K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 45
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dgl.) herrschenden thermischen Zustand PI>e1' T 1 abhangen. Stirn men die Differentialgleichun~en in dies en Koeffizientenubel'ein, so haben sie dieselbe Gestalt (c v ' cp , • • • , ji, A sind letzten Endes ja nurabgekurzte Schreibweisen fur ganz bestimmte, fur die Vergleichsfalle voraussetzungsgemall ubereinstimmende Funktionen von T') und bei gleichen Randbedingungen damit auch dieselben Losungen.Urn mechanische Ahnlichkeit zu gewahrleisten, mull also Ubereinstimmungin folgenden dimensionslosen Zahlen gefordert werden:1. im Werte vonTLW'0Diese Forderung bezieht sich nur auf instationiire Vorgange.
1stSchwingungsdauer, so wirdTLW0ietwa dieals "reduzierte Frequenz" bezeichnet. Beispiels-weise muB bei einem Versuch uber Fliigelflattern die Anstromgeschwindigkeit U,die Profillange Lund die Schwingungsdauer so abgestimmt sein, daB ein Luftteilchen wahrend del' Zeit i stets denselben Bruchteil einer Profillange zurucklegt. Bei einem Versuch in einem durch einen bewegten Kolben abgeschlossenenZylinder wird fUr W 0 etwa die Schallgeschwindigkeit im Ruhezustand, fur Ldie Zylinderlange zu wahlen sein. Die erste Forderung kommt dann daraufhinaus, daB eine Schallwelle wahrend eines Hubes bei zwei Vergleichsvorgangengleich oft zwischen Kolben und Zylinderende hin- und herlauft.
1st diese sehranschauliche Forderung erfUllt, dann stimmt die Kontinuitatsbedingung in denVergleichsfallen uberein. Bei stationaren Vorgangen tut sie dies ohne weiteres.Eine groBere Anzahl von Forderungen ergeben sich aus del' Bedingung, daBNavier-Stokes-Gleichung und Energiesatz in den Vergleichsfallen iibereinstimmenmussen.Es sei mit del' dimensionslosen Zahlbegonnen, die sichPI TCVl f!l1mit Hilfe der Zustandsgleichung auf den Wert Xl - 1 reduzieren laBt. Es muBalso2.
Ubel'einstimmung im Verhiiltnis del' spezifischen W iirmen X im Bezugspunkt PI verlangt werden. Bei wesentlich temperaturabhangigel' spezifischerWal'me muB bei Vel'wendung desselben Gases die Temperatur im Bezugspunkt PIund damit in del' gesamten Stromung ubereinstimmen.Die Zahlvon(~o) 2Pwl 2 laBt sich wegen del' Gleichheit vonf!l0schreiben.
Es muB darnachXlnun als VerhaltnisIV. Allgemeine Gleichungen und Siitze.1503. das Verhaltnis Wo von Bezugsgeschwindigkeit Wound SchallgeschwindigC1keit im Bezugspunkt c1 dasselbe sein. 1st die Bezugsgeschwindigkeit insbesonderedie Stromungsgeschwindigkeit im Punkte 1 (Wo = WI)' so hat man also dieForderung nach Ubereinstimmung der Machschen Zahl im Bezugspunkt.
Bei derstationdren Umstromung eines Korpers gelangt man damit zur wichtigen Forderungnach Ubereinstimmung der Machschen Zahl im Anstromgebiet. Aber auch beiinstationaren Vorgangen etwa mit bewegten Wand en darf diese Bedingungnicht ubersehen werden. Etwa mu13 bei einem in einem Zylinder periodischbewegten Kolben die maximale Kolbengeschwindigkeit mit der mittleren Schal1geschwindigkeit in ganz bestimmtem gleichbleibendem Verhaltnis stehen, wennein Vergleich der Vorgange moglich sein soIl. Die beiden letzten Forderungennach Ubereinstimmung im ,,-Werte und in einem Verhaltnis von Geschwindigkeitund Schal1geschwindigkeit sind die fUr die Gasdynamik typischen und unumganglichen Bedingungen.Bei Beriicksichtigung der Schwerkraft mu134.
Ubereinstimmung im Werte gJ:2o(Froudesche Zahl) gefordert werden.Sie hat besondere Bedeutung bei vielen meteorologischen Stromungsproblemen.Auch bei Flugbahnberechnungen spielt sie naturgema13 eine gro13e Rolle. Wirelbeispielsweise mit W 0 die Anfangsgeschwindigkeit einer Rakete und mit L ihreSteighohe bezeichnet, so kann die Zahl als Verhaltnis einer pot en tie lIen zu einerkinetischen Energie gedeutet werden.Die nachsten beiden Forderungen beziehen sich5. auf zwei ReynoltU8Che Kennzahlen III Wo LundPI(ilW: L. Sie konnen als dasPIVerhaltnis von Tragheitskraften zu Reibungskraften gedeutet werden. Die zweiteZahl ist mit der Volumviskositat 11' gebildet und spielt eine untergeordnete Rolle,zumal es bei dieser Kennzahl meist nur auf eine rohe Ubereinstimmung ankommt,die fUr die zweite Zahl bestehen wird, wenn sie fur die erste gegeben ist.Die hohen Geschwindigkeiten, bei welchen Stromungsversuche mit Gasenin der Regel ausgefuhrt werden, bedingen im allgemeinen auch hohe ReynoldsscheZahlen.
Man befindet sich damit im sogenannten "uberkritischen Gebiet"rei bender Stromungen, in welchem der Einflu13 der Reynoldsschen Zahl nichtmehr gro13 ist. Die Reibungsvorgange spielen sich bei Umstromungsproblemenin dunneren Reibungsschichten am Korper ab, die im groBen und ganzen alsturbulent anzusehen sein werden. Es seigt sich, da13 die Krafte bei Hochgeschwindigkeitsaufgaben uberwiegend durch die reibungsfreie Au13enstromung bedingtund die Reibungskrafte diesen gegenuber von geringerer Bedeutung sind. Wennalso in der Gasdynamik vorwiegend reibungsfreie Stromungen behandelt werden,so entspricht dies nicht nur einer mathematischen Notwendigkeit, welche durchdie Schwierigkeit der Aufgabe bedingt ist, sondern es wird damit auch im allgemeinen der am meisten interessierende Teil einer kompressiblen Stromungerfa13t.
Allerdings gibt es auch sehr eindrucksvolle Reibungseffekte, wie dieRohrstromung mit Reibung zeigte (Abschnitt II, 13).Das Verhaltnis ~(il= '1'1wird als kinematische Zahigkeit bezeichnet. Es hatdie einfache Dimension einer Flache durch eine Zeit. Dieselbe Dimension besitztdie sogenannte Temperaturleitfdhigkeit -}'-. Ganz entsprechend wie die Reynoldscp (ische Kennzahl, aber mit der Temperaturleitfahigkeit gebildet, ist die letzte Zahlc p1(ilWo L (Pecletsche Kennzahl), beziiglich welcher noch Ubereinstimmung beiAlIV, 4. Ahnlichkeitssatze.151Vergleichsvorgangen gefordert werden muB. Mit gleichem Recht, formal abernoch etwas einfacher, kann6. Ubereinstimmung im Werte PI;7> 1(Prandtlsche Kennzahl) gefordert1werden.
Diese ist das Verhaltnis von kinematischer Zahigkeit und Temperaturleitfiihigkeit. Sie spielt bei Problemen des Warmeuberganges eine wichtige Rolle.Uberhaupt sind aIle Reibungsvorgange bei Gasen auch mit Warmeleitung verbunden. Die kinetische Gastheorie zeigt, daB die Prandtlsche Kennzahl nur vomVerhaltnis der spezifischen Warm en x abhangt, ein Resultat, das experiment ellgut bestiitigt ist.Damit ist die Forderung 6 bei idealen Gasen bereits mit derForderung 2 erfiillt. Aus dem Auftreten von VerdichtungsstoBen ergeben sichkeine neuen Bedingungen, denn die StoBgleichungen konnen unverandert furdie dimensionslosen GroBen (2', p', c', W' usw.
geschrieben werden.In der Praxis des gasdynamischen Versuches wird vor allem auf Ubereinstimmung im x-Wert und in der Machschen Zahl (oder einer entsprechend gebildetenZahl) zu achten sein. 1st das Modell nicht zu klein und die Luftdichte nicht zugering, so ist damit auch schon eine hohe Reynolds-Zahl gesichert.Die Ahnlichkeitsforderungen bezuglich der Randbedingungen haben sichbisher nur auf deren geometrische Form (allenfalls abhangig von der Zeit) bezogen.In vielen Fallen ist aber die Anderung der Stromungsbegrenzung nicht vonvornherein gegeben, sondern durch die auf den Rand ausgeubten Krafte bedingt.Das Flugelflattern, die Bewegung eines Kolbens in einem Zylinder oder einesGeschosses im Rohr konnen dabei als Beispiel dienen. Oft erschopfen sich aber dieRandbedingungen nicht nur in mechanischen Forderungen, es treten nochthermische Forderungen hinzu, wie etwa beim Auftreten von DetonationsstoBen oder bei Warmeubergangsproblemen.
Aus den Randbedingungen entspringen dann noch zusatzliche Forderungen, die sich ohne weiteres ergeben,nachdem die Randbedingungen in den dimensionslosen Veranderlichen geschriebensind.Beispielsweise lautet mit M a als GeschoBmasse die Bedingung am GeschoBboden mit der Flache I beim innerballistischen Problem:d 2xMa dt 2=pi,oder in den dimensionslosen GroBen:MaL d 2x'.... _ ~PI f. 2 dt'2 - PI .Wird das Treibpulver durch ein komprimiertes ideales Gas geniihert, so bietetsich als einzige Geschwindigkeit im Ausgangszustand die Schallgeschwindigkeit Coan, die also als Bezugsgeschwindigkeit W 0 zu nehmen sein wird. Als einzigeLange kommt die Lange des Laderaumes in Frage. Als Bezugsdruck PI sei derRuhedruck Po genom men. Zusammen mit del' Bedingung 1 fUr instationareMLStromungen fuhrt die Forderung nach Gleichheit def Zahl ~f2 zu folgenderKennzahl :Po •MaLPo f.2.2C 2- - - - -0- L2-MaxpoMa-x-120 Po f L 120 fL·Dies kommt wegen der Bedingung 2 gleicher x- Werte auf die sehr einleuchtendeForderung heraus, daB das Verhaltnis von GeschoBmasse zur Treibstoffmassein den Vergleichsfiillen ubereinstimmen muB.Bei Detonationsvorgangen sind Laufgeschwindigkeit des StoBes U und Nachlaufgeschwindigkeit des Gases durch die Gl.
(II, 82) gegeben. Handelt es sichIV. Allgemeine Gleichungen und Satze.152urn einen in ein ruhendes Medium fortschreitenden Vorgang, so wird dessenSchallgeschwindigkeit Co als Bezugsgeschwindigkeit und dessen Zustand Po' goals Bezugszustand zu nehmen sein. Fur ein ideales Gas ist dann nach Gl. (II, 82) :ec-c;;- = Co eo =UV-){ TTeo;PoLI WCoUCCo - c;;-N ach Gl. (II, 80) ergeben sich gleiche Sprungwerte im DetonationsstoB~,wenn das Verhaltnisq~1>eoP,PoCCo(mit q als pro Masseneinheit freiwerdender Warme)0••das gleiche ist. Dies ist also die ausreichende Forderung fUr die Ahnlichkeit.Die Bezugszeit 1'ist mit der Forderung 1 mit Hilfe einer Lange L (Ausdehnungdes detonierenden Mediums) und Co zu bilden.
Der Vorgang lauft bei gleichem Codann so ab, daB aIle Zeitintervalle wie die Langen gedehnt sind, womit ein vonCRANZ stammendes Ahnlichkeitsgesetz ausgesprochen ist.Bei Problemen mit Warmeleitung enthalt die Randbedingung auch Forderungen bezuglich der Wandtemperatur, welche bei den Vergleichsvorgangenerfullt sein mussen. Eine einfache Bedingung ist das Ausbleiben jeglichen Warme-(.!!!.£.an =uberganges an der 'Wand0: "Thermometerproblem"). Es kann durcheine warmeisolierende Schicht an der Oberflache erreicht werden.
Findet Warmeubertragung statt, so muB dafur gesorgt werden, daB an entsprechenden Punktender Berandungen diesel ben dimensionslosen Temperaturen T' herrschen, da dieseForderung sonst natiirlich nicht in der Stramung selbst erfiiIlt sein kann.Bei nicht idealen Gasen ergeben sich aus der Umschreibung der Gaszustandsgleichung auf die dimensionslcsen thermischen GraBen zusatzliche Forderungen,welche in komplizierten Fallen nur Modellversuche unter vollig gleichartigenthermischen Bedingungen zulassen.5. Allgemeine Wirbelslitze.Die bekannten Wirbelsatze - in allen einschlagigen Lehrbuchern der Hydrodynamik und Vektoranalysis behandelt - sollen hier nur kurz unter Anwendungder Vektorschreibweise abgeleitet werden.
Sie haben natiirlich auch fur dieGasdynamik erhebliche Bedeutung.1st \tJ der Geschwindigkeitsvektor mit dem Betrag W und den Komponentenu, v, W, so wird unter rot \tJ (Rotation) ein Vektor mit folgenden Komponentenversta.nden :(owov(;UoWI 2w x =ay - oz'Jrot lu 't= 8z--Tx'2WY(20)2w =~_3'/i,_zoxoy·Fur einen solchen Vektor gilt der Stokessche integralsatz, der ein Integraluber eine Flache f in ein Integral uber die die Flache begrenzende Kurve C verwandelt, dem GauBschen Integralsatz Gl. (6) also verwandt ist:JJrot n \tJ dff=:f W da = :f (u dx + v dy + w dz).tG(21 )GDie Indizes n und t besagen, daB die N ormalkomponente von rot \tJ auf dasFlachenelement df und die Ta.ngentialkomponente der Geschwindigkeit W aufdas Bogenelement a zu nehmen ist.IV, 5.
Allgemeine Wirbelsatze.153Der Satz la13t sich ahnlich wie der Gau13sche Satz beweisen. Es ist:f f rotnto df =tf f[ (~; - ::) cos (n,;x)+ (~~ - ~:) cos (n, y)+ov - ou) cos (n,z) ] df.+ (oxoySchlie13t beispielsweise die Flachennormale n mit den drei KoordinatenrichtungenWinkel kleiner als 90° ein, so ist we iter :IIrot n to df =tI I (~; - ~:)++dy dzII( ~~ - ~~I I (~: - ~:)dz dx+)dXd y .Bei den letzten drei Integralen ist iiber die in positiver x-, Yo, z-Richtung genommenen Projektionen der Flache f auf die entsprechenden Koordinatenebenen zu integrieren (dieIntegraledy dz,dz dx,dx dy mussen jafur sich positive Werte ergeben).
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