K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 40
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Anwendung der allgemeinen Charakteristikenmethodeauf Explosionsvorgange.Die anisentropen Vorgange veranderlichen Querschnittes ergeben meist nurquantitative Abweichungen gegeniiber den ebenen isentropen Vorgangen. IhreBerechnung wird von jedem durchgefiihrt werden konnen, der mit dem einfachenVerfahren des Abschnittes 28 vertraut ist. Sie ist kaum schwieriger, aber in ihrerallgemeinsten Form bedeutend zeitraubender als das letztere. Unter den zahlreichen Autoren, welche das allgemeine Verfahren etwa gleichzeitig entwickelthaben, sind zu nennen: SOHULTZ-GRUNOW 24 , DORING6, GUDERLEy 22 , SAUER 25,PFEIFFER und MEYER-KoNIG 26 .Abb. 64 zeigt eine schematische Skizze der Machschen Linie einer ebenenExplosion (nach SAUER). Angenommen wird wie in Abb. 36 (Ausgleich eines9*III.
Instationare Fadenstrornung.132tDrucksprunges) eine Druckstufeim Punkt x = A, die aber nur biszum Punkte x = -- A reicht. Eshandelt sich also urn einen beziiglich der t-Achse symmetrischenVorgang, die Gerade x = 0 kannals feste Wand (W = 0) angesehenwerden. Der Vorgang in Abb. 64unterscheidet sich erst von jenemZeitpunkt an vom Ausgleich einerbeiderseits ins Unendliche gehen.den Druckstufe, in welchem dieerste Machsche Welle die Symme.triegerade erreicht.
Je nachdem,ob die Vorstellung eines symmetrischen Vorganges oder die V orstellung der Explosion an einer~~~-------------------------------- zfesten Wand zugrunde liegt, konnenAbb . 64 . Schema des -etzes Machschcr Linien bei ebenerdie im weiteren Verlauf auftretenExplosion nach SAUER ( ___ ]\[ach-Linien, _ _ StoB,den Mach-Linien als von der- - Materiegrenre) .linken Druckstufe ausgehend oder alsan der Wand reflektiert und von derrechten Stufe ausgehend betrachtetwerden.
Die erste unter ihnen fiihrterst zu einer StOrung der Parallelstromung in Feld 3 und 4 und zueiner Kriimmung der Unstetigkeitslinie und der StoBfront (im Punkte E).Dies fiihrt zu den ersten Entropiedifferenzen. Sie machen sich weiterinnen wieder erst von jenem Zeitpunktan geltend, in welchem die erste linkslaufige Mach-Linie von E aus eingetroffen ist. Dies ist bei starkenStOBen erst sehr spat der Fall, sodaB das ganze Gebiet des Schwadens(innerhalb der Unstetigkeitslinie)lange Zeit davon unberiihrt bleibt.Auch spater ist die Rechnung nurjenseits der von E ausgehendenLebenslinie komplizierter, weil nurdort Entropieunterschiede auftreten.Jedoch konnen die einfachen Rechnungen weiter innen nicht ohne vorausgegangene Berechnung der Gitterpunkte im anisotropen Gebiet er____________lQ20JO~QSO.r-2Cl l folgen, sobald sie einmal in derenAbb.
65. Machsches Netz einer ebenen Explosion naen"EinfluBzone" liegen. Wie beim AusDORING.fluB aus dem Rohr (Abb.60), findetauch hier eine Uberexpansion des Schwadens im Zentrum statt, der spatereine Schwingung des Schwadens folgt. Dies ist an den Lebenslinien und alsoauch an der Materiegrenze ( = "Unstetigkeitslinie") zu erkennen.Q L-~L-~~~~~~~~.III, 33. Allgemeine Charakteristikenmethode auf Explosionsvorgange.133Abb. 65 zeigt das Netz Machscher Linien einer von W. DORING berechnetenebenen Explosion. Als Ordinate ist das Produkt c2 t mit c2 als Schallgeschwindigkeit des Schwadens im Ausgangszustand (Abb.
64) gewahlt. Urn das wichtige,aber verhaltnismaBig schmale Gebiet zwischen Schwaden und StoB gut zu uberblicken, ist als Abszisse x - 2 c2 t gewahlt. So wird der Vorgang von einem0.8 II,Z0.7It?0.11l1J5M/J.3IJ,IJ?1I.1J141J1J511.<1tttJll2MIJI1I.1J1J1I.rh'/ClJ<'elJ""IfIJ.Z"-IIJIJ81Jf?1JWlc1.J<,t·fQ11fIi'.JQAbb. 66. Druck· und GeschwindigkeitsverteiIung einer ebenen und kugeisymmetrischen «()'verschiedenen Zeiten nach DORING.=2) Explosion zumit der Geschwindigkeit 2 c2 bewegten Beobachter gesehen. Angenommen ist beigleichem und konstantem x-Wert von Luft und Schwaden (beides ideale Gase) einso hohes Ausgangsdruckverhaltnis ~, daB auch noch das Druckverhaltnis ~~~groB genug ist, urn mit den Gl.
(79) fur sehr starke St6Be rechnen zu konnen. Esist ein Druckverhaltnis ~P3=~P4=128 angenommen, woraus mit Isentropeund Vertraglichkeitsbedingung fur eine rechtslaufende Mach-Welle (109) folgt:__2_x-Ic 2 - cac25= 2".III. Instationare Fadenstromung.134Fur die Berechnung des Schallgeschwindigkeitssprunges an der Materiegrenzeist die Kenntnis des Ausgangsdichteverhiiltnisses ~ erforderlich. Es ist namlichmit Gl. (79)el1~: = (:: )~;1m angefuhrten Beispiel wurde -~ = 0,744 . 10- 3 gesetzt. Dies entspricht einere2bestimmten Sprengstoffmischung, welche hier durch ein ideales Ersatzgas dargestellt wird. Damit kann naturlich keine sehr gute Naherung der Wirklichkeiterreicht werden.
Mit h. = 128 errechnet sich rund ..9:!. = 2,7. Die komprimiertePaCaLuft ist wieder bedeutend heiBer als der expandierte Schwaden ! (Siehe Abschnitt 16.)Abb. 66 zeigt Druck- und Geschwindigkeitsverteilung in verschiedenenZeitpunkten, stets aber noch vor der Schwingungsperiode des Schwadens.Bemerkenswert ist, daB das Aufttreffen eines solchen von einer Materiegrenze gefolgten StoBes auf eine WandDrucke ergibt, welche bedeutend uberjenen in Abschnitt 18 (der einfachenReflexion) errechneten liegen.
Der vonder Wand reflektierte StoB wird namlicham bedeutend kuhleren Schwaden nochmals zuruckgeworfen, ein V organg, dersich mehrmals wiederholen kann undweitere Drucksteigerungen ergibt.In Abb. 66 ist auch noch die DruckL-----""'"""----''---'----'--_'----'_J: undGeschwindigkeitsverteil ung einerAbb.67. Schematlsches Netz Macllscher LinienkugeligenExplosion beigleichenAnfangseiner kugcligen Explosion nnch SAUER.daten im Zeitpunkt c2 t = 0,20 eingetragen.
Der Ausgangsradius der Schwadenkugel ist wieder gleich eins gesetzt. Die Drucke liegen hier naturgemaBviel tiefer als bei der ebenen Explosion. Auffallend ist der starke Druckanstiegim Schwaden, der sich mit der Zeit zu einem zweiten StoB aufsteilen drirfteund damit eine Druckverteilung ergabe, welche nach der Naherung durch Linearisierung zu erwarten (Abb. 30; (J = 2) ist und im Versuch auch beobachtet wird.Abb. 67 gibt die schematische Skizze einer kugeligen Explosion (nachSAUER).
Die StoBstarke nimmt hier mit der Zunahme der Stof3frontflache vonAnfang an abo Lediglich in infinitesimaler Umgebung des Ausgangspunktesherrscht das Bild der ebenen Stromung. Die Krummung der Stof3front hatEntropieunterschiede in der gesamten komprimierten Luft zur Folge, wahrendder Schwaden selbst wieder isentrop gerechnet werden kann.
Dart kann alsoeine Konstruktion der Lebenslinien entfallen. Bei der Berechnung des Schwadensist lediglich auf die Kugelform Riicksicht zu nehmen, was eine wesentlicheArbeitsverminderung bedeutet. Es kann nur allgemein gesagt werden, daBeine Berucksichtigung der Entropieunterschiede mindestens so viel zusatzlicheArbeit ergibt wie die Berucksichtigung der Kugel- oder Zylindersymmetrie.34.
Charakteristikenmethode bei Lagrangescher Darstellungsweise.Auch die Lagrangesche Darstellung der Stromung mit einer Teilchenkoordinate und der Zeit als unabhangigen Veranderlichen eignet sich fur viele Aufgaben.Da Stromungsquerschnitt und offene Enden im allgemeinen vom Ort abhangen,III, 34.
Charakteristikenmethode bei Lagrangescher Darstellungsweise.135wird die Lagrangesche Darstellung bei Vorgangen konstanten Querschnittesin fest abgeschlossenen Raumen wie beim innerballistischen Problem und beiVorgangen in kolbenabgeschlossenen Zylindern in Frage kommen. Sie ist furdie Behandlung von Randbedingungen an bewegten Wanden, deren Geschwindigkeit von den auf sie ausgeubten Kraften abhangt, besonders geeignet. Da stetsdieselben Teilchen an die bewegte Wand angrenzen, ergibt sich die Randbedingungin der Stromungsebene stets bei derselben Teilchenkoordinate, also beim gleichenAbszissenwert.
Beim innerballistischen Problem ergibt sich die Gasgeschwindigkeitunmittelbar am GeschoBboden aus der Geschwindigkeit und der durch die Kraftbedingten Beschleunigung im zuletzt berechneten Zeitpunkt.Bei Vorgangen ohne Warmezufuhr hangt die Entropie nur von der Teilchenkoordinate ab, sie ist also auf Geraden parallel zur t-Achse konstant, denn diesesind ja in der Lagrangeschen Stromungsebene die Lebenslinien. Dies bedeuteteinen wesentlichen Vorteil bei der Konstruktion anisentroper V organge undmacht die Lagrangesche Methode auch fur die Behandlung von Vorgangen mitWarmezufuhr geeignet, welche hier allerdings nicht weiter betrachtet werden sollen.Die Lagrangesche Darstellung ergibt gegenuber der Eulerschen lediglichUnterschiede in der Stromungsebene, nicht aber in der Zustandsebene, weshalbfur die Berechnung der Zustande in neuen Gitterpunkten, die Erfullung derRandbedingungen und die Behandlung von StoBen alles Abgeleitete aufrechterhalten bleibt.
Die Bilder der Machschen Linien in der Zustandsebene und dieVertraglichkeitsbedingungen bleiben ja dieselben, wie auch die Stromungsebeneverzerrt werden mag. Es handelt sich also nur um die Bestimmung der Richtungvon Machschen Linien und StoBfronten fur die Bestimmung der Gitterpunktein der Stromungsebene.Irgendeine Kurve in der Eulerschen Stromungsebene sei durch eine Funktion '(x, t)=konst. gegeben. Ihre Richtungskonstante(-~;), istdann in un-abhangigen Veranderlichen a, t (a = Teilchenkoordinate) nach der Kettenregelder Differentiation:(~;) C= ( ~: )t ( ~~ )C+ ( ~~ t·Mit Gl. (20) folgt daraus, wennfkonst.
angenommen wird, fur die Richtung=der Kurve C= konst. in der Lagrangeschen Stromungsebene(~) + W.( ~)at c= ~e at c(~~ ),:(124)Dabei ist eo die Anfangsdichte des Teilchens und kann daher bei anisentropenStromungen noch von der Teilchenkoordinate abhangen [eo = eo (a)].Da die Entropie nur von a abhangt [8 = 8 (a)J, kann die Kontinuitatsbedingung (19) auch geschrieben werden:aw __ ~(~) ~ __ ~~apaa e ap a at e c at'2Z2Wie in Gl. (124) und in der Kontinuitatsbedingung, kommt auch in der Bewegungsgleichung (21):awatapeo aa_~stets nur die Kombination e,,(a) da vor.
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