K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 46
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Fiir den v-Anteilergibt sich:IIIIIIf[- f :~ dz +f ;: dX] dymit den Werten der Variablen auf der Flache fund den X-, Yo, z-Werten der Kurve 0 als Grenzen...rDie Integration werde zunachst bei festem y = YAbb. 71. FHiche f im Schnitt 11 ~ y.ausgefUhrt. Der Schnitt der Flache f mit derEbene y = y (Abb. 71) ist eine Kurve, iiberwelche die Integrationen in der eckigen Klammer zu erstrecken sind.
Die Randkurve 0 erscheint als Endpunkt PI und P r der Integration. Es ist:IT ~~XlJ~~dx -zrdz =f~v=vr-Vl'PIDiese v-Differenz ist nun iiber aIle vorkommenden y-Werte zu integrieren. BeiIntegration uber die Kurve 0 in positiver Drehrichtung ergeben sich bei vI abnehmendey-Werte. Daraus folgt1ImaxalIminMit entsprechenden Resultaten fUr die anderen Geschwindigkeitskomponentenergibt sich schlie13lich der Stokessche Satz Gl.
(21).Der Stokessche Satz macht die Bedeutung von rot IU als Wirbelvektor unmittel bar einleuchtend. Ein Wirbel kann auch durch eine Winkelgeschwindigkeit Wund die Richtung seiner Achse (zwei unabhangige Winkel) oder durch dreiWinkelgeschwindigkeiten w x , w y , W z urn die drei Koordinatenachsen festgelegtwerden. Der Stokessche Satz auf aus:-eichend kleine Gebiete angewendet, ergibtdie Winkelgeschwindigkeit als halben Betrag des Wirbelvektors:w =121rot IU I·Wird die Flache f zu einer geschlossenen Flache gebogen, so verschwindet dieRandkurve 0 und mit ihr das Integral fiber O.
Esist dann:II rot n IU df =f0,(22)was sich mit Hilfe des GauBschen Satzes und der Definition von rot IU leichtdirekt zeigen laBt.IV. Allgemeine Gleiehungen und Satze.154Eine Wirbellinie sei eine Linie, die in jedem ihrer Punkte in Richtung desWirbelvektors verlauft (sie verhalt sich also zu diesem wie die Stromlinie zumGeschwindigkeitsvektor). Eine Wirbelrohre sei ein Gebilde, dessen Mantelflacheaus lauter Wirbellinien besteht.
Dnter Wirbeltaden wird eine Wirbelrohre verstanden, die so schlank ist, daB die Zustande in jedem ihrer Querschnitte alskonstant angesehen werden konnen. Wirbelfaden und Wirbelvektor stehen dam itin genauer Analogie zu Stromfaden und Geschwindigkeitsvektor. GI. (22) werdenun auf einen Abschnitt einer Wirbelrohre angewendet. Die geschl03sene Flache fbesteht dann aus einem Anfangs- und Endquerschnitt ql und q2 und einer RohrenI"ot no wand, auf welcher die Normalkomponente von rot \tJyzdefinitionsgemaB verschwinden muB.
Mithin ist:I.r rot n to df + II rotn to dtq,0,=q,oder wenn die Normalkomponente nicht nach auBen,sondern stets in derselben Richtung gezogen wird,II rotn, to dt = II rotn, to dt·Abb. 72. Wirbelrohre.q,q,Damit ist der Helmholtzsche Wirbelsatz ausgesproehen, weleher besagt, daBder WirbelfluBrotn to dt einer Wirbelrohre ortlieh konstant bleibt. EineffqWirbelrohre kann darnach nirgends in einem Medium endigen.
Sie muB entwedergeschlossen sein oder bis an den Rand des Mediums reichen. Es handelt sich beidiesem Satz urn eine mathematische Aussage, welche aus der Definition vonWirbelvektor und Wirbelrohre allein gefolgert wurde, ohne daB physikalischeSatze herangezogen wurden; dies wird erst bei den folgenden Satzen geschehen.Das Linienintegral der Tangentialgesehwindigkeit uber eine geschlosseneKurve wird auch als Zirkulationr=fr:Wtda =JJrotn todt(23)fGbezeichnet, wobei die Integrationsrichtung und die Orientierung von n stets soals positiver Wert ergibt. Die Zirkulation urn einezu nehmen ist, daB sichWirbelrohre bleibt also ortlieh konstant.Zur Dntersuchung der zeitlichen Anderungen von Wirbeln sei die Zirkulationurn eine massenfeste Kurve, welche sich also mit dem Medium bewegt, nach derZeit abgeleitet. Es ist:dT = ); {dU dx + ~d + dw dZ} + ); fu d(dx) + v d(dy) + w d(dz)dtY dtdt YdtY \dtdtdt JrrXGGDie Differentiation muB auch an den Differentialen dx, dy, dz ausgefuhrt werden,die sich beim Fortbewegen mit dem Medium andern.
Nun ist aber die zeitlicheAnderung des Abstandes dx zweier Teilchen gleich dem Geschwindigkeitsunterschied du der beiden Teile, weshalb das zweite Integralf[1td~X)+vd~;) +wd~:)J=Gf[udu+vdv+wdw]=G.¢·d(~2)=0Gverschwindet.Fur ein reibungsloses Medium, dessen auBere Kriifte nur von einem Potential Qabhangen (X = dTdt:r [~(]= _ );GaD, Y = _oxop dx +~~dyox(] oyaD , Z = _oyaD) ergibt sich somit:oz+ _~~lLdzJ_(] oz,./;':fGI. oS)oxdx+ aDdy + ~dzJ.ayazIV, 5. Allgemeine Wirbelsatze.155Das zweite Integral ist die Anderung der potentiellen Energie auf einer geschlossenen Kurve, also gleich Null, woraus die bekannte Beziehung folgt;drdtMit Gl. (I, 35) kann fiir -=..:!.-..,f., W da = _dt'Ytdp(!=o!!L.,f.,'Y(!(24)0T dB -di eingefiihrt werden, wobei das Integraliiber die Enthalpieanderung auf einer geschlossenen Kurve wieder verschwindet;dr(itd,f.,= dt'YW t da=,f.,'f T ds.(25)o0Fiir isentrope Vorgange (die dann notwendigerweise auch reibungslos verlaufenmiissen), andert sich die Zirkulation auf einer geschlossenen massenfesten Kurvenicht (Thomsonscher Satz).
In einer isentropen Stromung konnen Wirbel alsoweder entstehen noch vergehen. Es ist dabei nur erforderlich, daB das Mediuman der betrachteten Kurve C isentrop ist. Es kann durchaus von anisentropemMedium umgeben sein oder ein solches selbst umringen.Wird nun eine geschlossene Kurve urn eine Wirbelrohre gezogen, eine zweiteKurve an der Oberflache der Wirbelrohre, so muB die Zirkulation auf beidenKurven zeitlich konstant bleiben.
Damit ist ein zweiter Helmholtzscher Satzgewonnen, der aussagt, daB eine Wirbelrohre dauernd von denselben Teilchengebildet wird.Bei anisentropen Vorgiingen kann die Zirkulationsiinderung auch wie folgtdargestellt werden (mit X ist das iiuLlere Produkt bezeichnet):II~~.rrrgradP X grad ~ldf=[grad Txgrad8]n df·t!Mit dem ersten Integral als rechter Gleichungsseite stammt der Satz vonV.
BJERKNES und wird in der Meteorologie angewendet.Indem in der ersten Eulerschen d-l. (13) Wirbelglieder abgespalten werden,ergibt sich die Gleichung;~ot+~( W2) + W ( au_~) _ v (~_ au)ax 2OZoxoxoy=_~ op .(!oxAnaloge Beziehungen folgen aus der zweiten und dritten Eulerschen Gleichung.In Vektorschreibweise lautet der Sachverhalt;owW21.7it- - tv X rot tv + grad 2 = grad p = - grad t + T grad s.(26)eBei stationaren Stromungen falIt der erste Summand weg. Unter diesenspielen die sogenannten isoenergetischen Stromungen eine besondere Rolle, diedadurch ausgezeichnet sind, daB der Energiesatz Gl. (II, 7);~2+i =io(II, 7)mit einer und derselben Ruheenthalpie io auf allen Stromlinien gilt.
Da Strom£aden in einer stationaren Stromung ruhig liegen, verhalt sich eine reibungsfreieStromung im Faden wie die in Teil II behandelte "stationare Fadenstromung".Langs des Stromfadens gelten also alle in Teil II abgeleiteten Satze fiirstationare reibungsfreie Stromung, also der Energiesatz und bei Isentropie dieBernoullische Gleichung. Nun andert sich in einem VerdichtungsstoB wohl dieEntropie, nicht aber der EnergiefluB, und dies gilt, wie spater gezeigt wird,auch fiir aIle schiefen StoBe. Die reibungsfreie stationare Stromung mit beliebigen156IV.
Allgemeine Gleichungen und Siitze.VerdichtungsstaDen hat also konstantes i o, wenn io im Anstramgebiet konstantist. AIle reibungsfreien, stationaren Stramungen mit konstantem Anstrornzustand sind damit uber aIle StaDe hinweg isoenergetisch. In Gl. (26) laDt sichdurch Bildung des Gradienten in Gl. (II, 7)~2 und i eliminieren mit demResultat:\tJ X rot to = - T grad s.(27)Dieser von L. CROCCO stammende Satz 3 , 4, 5 besagt:1. Jede drehungsfreie (wirbelfreie), stationare, isoenergetische Stramung muBisentrop sein.2. Jede anisentrope, isoenergetische, stationare Stramung hat Wirbel.Die Stramung hinter der Kopfwelle eines mit Uberschallgeschwindigkeitfliegenden Karpers kann also exakt nicht mehr als drehungsfrei angesehen werden.Die Anderung der Zirkulation ist allerdings im allgemeinen gering, wie Gl. (25}zeigt.
Wird namlich dort als eine erste Naherung die absolute Temperatur imIntegranden konstant gleich der Anstramtemperatur gesetzt, so ergibt sich nochkeine Zirkulationsanderung::PT dsR::iT(X)G.eft ds=O.GAus Gl. (26) kann im ubrigen nicht gefolgert werden, daB die Stramungwirbelfrei ist, wenn die Entropie konstant ist, weil das auDere Produkt zweierVektoren auch dann verschwindet, wenn die Vektoren gleiche Richtung haben.Der Croccosche Wirbelsatz gilt auch beim Vorhandensein auDerer Krafte,die ein Potential haben. Allgemeinere Ableitungen auch fUr instationiire Stramungen und Stramungen mit Reibung gibt A. VAZSONYI 9 • Uberflussigerweiseund falschlich wird dabei der Reibungskoeffizient allerdings als konstant angenommen.Bei Stramungen idealer Gase konstanter spezifischer Warme im kriiftefreien Feld la'lsen sich die abhangigen Variablen nach l\1UNK und PRIM 10 stetsso umschreiben, daD der Croccosche Satz formal auch bei von Stromlinie zuStromlinie veranderlicher Ruheenthalpie resuItiert.Fur instationare Stromungen hat H.
ERTEL6 einen Wirbelsatz abgeleitet, del'unter den hier gemachten Voraussetzungen folgende Form annimmt:~ ( rot ttl grad= o.dt118)Er wurde in der Gasdynamik bisher noch nicht angewendet.6. Auftrieb und Zirkulation in stationarer Stromung.Die von der Luft auf einen fliegenden Karper ausgeubte resultierende Kraftkann in eine Komponente in Flugrichtung - den Widerstand - und in zweiKomponenten quer zur Flugrichtung - den A uftrieb und die Querkraft - zerlegtwerden. Del' Auftrieb ist dabei am Flugkarper nach oben, die Querkraft senkrechtdazu gerichtet.Die Zerlegung der resultierenden Kraft erfolgt vielfach anstatt in Widerstandund Auftrieb auch in Tangentialkraft und Normalkraft (und Querkraft).
Zudies em Zweck muD eine Tangentenrichtung im Karper festgelegt sein. Sie istbei einem achsensymmetrischen Karper durch die Achse, bei einem symmetrischenProfil durch die Symmetrielinie gegeben.Bei der hier behandelten stationiiren Stramung ergibt sich del' Auftrieb alsKraftkomponente senkrecht zur Anstramrichtung (Abb.73). Dabei sei diey-Komponente nach oben gerichtet.IV, 6. Auftrieb und Zirkulation in stationarer Str6mung.157Mit Hilfe des Impulssatzes Gl.
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