K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 34
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Dies istauch nicht zu erwarten. Die Bedingung von Gleichdruck am Rohrende giltnur bei Unterschallstramung, weil nul' diese vom Zustand jenseits des Rohrendes beeinfluBt wird.Die in den Absatzen 16 bis 21 besprochenen Vorgange sind dadurch gekennzeichnet, daB die Stramungszustande auf Strahlen durch einen bestimmtenPunkt konstant sind. Es treten nur Entropiesprunge in StoBen und an Unstetigkeitslinien auf. Unter dies en Umstanden ist es moglich, mit Hilfe von StaBenund der stetigen Ausdehnung oder Kompression Gl. (90) exakte Losungen desebenen Problems aufzubauen.22. Exakte Losungen anisentroper Vorgange.Wird in die Gl.
(40) fur.ein id. Gas konst. sp. W. die Querschnittsanderung (34)fUr das ebene, zylinder- und kugelsymmetrische Problem eingefUhrt, so ergibtsich ein Gleichungssystem, welches sich von Gl. (70) nur um Entropiegliederunterscheidet :2-~ -oWot100Tt+~2-1+ W oW+ " -2oxW~ox1C+ c oWox00ex==02c W~'_x'0(8 ),,- 1 ox C; ;(95)~+ 'W ..!....-- 0 .ot (~)opox (~)opDer Bechertsche Ansatz Gl.
(88) laBt sich auf eine exakte Lasung desanisentropen Vorganges Gl. (95) erweitern, welche von G. GUDERLEy9 stammt.III. Instationare Fadenstromung.LlOnach x abgeleitet, muB eine Funktion von r; gebrochen durch x ergeben.Der Ansatz:8cC=1-~nX1FI(r;);(96)fuhrt zu einem System gewohnlicher Differentialgleichungen flir die Funktionen FI(r;), F 2 (r;), F 3(r;):2x-IFI'(=j= nr;*- +FJ + F 2 ' FI + FIF2 [ x+_1(I- ~) +Ix-rlX-=- I F 1'F 2 + F 2'[ =j= n# + FJ- x+F221](I_~)nF3'+F12 [1]2x-Inn~=1]= o·'IIF~'FI2 +(I_~)_(=j= nr;*- + FJ + AaJA ] =0''x-I(97)O.Eine ausfUhrliche Behandlung und weitere Reduktion des Gleichungssystemsfindet sich in der genannten Arbeit von GUDERLEY.
In der groBen Mannigfaltigkeit von Losungen sind auch die isentropen Ansatze von Abschnitt 15 mit eingeschlossen.23. Kugelige und zylindrische StoBe in der Nahe des Zentrums 9 •Da sich Impuls, Energie und MassenfluB in der Nahe des Zentrums auf kleinenRaum zusammendrangen, mussen die StoBintensitaten dort ungeheuer anwachsen, so daB der StoBvorgang mit den vereinfachten Gleichungen (79) genahert werden kann.
Mit der Veranderlichkeit der StoBstarke muS auch die.1PI+'ii;- J.{}(J(J,q/1(JZ(J-f-zAbb. 44. R ef/exion eines kugeligen (a = 2) und zylindrischen (a = 1) Stof3es im Zentrum nach GUDERLEY".Stof3iinie in der Stromungsebene. Geschwindigkeit und Druckverlauf abhangig von der Zeit im Punkte x,der zur Zeit t = - to von einem einfallenden Stoll der Geschwindigkeit U 0 erreicht wird (>< = 1,400).StoBgesehwindigkeit U variieren.
Sieher wird sie in der Nahe des Zentrums amgroBten sein, also wird die StoBlinie keine Gerade wie bei der ebenen Reflexionan einer Wand, sondern eine Kurve sein, die mit t = 0 als Zeitpunkt fUr dasEintreffen des StoBes in x = 0, dureh:x= B (± C1 t)ngegeben sei.
Dabei gilt das negative Vorzeiehen fur einen auf das Zentrum zueilenden, das positive Vorzeiehen fUr einen vom Zentrum weggehenden StoB.In x =muS wie bei der Reflexion an einer Wand standig W =sein.°°III, 23. Kugelige und zylindrische St6J3e in der Nahe des Zentrurns.IIIAus der StoBkurve ergibt sich die StoBgeschwindigkeit zu:-UCIdx=-- =d(c i t).!.- l-.!.±nB(±clt)n-l= ±nBn x n.Damit ergeben sich nach Einsetzen von U in G1. (79) fUr Geschwindigkeitund Schallgeschwindigkeit gerade jene Potenzen von x, wie sie in G1.
(96) beieinem bestimmten 'Y/ auftreten. 'Y/ = konst. wiederum gibt gerade den Ansatzffir die StoBkurve. Sie sei durch 'Y/ = 'Y/s = B gekennzeichnet. Der Ruhezustand 1(Abb. 44) im Zentrum vor Eintreffen des StoBes herrscht bei negativen Wertenvon t. Fur den ersten StoB muB also eine Lasung von G1. (97) gesucht werden,welche fur 'Y/ = 'Y/s bei t < 0 nach G1. (79) und (96) folgende Werte liefert:C'!2x(x-I)x8-8~_._I=Cv+I_v'--_-'-:--o--'--- n.!.- l-.!.-'Y/ snXn = Xl-.!.nF I ('Y/ s) ;(2)22--1nx+-In'Y/s+lnn=xF('Y/s)+x A lnx.nn3Damus ergeben sich die Randwerte der Funktionen Fi fur 'Y/ - 'Y/s' Auchder Entropieansatz genugt also den Anforderungen, wenn x A = 2 ( 1 -~)gesetzt wird. Der Exponent n bleibt zunachst noch unbestimmt.1m Zentrum x = 0 muB nach der Reflexion ebenfalls Ruhe herrschen.
Esist also an der Linie des reflektierten StoBes eine Lasung anzusetzen, welcheneben den StoBbedingungen auch noch die Bedingung W = 0 auf x = 0 liefert.Auch dies leistet eine Lasung des Gleichungssystems (97) fur ein ganz bestimmtes n,welches von GUDERLEY fur x = 1;40 wie folgt bestimmt wurde:a=1:a=2:n = 0,834,n=0,717.Die Geschwindigkeiten im Feld 2 am reflektierten StoB haben sich gegenuber jenen am einfallenden StoB geandert. Jedoch sind sie dort genau wie dieIStoBgeschwindigkeit U proportional xl-no Damit ist diese Proportionalitat amStoB im Felde 3 gemaB G1. (79) nicht nur fur die Relativgeschwindigkeit L1 W,sondern auch fur die Absolutgeschwindigkeit am StoB in 3 und schlieBlichauch fur die absolute Laufgeschwindigkeit des reflektierten StoBes UW2gegeben, der somit wieder auf einer Kurve x/(c i t)n = konst. liegt.
Auch dieEntropie am StoB hat einen Summanden A In x, womit die Brauchbarkeit desAnsatzes (96) fur das Feld 3 erwiesen ist.In Abb. 44 ist die Zeit durch jene Zeit to dimensionslos gemacht, welcheder einfallende StoB an der betrachteten Stelle bis zum Eintreffen im Zentrumbraucht. Der StoB treffe an der betrachteten Stelle mit der Geschwindigkeit U0ein. Mit U o und der Dichte l?t im Ruhezustand 1 vor dem Eintreffen des einfallenden StoBes sind dimensionslose GraBen gebildet. PI eignet sich nicht dazu,+weil dasrDruckverhaltnis~in einem StoB mit ~';;> 1 gerade von der GraBen-ordnung (~Abb. 39) furPICist.
Vergleichsweise sind die Werte fur a.!!-.';;> 1 hinzugefugt.CDie Abstande UXo~,=0 (im wesentlichenfUr welche der Zustands-III. Instationare Fadenstr6mWlg.112verlauf abhangig von der Zeit aufgetragen wird, sind fUr a = 0: x = 1;U o toxxa = 1: - Ut = 1,20; a = 2: - U = 1,40. 1m ebenen Fall braucht der refleko00totierte StoB fUr die Strecke yom Zentrum bis x die dreifache Zeit wie der einfallende StoB, bei a = 1 und a = 2 geht es etwas schneller. Hinter demreflektierten StoB stromt das Medium langsam nach und steigt der Druckbedeutend starker als bei a = 0 an.Die Berechnung des V organges mit den Methoden der Akustik (Linearisierung)liefert nicht einmal qualitativ richtige Resultate.24.
StoBe in groBer Entfernung vom Storzentrum.Bei kugeligen und zylindrischen Wellen muB die Starung in groBer Entfernung so weit abgenommen haben, daB mit den G1. (81) fur schwache StoBe(isentrope Naherung) und fUr die StoBgeschwindigkeit Unach PFRIEM G1. (85) mit dem arithmetischen Mittel derSchallgeschwindigkeit vor und hinter dem StoB gerechnetwerden kann.
Bei einer ebenen Welle (0 = 0) sei von vorn.z herein eine ausreichend schwache Storung vorausgesetzt.' - l---:Abb.45. SageZllhn·Wclle.Es solI das Fortschreiten einer sagezahnartigen Welle inx-Richtung verfolgt werden (Abb. 45).Der FuBpunkt des linear angenommenen c- oder W-Verlaufes wandert mitder Schallgeschwindigkeit Co des ungestorten Mediums.
Der StoB wandertschneller. Urn die Neigung des c- und W-Verlaufes zu erhalten, werden dieGraBen wieder wie in Abschnitt 13 im Punkte x = Co t entwickelt, worauscpt~.t 1 1/sich Hir den erst en Koeffizienten71/7JX-=-1=c (-'row)ox(;~t~cot=X ~ cot= a l = bl = tg Iinach Einsetzen in das Differentialgleichungssystem eine gelD ~wohnliche Differentialgleichung., (73) mit den Lasungen (74) ergibt, wobei wegen der Umkehrungdes Vorzeichens in der Beziehungifvon a l und tg fl auch die umgekehrten Vorzeichen fur cot flo6! I/und cot fl zu nehmen sind.o1m Gegensatz zu Abschnitt 13Abb. 46. Stollverlauf in der Strtimungsebene bei einer ebeneninteressieren hier nun die Gra(a ~ 0), zylindrischen (a ~ 1) und kugeligen (a ~ 2) Sagezahn-Welle (_ _ Stoll, _ ._ Mach-Linie).dienten cot fl > O.Mit c und W als Werten unmittelbar hinter dem StoB, also an der Stelle l = x - Co t, wenn l die Langedes Sagezahnes ist, folgt aus G1. (85) und dem Ansatz (71):C~CQIi1U = "2 [codo:.t"+ c + W]=Co+x+41tg fl .
l.Die Geschwindigkeit U 0 des StoBes zur Zeit t = to hangt also mit der Anfangslange Zo des Sagezahnes und tg flo wie folgt zusammen:Uo -Co = -x+I-4-- tg flo' Zo'III, 25. Einflu/3·, Abhangigkeits. und Fortsetzungsgebiet.113Der StoB befindet sich zur Zeit t an der Stellex = cot+ l.Damit ist seine GeschwindigkeitUdx= dt =Codl+ dt'was zusammen mit der Pfriemschen Gleichung folgende Differentialgleichungergibt:1 dlx + 1(98)tg fl'4TTt =mit tg fl als einer durch die Gl.
(74) gegebenen Zeitfunktion. Die Losung bietetkeine Schwierigkeiten und fuhrt zusammen mit den Anfangsbedingungen zumErgebnis (99)10,11, in welches anstatt der Zeit auch die Koordinate des FufJpunktes des Sagezahnes x = Co t eingefUhrt werdp,n kann (Abb. 46):(_"--)2=1 +2(~-1)~~=1+2(~-1)~(~-1);a =1: (-"--)2= I +4(~-I)~(V.!--I) =loloto(99)= I +4(~- I) ~ (V x - I);a=O:loColoColoXo,CoCOa=2:(-llo)2=1loXo+2(~-I)~ln-~=1+2(~-I)~ln~.ColotoColoXoZUT' Berechnung der StoBgeschwindigkeit U, welche gleichzeitig ein MaB fUrdie StoBintensitat und also fur den Uberdruck hinter dem StoB ist, muB Gl.
(99)nach t abgeleitet werden. Es ergeben sich die einfachen Be·ziehungen:ai'..-lCo=(~-1)~(~)2.ColX(100)NaturgemaB wird die Kugelwelle am schnellsten geschwacht Abb. 47. Siigezahnmit abscblieBendem(Abb. 46), weshalb sich deren StoBgeschwindigkeit U amStoLl.raschesten der Schallgeschwindigkeit nahert. Bei der ebenenWelle sind die Intensitaten umgekehrt proportional zur Zahnlange. Das Produktvon (c - co) l, welches im wesentlichen den Gesamtimpuls darstellt, bleibt, wiees nicht anders sein kann, konsta,nt.In analoger Weise kann die j<'ortpflanzung eines mit StoB endenden Sagezahnes (Abb. 47) behandelt werden oder konnen beide Losungen zu einergemeinsamen aneinandergefiigt werden.
Eine Superposition hingegen ist nichtmoglich, weil es sich nicht urn ein lineares Problem handelt.26. EinfluB-, Abhangigkeits- und Fortsetzungsgebiet.Fur aIle behandelten instationaren Vorgange ist es kennzeichnend, daB sicheine in einem Punkte der Stromungsebene auftretende Storung nur in begrenztemGebiet geltend machen kann. Entferntere Orte kommen erst dann unter denEinfluB der Storung, wenn die erste Schallwelle oder - bei starken Storungen die erste StoBwelle ausgehend von der Storung eingetroffen ist.
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