WWz=XXld. h. das Verhaltnis'~hat dort einen konstanten Wert. Nun kann in ersterXNaherung wegen des Verschwindens von W~=t-tzXzgesetzt werden, folglich ist mit dW = _1_ec(p-Pz)±c=Xz=Wz:=t=(1+ a). Wz.(123)Der Druckanstieg und bei isentroper Stromung also auch der Schallgeschwindigkeitsanstieg ist der (1a)-fache Betrag des Wertes bei ebener Stromung.Natiirlich gibt es bei einer linkslaufigen Welle bei negativem W z Druckanstieg,bei positivem Wz Druckabfall.Beim erst en Auftreffen einer in ruhendes Gas auf das Zentrum zulaufendenVerdiinnungswelle ergeben sich im Zentrum allerdings unendliche Geschwindigkeitsanstiege und DruckabfaIle, wie in Abschnitt 13 (Aufsteilen von Wellenfronten) gezeigt wurde (Verdichtungswellen fiihren bereits vor dem Zentrumzum StoB).
Diese singulare Stelle wurde von C. HEINZ 23 untersucht. Ihre Auswirkungen scheinen unbedeutend zu sein, weshalb das Charakteristikenverfahrenfiir nicht zu genaue Rechnungen ohne Beriicksichtigung der singularen Stelledurchgefiihrt werden kann.AIle Unannehmlichkeiten der Rechnungen im Zentrum konnen im iibrigenumgangen werden, indem dieses mit einem moglichst kleinen starren Korperumgeben wird. Dessen EinfluB auf die Rechnung ist durch seinen EinfluB aufdas Experiment gegeben, wofiir man im allgemeinen ein gutes Abschatzungsvermogen besitzt.+33.
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