K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 44
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Ais Funktion F kann aueh die NeigungU + W der StoBkurve in der x, t-Ebene genommen werden. Die zeiiliehe Ableitung ist dann im wesentliehen die Krummung der StoBkurve. Da e3 ja nurauf GraBenordnungen ankommt, handelt es sieh also darum, daB der Krummungsradius der StoBkurve in einer x, Co t-Ebene groB gegen die StoBfronttiefe ist.Dies ist nun praktiseh stets der Fall bis auf jene Stellen, an welehen StaBe ineinanderlaufen und folglieh gekniekt sind.
Dort durften die StoBgleiehungenauf die Abstande von mehreren StoBtiefen falseh sein, was noeh immer keineRolle spielt.Wird ein senkreehter, stationarer StoB aus einem in StoHfrontriehtungbewegten Bezugssystem betraehtet, so ergibt sieh wieder ein stationarer StoB,denn die Zustande am StoB bleiben gleich, der SioB bewegt sieh nieht. DieGesehwindigkeit vor und hinter der StoBfront sieht nun aber nieht mehr senkreeht auf ihr, weshalb von einem schie/en VerdichtungsstofJ gesprochen wird.
Dadie Betraehtung bei einem belie big schwachen StoB aus einem beliebig schnellbewegten System gemacht werden kann, ergeben sich daraus die verschiedenenStoBneigungen mit belie big kleinen Geschwindigkeitsuntersehieden yor undhinter dem StoB. Es kann also auch ohne weiteres hinter einem schiefen StoBUberschallgesehwindigkeit herrschen.
Solehe StaBe sind als Kopf- und Schwanzwelle fliegender Geschosse sehr bekannt. Die Wellen sind im allgemeinen gekrummt. Ein genugend kleiner Aussehnitt aus einer solehen StoBweIle kann abel"stets als ein gerades Stuck eines schiefen StoBes angesehen werden. Diese Naherung ist stets maglieh, wenn - ganz wie beim instationaren StoB - der Krummungsradius als graB gegen die StoBtiefe angesehen werden kann. Dies i"t beiallen bisher aufgetretenen Beispielen der Fall.Die Gleiehungen fUr die allgemeinste Form eines sieh belie big im Raumebewegenden StoBes ergeben sieh aus der Betraehtung eines senkreehten siationarenStoBes aus einem allgemeinst bewegten Bezugssystem. Wahrend die Gleichungenfur den sehiefen stationaren StoB bei der Behandlung stationarer ebener undachsensymmetrischer Ubersehallstramungen abgeleitet werden, sind weitereVerallgemeinerungen bisher noeh nieht durehgefuhrt worden.4.
Ahnlichkeitssatze.In der Versuehsteehnik und Praxis spielt die Frage eine groBe Rolle, wann siehErgebnisse, welche mit einer bestimmten Anordnung erzielt wurden, auf eineandere Anordnung ubertragen lassen. 1m allgemeinen wird dabei Ahn!iehkeitder Stramungsberandungen in den Vergleiehsfallen vorausgesetzt. Insbesonderewird verlangt, daB ein im Kanal untersuehter Flugel das gleiehe Profil besitztwie sein in der Praxis interessierender graBerer Partner. Bei instaiionaren Vo1'giingen mit bewegten Berandungen (Vorgiingen in Zylindern an Kolbenmotoren,Fliigelplatten, Vorgange beim Anfahren) werden Vorschriften uber den zeitliehenAblauf der Bewegung erforderlich sein. AIle diese Fragen der sogenannten"mechanischen Ahnlichkeit" sollen in diesem Absehnitt behandelt werden.
Dabeisoll das stramende Medium ein ideales Gas sein, auf welches als auBere Kraftlediglich die Sehwerkraft, gegeben durch eine konstante, in negativer z-RichtungIV, 4. Ahnlichkeitssatze.147wirkende Schwerebeschleunigung g, wirkt. Die Resultate gelten gleichzeitig auchfur dichtebestandige Medien. Die Zustandsgleichung ist dann einfach durch12 = konst. zu ersetzen. Warmequellen im Medium seien ausgeschlossen, an derBerandung aber zugelassen, womit also auch Detonationsvorgange und Warmeubergangsprobleme mit einbezogen werden konnen.Die allgemeinen Differentialgleichungen von Abschnitt 2, die ihrer Kompliziertheit wegen allgemeinsten Losungen nicht zuganglich sind, leisten fur diehier gestellte Aufgabe ausgezeichnete Dienste.
Dabei solI stets nur eines dertypischen Glieder aufgeschrieben werden, urn den Uberblick zu erleichtern. Fur einideales Gas ergeben sich nach Elimination der inneren Energie sechs Gleichungenfur die Unbekannten u, v, w, p, 12, T von folgendem Typus:~otowowTt+UTx+'"+o(e u)ox+ ...=0 (Kontinuitatsbedingung).ow)o(,ow)=-elop+ ... +aztt Tzaz - g + ... +2 eazo(ttTz,1(die dritte Navier-Stokes-Gleichung).cv°o~ + cv U ~~ + ...
+ p ~ (~) + p U o~ (~)ow )2 + ... + e1 Tx0 (AaxoT) +...+ (i-2 tt (Tzp = (c p-cv ) 12 T=+ ~ tt' ( ~: ) +2(erster Hauptsatz).(Zustandsgleichung).Hierin sind die spezifischen Warmen cv ' cp , die Koeffizienten der innerenReibung tt, tt' und das Warmeleitvermagen ).
reine Temperaturfunktionen. Dasgilt sowohl fur ideale Gase als auch fur dichtebestandige Medien, wie etwa Ole.In der Literatur findet man die Bemerkung, dall entsprechend einem Ergebnisder kinetischen Gastheorie It und A proportional VT sein mull. Das ist nur bedingtrichtig, indem dieses Resultat nur dann gewonnen wird, wenn die Molekiile als starreKugeln behandelt werden. Abhangig yom Anziehungsgesetz, welches zwischenden Molekiilen angenommen wird, gibt die kinetische Gastheorie die verschiedenstenTemperaturabhangigkeiten fUr It und A. Bei Luft kommt unter normalen Bedingungendie Potenz TO,SO den wirklichen Verhaltnissen am nachsten.Urn zwei Vorgange vergleichen zu kannen, sollen zunachst lauter dimensionslose GraBen eingefiihrt werden, indem die Koordinaten x, y, z durch eine bestimmteLange L (etwa die Lange eines Profils, den Durchmesser eines Rohres, dasKaliber eines Geschosses), die Zeit t durch eine bestimmte Zeit i (die erforderlicheZeit fur einen Hub eines Kolbens, fur die Verdopplung der Geschwindigkeitbeim Anfahren usw.) und aIle Geschwindigkeiten durch eine bestimmte Geschwindigkeit W0 (die Fluggeschwindigkeit eines Korpers, die Schallgeschwindigkeit im Ruhezustand, die maximale Kolbengeschwindigkeit eines Motors) dividiertwerden.
Es sei.t' =~.'U'=;0;v' =x' --...::...L'-~;w' =y' = LY ;-it--;;W' =ZIZ= --'L'~;c' =;~,Die thermischen GraBen werden zweckmaBig durch die entsprechendenGraBen in einem bestimmten Zustand, gekennzeichnet durch den Index I (einenRuhezustand, den Anstramzustand vor einem fliegenden Karper usw,), dimensionslos gemacht:p'=L;PIT'=~T'110·148IV.
Allgemeine Gleichungen und Siitze.Entsprechendes gilt auch fUr die spezifischen Warmen und die Koeffizientender inneren Reibung und die Warmeleitfahigkeit, wobei maglichst derselbeZustand 1 wie bei den thermischen ZustandsgraBen heranzuziehen sein wird.Die so ge bildeten GraBen v , m ••• , J.:c ct~ind reine Temperaturfunktionen, die von vornherein fur den zu untersuchendenVorgang und seinen Vergleichsvorgang gegeben sind.Es seien "entsprechende" Punkte solche Punkte, welche dieselben dimensionslosen Koordinaten t', x', y', z' haben. Sie decken sich bei zwei Vergleichsvorgangen,wenn die Berandungen durch ahnliche VergraBerung oder Verkleinerung zurDeckung gebracht werden und bei instationaren Vorgangen durch die Dehnungdes ZeitmaBstabes dafUr gesorgt wird, daB dies in jedem Zeitpunkt der Fall ist(in mathematischer Sprache heiBt das, die Randbedingungen mussen in dimensionslosen Veranderlichen dieselbe Gestalt haben).
Gefordert ist fUr die mechanischeA.hnlichkeit die Ubereinstimmung der dimensionslosen abhangigen Veranderlichen u', v', ... , p', T' in allen entsprechenden Punkten.Urn diese Forderung zu erfullen, wird zunachst gefordert werden mussen,daB auch die dimensionslosen Materialkoeffizienten m P ' • • • , ji', A an entsprechenden Punkten ubereinstimmen, d. h. daB diese GraBen in den Vergleichsfallen innerhalb des auftretenden Temperaturbereiches dieselben Funktionender dimensionslosen Temperatur T' sind.
1m einfachsten Falle konstanterMaterialkoeffizienten Cv bis A ist dies ohne weiteres erfullt, denn es ist dannCv = cp = ... = A = 1. Auch wenn sich die Vorgange im selben Temperaturbereich abspielen, ist die Forderung erfullt. Sind die Temperaturbereiche hingegen verschieden, so werden die Materialkoeffizienten proportional einer Potenzvon T angesetzt werden muss en (cv=A TIX), damit auch die quergestrichenenGraBen Funktionen von T' bleiben (c v = T'IX). Wenn nicht zu groBeTemperaturunterschiede auftreten, wird mit ein und demselben Potenzgesetzbei den Vergleichsvorgangen meist eine sehr gute Naherung erzielt werdenkannen.c cFur eine Erweiterung der Almlichkeitssatze auch auf druckabhangige Matcrialkoeffizienten gilt ganz Entsprechendes. Einfache FaIle ergeben sich dann, wenn dieeinzelnen Vorgange bei geringen Druckunterschieden ablaufen, die Vergleichsvorgangeaber bei sehr verschiedenen Drucken durchgefiihrt werden.Damit die abhangigen Veranderlichen u', v', ...
, T' sich in zwei Vergleichsfallen als dieselben Funktionen der unabhangigen Veranderlichen t', x', y', z'ergeben, muB gefordert werden, daB die Randbedingungen und die Differentialgleichungen in den dimensionslosen Veranderlichen dieselbe Gestalt aufweisen.Daher seien nun die typischen Glieder der letzteren auf die dimensionslosenGraBen umgeschrieben.
Es ergibt sich:L-T_W_0ae'---at:+Law'TWo---at:a(e' u')+ax'u+ . ..,ow',-ax' ,- ...=0(Kontinuitatsbedingung).Pi1 Op'OZ' -= -e~-Wo2 7"gLW 02+1110 (- ow')11/0 ( ,ow')+ ... + 2 ~Tz' {t ---az' + ... + ~-w;;-r -aZ' il . OZ'(dritte Navier-Stokessche Gleichung).IV, 4. Ahnlichkeitssatze.+2elf-ll~ IiWOL cvl Tl e'(OW')2 +oz'...+ XlCpl149Al~ _0_!h WOL (/ ax'(A.' OT'_) +ax'(erster Hauptsatz).P'e'=T' (Zustandsgleichung).Die Zustandsgleichung erhalt eine vom jeweiligen Problem unabhangigeGestalt. In allen anderen Gleichungen tl'eten nun abel' konstante Koeffizienten(die untel'stl'ichenen Gliedel') auf, welche zum Teil von den l'aumlichen undzeitlichen Dimensionen (L, i), zum Teil von der fur den Vorgang typischenGeschwindigkeit Wound zum Teil von dem in einem Bezugspunkte PI (Ruhezustand, Anstromzustand od.
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