K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 47
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(4) laBt sich nun der Auftrieb durch denImpuls£luB und die Flachenkrafte an der sogenannten "Kontrollflache" f berechnen.Dies kann auf zwei Arten erfolgen. Man betrachtet entweder nur die Flache fund bringt am Korper eine dem Auftrieb entgegengesetzte lVIassenkraft an,welche diesem das Gleichgewicht halt. Beim Fehlen jeder anderen lVIassenkraftist dann:- A =e Y dx dy dzJJIB(das Raumintegral ist ja die resultierende lVIassenkraft). Der Korper wird alsoals ein Teil des Mediums selbst angesehen, was wegen der allgemeinen Gultigkeitdes Impulssatzes durchaus erlaubt ist. Es ergibt sich dann nach Streichen derinstationaren Glieder:I I [e v W n + P cos (n, y)] df +t- II [PXy cos (n, x) + (pyy + p) cos (n, y) + PZy cos (n, z)] df.-=A(28)tAnderseits kann aber der Korper auch durch eine zweite, unmittelbar an derKorperoberflache verlaufende Kontrollflache ausgeschlossen und vonjeder lVIassenkraft abgesehen werden.An der Korpero berflache verschwindetder Impuls£luB, und der Auftrieb ergibt sich dort als Integral uber die iny-Richtung wirkenden Druck- und/Reibungskrafte.
Er ist den auf dasMedium ausgeubten Oberflachenkraften entgegengesetzt:II [PXy cos (n, x) + P yy cos (n, y) ++ PZy cos (n, z)] df = - A.OberfliicheAbb . 73. Auftrieb und Widerstand.Nach Einsetzen in Gl. (4) und Streichen der instationaren Glieder und derlVIassenkrafte ergibt sich wieder Gl. (28).In Gl. (28) enthalt das zweite Integral die Reibungskrafte an der KontroIl£lache, welche zunachst nicht gestrichen werden diirfen. Es zeigt sich allerdings,daB sie selbst fUr die Ermittlung des Widerstandes (nachster Abschnitt) bereitskurz hinter dem Korper bedeutungslos sind, so daB fUr den Auftrieb auch beireibenden Flussigkeiten in geringer Entfernung vom Korper geschrieben werdenkann:A = [e v Wn + P cos (n, y)] df =IIt= -I I [e v W n + (p tPool cos (n, y)] df·(29)Die Projektion einer geschlossenen Flache auf eine beliebige Ebeneverschwindet, weil zwei gegenuberliegende Teile der Flache entgegengesetzteBeitrage zum Integral liefern:I I cos (n, x) df = JJ cos (n, y) df = I I cos (n, z) df = O.ttt(30)Folglich kann in Gl.
(29) der Druck p durch die Differenz p - Poo von Druckund Anstromdruck ersetzt werden.Nicht aIle Storungen, welche ein Korper in einer Stromung hervorruft,klingen so stark ab wie die durch Reibung bedingte Verzogerung der Teilchen.IV. Allgemeine Gleichungen und Siitze.158Bei ebener Stramung (aIle GraBen unabhangig von z) ergibt sich Auftrieb dann,wenn unter dem Karper Uberdruck - also Untergeschwindigkeit - , uber demKarper Unterdruck - also Ubergeschwindigkeit - herrscht. Das entspricht alsoZusatzgeschwindigkeit zur Anstramgeschwindigkeit U oo uber dem Karper,negative Zusatzgeschwindigkeiten unter dem Karper oder eine Wirbelstramungin Uhrzeigerrichtung, welche sich der Anstramung uberlagel'll.
Mit demAuftrieb muB demnach Zirkulation verbunden sein.1st nun die Stramung im Anstramgebiet wirbelfrei, so muB sie nach demThomsonschen Satz bei reibungsloser Stramung auf allen mit del' Stramungwandel'llden geschlossenen Kurven wirbelfrei bleiben (Abb.74). Keine diesel'Kurven umschlieBt ja das ganze Profil, so daB es keinen Widerspruch bedeutet,wenn eine das Profil umschlieBende Kurve Zirkulation aufweist. Jedoch kannenzwei den Karpel' umschlieBende Kurven zu aus dem Anstramgebiet stammendenKurven zusammengefugt werden.
Daraus folgt , daB die Zirkulation fur alleKurven, die nur durch drehungsfreies Gebiet getrennt sind, konstant sein muB.Die ebene Stramung im Raum betrachtet, ergibt einen in z-Richtung beiderseits ins Unendliche reichenden Wirbel. Auch bei einem endlich breiten Karpel'muss en nach dem Helmholtzschen Wirbelsatz die,--------,,,,,Wirbelrahren in das Unendliche reichen (oder geschlossen sein) . Die Wirbel biegen an den Endeneiner endlichen tragenden Flache urn und setzenL _r _____ Jt,sich stromabwarts fort.
Die Wirbelfaden kannenauch im Versuch stromabwarts weit verfolgt werden,Abb . 74. Massenfeste KUIve in zweiZeitpunkten.denn die Geschwindigkeitsunterschiede klingenauch durch Reibung nur langsam aboAuch VerdichtungsstaBe an Karpel'll, welche mit UberschaUgeschwindigkeitfliegen, ragen weit in die Stramung hinein. Es wird gezeigt werden, daB dieStoBintensitat bei ebener Stramung nur mit del' Wurzel aus dem Abstand yomKarper abklingt.In jedem Fall gibt es aber stets ein Abklingen der Starung, so daB die FJache fnur groB genug gewahlt zu werden braucht, f = foo, urn beliebig kleine Starungenauf ihr zu erhalten.
Es genugt dann, im Integranden yon G1. (29) die Gliedererster Ordnung zu berucksichtigen. Mit GJ. (1) ist:,IIIA=-JJ[eoo Uoo v cos (n, x) + (p tooPex:;) cos (n, y] df.Fur eine verlustfreie Stramung kann nun ein Druckunterschied durch einenGeschwindigkeitsunterschied ausgedruckt werden. Es ist nach binomischer Entwicklung=u-Uex:;+u;o [( u:' )2+ (u:) 2] + ... ,also in erster Naherung die Schwankung der Geschwindigkeit gleich der Schwankung der u-Komponente, wenn die Schwankungen aller Geschwindigkeitskomponenten von gleicher GroBenordnung sind.
In Ausnahmefallen, wie an einemachsensymmetrischen Karper (Abschnitte VII, 4; VIII, 3) oder bei Schallnahe(Abschnitte IX, 5, 6) bedarf es einer besonderen Untersuchung.Aus der differenzierten Form der Bel'lloullischen G1. (II, 51) ergibt sich dann inerster Naherung:(}ex:; Uex:; (u - u oo ) = (p - pex:;) + ...und folglich mit G1. (30)A = (}ex:; Uex:; [v cos (n, x) - u cos (n, y)] df.JJtooIV, 7. Widerstand und Schub in stationarer Str6mung.159Wird die Zunahme der Flache df positiv gerechnet, wenn in positiver z- Richtungund auf der Schnittkurve der Flache t mit einer Ebene z = konst.
gegen denUhrzeigersinn (Abb. 73: Pfeilrichtung) fortgeschritten wird, so ist:cos (n, x) dt=+ dy dz;cos (n, y) df=-dz dxund folglichJ[J (u dx + v dy)] dz.In der eckigen Klammer steht die Zirkulation r auf einer Kurve in einer EbeneAz== -(};x, U oef",konst.(33)Jr dz.Die Integration uber z ist uber das Gebiet r 0 zu erstrecken. r kann aufA= -(joe U oe=1=irgendeiner Kurve in Ebenen zau -~=O ist.oyax=konst. gebildet werden, auBerhalb derenrBei ebener Str6mung istunabhangig von z.
Es ergibt sich dann mit b alsFliigelbreite: der K utta-Joukowskische Satz:A = -(joe U oerb,(34)mit r als Zirkulation uber irgendeine Kurve urn den Korper im drehungsfreienGebiet. Auftrieb herrscht bei negativer Zirkulation, d.
h. bei Zirkulation imnegativen Drehsinn.In den meisten Lehrbiichern findet man in Gl. (34) das umgekehrte Vorzeichen.Dann miiJ3te aber hier die Zirkulat,ion als positiv definiert werden, wenn sie innegativem Drehsinn erfolgt.In anisentroper Stromung kann dieser Satz nicht mehr gelten. In ihr andertsich die Zirkulation einer massenfesten Kurve nach G1. (25) mit der Zeit, unterscheidet sich also auf den einzelnen Kurven urn ein Profi1.7.
Widerstand und Schuh in stationarer Stromung.Urn die in Richtung der Anstromung wirkenden Krafte zu erhaIten, kannganz entsprechend wie bei der Ermittlung des Auftriebes vorgegangen werden.Hat der Korper keinen Antrieb, so verzogert erim allgemeinen das ihn umflieBendeMedium und vermindert damit dessen BewegungsgroBe. Ais Ursache dafurkommt die innere Reibung in Frage, welche unmittelbar am Korper in denReibungsschichten sehr graB sein kann. Aber auch VerdichtungsstoBe bringenVerluste. Ein Teilchen, welches einen StoB durchlaufen hat, besitzt erhohteEntropie in groBerem Abstand hinter dem Korper, wo praktisch wieder Anstromdruck Poe herrscht, also erhohte Temperatur gegenuber dem Anstromzustand.Wird lediglich der StoBverlust betrachtet, von Reibung also abgesehen, so giltfUr das Teilchen der Energiesatz (II, 7).
Bei erhohter Temperatur muB also dieGeschwindigkeit und damit die BewegungsgroBe im "Nachlauf" des Korpersverringert sein.Ein Schub entsteht immer dann, wenn einem Medium eine BewegungsgroBeerteilt wird. Dies braucht naturlich keineswegs in Anstromrichtung zu erfolgen.Jedoch soIl hier nur der einfachste Fall, daB der Schub dem Widerstand genauentgegengesetzt ist, behandelt werden. Eine Verallgemeinerung bietet keineSch wierigkeiten.Die Erhohung der BewegungsgroBe kann dadurch erfolgen, daB das umstromende Medium am Korper beschleunigt wird, wie es beim Flugzeugpropellerund bei der Schiffsschraube der Fall ist. Auch die modernen FlugzeugantriebeIV.
Allgemeine Gleichungen und Satze.160("Dusenantrieb", Argusrohr-V 1, Lorinantrieb) arbeiten im wesentlichen auf dieserGrundlage. Bei ihnen wird die Luft zunachst verdichtet, sodann wird sie durchBrennstoffzufuhr erhitzt, schlieBlich wieder expandiert und mit erhahtem ImpulsausgestoBen. Die Masse hat sich dabei allerdings um den Treibstoff vermehrt,jedoch ist dieser Zusatz wegen des hohen Energieinhaltes der Treibstoffe unwesentlich (Abschnitt 1,4).Bei Pulver- und Flussigkeitsraketen erfolgt der Antrieb durch die Beschleunigung von Materie, welche der Flugkarper mit sich triigt. Auf einer den Karperumgebenden Kontrollflache ergibt sich ein UberschuB an ausstramender Materie.Dies schrankt die Anwendung des Impulssatzes keineswegs ein, der unabhangigvon Kontinuitatsannahmen aufgestellt wurde.
Jedoch ist zu beachten, daB essich wegen der Massenabnahme im Karper nun um einen instationaren V organghandelt. Das instationare Glied des Impulssatzes steUt die zeitliche Anderungder BewegungsgraBe im Karper dar. Sind die Zustande in der Schubduse zeitlichunverandert, wird also lediglich der im Karper ruhig liegende Treibstoff verbraucht,wie es im normalen Raketenbetrieb der Fall ist, so verschwindet in einem mit demKarper fest verbundenen Koordinatensystem das instationare Glied des Impulssatzes, und das Folgende gilt auch fUr Raketenantriebe.Die Kraft K, welche sich als Schub oder Widerstand in x-Richtung auBert,sei positiv, wenn die Luftkrafte in positiver x-Richtung auf den Karper einwirken(Widerstand). Sie ist also (ganz entsprechend wie beim Auftrieb) als negativeresultierende Massenkraft im Impulssatz einzufuhren.
Damit ergibt sichIIt [e u Wn + P cos (n, x)] df ++ II [(p",,,, + p) cos (n, x) + Py", cos (n, y) + Pz", cos (n, z)] df.K = -(35)tWird von Reibungskraften abgesehen oder wird die Kontrollflache groBgenug gewahlt, so daB die Reibungskrafte auf ihr bedeutungslos werden, so istdie Widerstands- (K > 0) oder Schubkraft (K < 0) :K=-JJ [e u Wn + P cos(n, x)] df=t=-I I [e u Wn + (p -p=) cos (n, x)J df·(36)tDie starken Reibungskrafte entstehen dadurch, daB das Medium am Karperzu valliger Ruhe abgestoppt wird.
1m Nachlauf hinter dem Karper werdendiese langsamsten Teile sehr rasch auf Geschwindigkeiten beschleunigt, die mitder Anstramgeschwindigkeit vergleichbar sind. Damit nehmen die Reibungskriifte aber im Nachlauf sehr rasch ab, so daB sie bereits im Abstand von etwaeiner Korperldnge nicht mehr berucksichtigt zu werden brauchen. Da es sichuberwiegend um turbulente Vorgange handelt, ist eine exakte theoretische Verfolgung der Vorgange nicht maglich. Jedoch ist diese Tatsache auch durchVersuche genugend gefestigt, indem der Widerstand eines Karpers durch Ausmessen des Impulses im Totwasser (Abschnitt XII, 1) unter Anwendung vonGl. (36) bestimmt werden kann. Die Berechtigung einer Vernachlassigung derReibungskrafte ergibt sich dann, wenn sich mit Gl. (36) dieselben Werte furden Widerstand unabhangig vom Karperabstand ergeben.Fur den Widerstand eines Karpers, der keine Energie (weder mechanischenoch thermische Energie) und keine M9,sse an das umstramende Medium abgibt, lassen sich noch genauere Angaben machen.
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