K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 35
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Fur jeden Ort xgibt es zu einem Zeitpunkt t also ein "EinflufJgebiet" , welches durch die vomPunkt x, t ausgehenden Bahnkurven der Schallfortpflanzung (Machschen Linien)begrenzt ist (Abb. 48). Sie sind durch Gl. (28) gegeben:dxTt= W ±c.Oswatltsch, Gasdynamik.8III. Instationare Fadenstri:imung.114F.iir einen sich mit dem Medium, also mit del' Geschwindigkeit W, bewegendenBeobachter der Zeichenebene lauft die eine Schallwelle nach rechts, die anderenach links, weshalb nach TOLLMIEN und SCHAFERl2 von einer rechtslaufigen (Wc)und einer linkslaufigen (W - c) Mach-Linie gesprochen werden soIl. 1m FaIlekleinster Starungen (Linearisierung) odeI' am Rande eines ruhenden Mediums+konstanter Schallgeschwindigkeit ist die Mach-Linie eine Gerade(~= co'dtvgl. etwa Abb.
46). Bei unstetigen Zustandsanderungen, also bei Sta13en, istdas EinfluBgebiet durch die StoBkurven begrenzt.Der Zustand irgendeines beliebigen Punktes PI (Xl' tl ) del' Stromungsebenekann seinerseits nur von jenen Storungen abhangen, in deren EinfluBgebiet del'betrachtete Punkt liegt. Eine ausgedehntere Storung kann wahrend einer Zeitspanne von einem Ort oder von einer Reihe von Orten ausgehen, sie ist also durchdie Zustande auf einer belie big gelegenen Kurve in del' a;,t-Ebene dargestellt.Es kannen auch alle von einer solchen Kurve ausgehenden Einfliisse als auf del'Kurve K entstandene Storungen angesehen werden.
Der Zustand im Punkt PItt~r(lI'IJtlzUn.fJKKf'.J:Abb.4 . E infLu Ggcbiet eines Pllllktes P(_ _ Mach-LiDie, ____ TeUchen·bahn).~Abb.49. AbhiinglgkeitsgebieteinesPunktes P, auf einer Kurve K.';tlJitl.J:Abb. 50. For lS1ltzllngsgeblet elnesK urvenstiick es K.(Abb. 49) hangt nur von den Einfliissen eines wieder durch zwei Mach-Linienbegrenzten Stiickes der Kurve K ab, welches das "Abhangigkeitsgebiet" desPunktes PI auf der Kurve K genannt wird.Aus der Festlegung der Zustande auf einem Kurvenstiick folgt schliel3lichdie Festlegung del' Zustande in allen Punkten, deren Abhangigkeitsgebiet vondem Kurvenstiick umfa13t wird. Dieses Gebiet, des sen Berechnung allein ausder Kenntnis del' Zustande auf einem Kurvenstiick moglich sein muB, weil esnur von diesem abhangt, heiBt "Fortsetzungsgebiet" (Abb.50).Die partiellen Differentialgleichungen, wie etwa die KontinuitatsbedingungodeI' die Bewegungsgleichung, stellen Bindungen del' Zustandsanderungen inzwei verschiedenen Richtungen dar.
Sie gelten nicht iiber die StoBwellen hinweg,abel' beliebig nahe von beiden Seiten an diese heran. Die folgenden Schliissewerden deshalb auch nicht iiber StoBwellen hinweg, sonst abel' iiberall geIten.Wird ein Koordinatensystem so gewahlt, daB eine Koordinatenlinie mit einerMachschen Linie zusammenfallt, die andere Koordinatenlinie abel' beliebig verlauft, so kann durch Koordinatentransformation leicht die Anderung einerGraBe - etwa del' Geschwindigkeit - langs del' genannten Machschen Linieermittelt werden.
Diese Anderung einer GroBe langs del' Mach-Linie darf nunabel' nul' yom Zustand auf del' Mach-Linie selbst, womit auch die Anderungendes Zustandes langs diesel' Mach-Linie einbegriffen sind, abhangen. Dies ist notwendig, weil sich sonst - entgegen den vorausgegangenen Schliissen - Zustandsanderungen, welche auf das Einflu13gebiet beschrankt sind, auBerhalb desselbengeltend machen wiirden, odeI' umgekehrt Vorgange, welche auBerhalb desAbhangigkeitsgebietes liegen, sich bemerkbar machen wiirden. Weil nun abel'jede Mach-Linie Begrenzung eines geeignet gewahlten Einflu13gebietes odeI'III, 26.
Transformation der Differentialgleichung auf die Machschen Linien. 115Abhangigkeitsgebietes ist und durch jeden Punkt der Stromungsebene zweiMach·Linien gehen, mussen die beiden Scharen links- und rechtslaufiger MachLinien als Koordinatenlinien eingefUhrt Differentialgleichungen ergeben, indenen stets nur die Anderungen in einer del' beiden Richtungen von MachLinien vorkommen.Es ist einleuchtend, daB diese einfachen Differentialgleichungen fUr die Behandlung allgemeiner Aufgaben besonders geeignet sein werden.Eine Mach-Linie ist dadurch gekennzeichnet, daB sich ihr entlang eine kleineStorung fortpflanzen wiirde, wenn sie an einem ihrer Punkte hervorgerufenwurde. Die Storung braucht realiter nicht gegeben zu sein.
So gibt es auch indel' ungestorten Parallelstromung und in einem ruhenden Medium zwei ScharenMachscher Linien. Die Storungen konnen sehr kleine Zustandssprunge odeI'auch beliebig starke Knicke im Zustandsverlauf sein (vgl. Abb. 36, 37, 45).So kann aus dem Geschwindigkeitsgefalle auf del' einen Seite del' MachschenLinie nicht auf das Gefalle auf del' anderen Seite geschlossen werden. Dies istein weiterer Grund, weshalb die Ableitungen langs del' Mach-Linie nicht vonjenen quer zu ihr abhangen konnen, weil letztere auf beiden Seiten verschiedenund somit auf del' Mach-Linie unbestimmt sein konnen.Diese Eigenschaft del' Machschen Linien spielt in del' Theorie einer ganzenKlasse von Differentialgleichungen, deren einfachste Vertreterin die Wellengleichung (57) ist, und die als "hyperbolische" Differentialgleichungen bezeichnetwerden, eine hervorragende Rolle.
Die den Machschen Linien entsprechendenKurven werden aUgemein als "Oharakteristiken" oder "charakteristische Grundkurven" bezeichnet, ein Ausdruck, der im folgenden fur die Machsche Linie oftel'Sverwendet werden wird.26. Transformation der DiHerentialgleichungen auf die Machschen Linien.+1m folgenden sei die durch die Neigung Wc gekennzeichnete rechtslaufigeMachsche Linie oder Charakteristik mit 'fj = konst., die durch die Neigung W - cgekennzeichnete linksliiufige Machsche Linie mit ~ = konst. gekennzeichnet.Bei kleinen Storungen im ruhenden Medium (Wco' c - Coco) sind dieNeigungen in erster Naherung, die einer Linearisierung entspricht, gegeben durch:( ~~ ); = - {= - co;(~~t<= -<;:= co·Hieraus folgt nach Integration bei einfachster Wahl del' verfugbaren Konstanten:(~}); =-:: =x+ cot;'fj =c;(~;x-cot.(101)AIle moglichen ~- und 'fj-Werte ergeben hier also in der x,cot-Ebene eine Scharunter 45° fallender und eine zweite Schar unter 45° steigender gerader Linien.Die allgemeinen Differentialg!eichungen (28) fUr die Charakteristiken:~ =W-L= -;: =W+c(102)lassen sich nicht integrieren, weil W und c als Funktionen von x und t nichtbekannt sind, sondern erst gefunden werden sollen.Um die Ableitungen in Richtung del' beiden Charakteristiken zu erhalten,kann ganz analog zur Gl.
(1) fur die Ableitung in Richtung der Lebenslinie vorgegangen werden. Mit Gl. (102) ist fUr eine beliebige Funktion g:= !rL + !rL (~) = J7g_ + (W (!rL)at;ataxat ~at(J7fL)at'1=c)J7fL= !!.fL axdtc _0fL.ax 'J7fL+ J7fL(~)= J7fL+ (W + c) ~= !!£.+ c~.ataxat '1ataxdtax(103)8*116III. Instationare Fadenstr6mung.Es sollen im folgenden nur Stromungen ohne W iirmezufuhr behandelt werden.Dann bleibt die Entropie langs Stromlinien konstant, woraus fur ein idealesGas folgt:(-.:-I)T d~=~~_~~.!!:.L=O~ee~~(104).Damit kann die Kontinuitatsbedingung (II) wie folgt umgeformt werden:oW=-C2(~!Ji+ ~_al).ax1 ax1 at~~+C2edt(105)Die Bewegungsgleichung (12) mit c muItipliziert:cdW + ~!~dteax0=und zu Gl. (105) addiert oder von Gl.
(105) subtrahiert ergibt:± c (dW±. . c !lV_)+ ~e (.!!~±.. c~)dtaxdtax=_c2 (W_!L+ ~!Ji).1 ax1 atDamit sind die Gleichungen bereits auf die Machschen Linien transformiert.Mit Gl. (103) ist:_+ _1(!~) = _ c (~~ + .L!Ji)e c at ~1 ax1 at 'OW)1 (a p )(W 011 (1)(at"I' ec at " I = - c -1-&+ fTt·(~)at~(106)IDie rechten Seiten enthalten die Anderungen des Querschnittes t bei festem tbzw. x. Die GroBen muss en naturlich gegeben sein. 1m allgemeinen bleibt derQuerschnitt ja zeitlich unverandert [f = t(x)].
Bei ebenen Stromungen(f = konst.) verschwindet die rechte Gleichungsseite; sie erhalt bei Zylinderoder Kugelsymmetrie die durch Gl. (34) gegebene einfache Form. An unbekannten Ableitungen treten in der ersten Gl. (106) nur solche langs der linksIaufigen, in der zweiten nur solche langs der rechtslaufigen Charakteristik auf.Die Gl. (106) konnen ebenso aus der Bedingung abgeleitet werden, daB dieAbleitungen quer zur Charakteristik unbestimmt sind (siehe etwa 13). Sie tragenvon dieser Ableitung her die Bezeichnung "Vertriiglichkeitsbedingungen".Nur bei isentroper Stromung reichen die beiden Gl.
(106) zur vollstandigenBeschreibung der Vorgange aus, weil dann aIle GroBen auf W und coder W und pzuruckgefiihrt werden konnen. Bei anisentroper Stromung tritt noch Gl. (104)hinzu, welche aussagt, daB s nur langs Lebenslinien konstant ist. Dann stelltauch die Lebenslinie eine Charakteristik dar, an der auBer p und Walle ZustandsgroBen springen konnen. (Unstetigkeitslinie in den Abb. 36, 40, 41, 42.)Ganz wie die Vertraglichkeitsbedingungen (106), enthalt Gl. (104) ausschlieBlichAbleitungen in Richtung der moglichen Unstetigkeitslinie.Die linke Gleichungsseite von (106) laBt verschiedene FormuIierungen zu.Fur die beiden in Frage kommenden Differentialsummen ergibt sich mit Hilfeder Entropiedefinition:=f c dW + ~ dp = =f cdW + di- T ds = - (W ± c) dW + d ( ~2Die Summe ~2++ i) -T ds.i gibt bei stationarer Stromung konstante Werte.
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