K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 53
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Die AusstoBgeschwindigkeit Wa hingegenist nicht etwa die obere Grenze fUr (- W).Nach dem Energiesatz muB die Anfangs- und Endenergie des gesamtenSystems gleich sein. Eine anfanglich ruhende Rakete besitzt nur innere Energie.Beim Flug im Vakuum hat sich schlieBlich der gesamte Energieunterschied yonunverbranntem Treibstoff und vollig abgekuhltem Schwaden in kinetischeEnergie von Rakete und Schwaden verwandelt. Die erstere, gegeben durch-+W2M R , ist als Nutzarbeit anzusprechen. Die kinetische Energie des Strahlesdagegen ist ein Integral uber die verschiedenen Geschwindigkeiten, welcheim Strahl auftreten, und wird durchJ_~2dMLadunggegeben.Damit ist dann der Wirkungsgrad r; (abweichend von der ublichen Definition):r;W R 2MR= ----WiMR- .--+ JWLadung2-.dMDer Gesamtimpuls muB in jedem Augenblick verschwinden, da im Ausgangsstadium Ruhe angenommen wurde:WRMR+JWdM=O.(29)LadungDamit ist der Wirkungsgrad der Rakete:1r; = - - - - - - , : - - - - - I!'W2dM+ --'-.--.----.,(30)-WRJWdMwobei die Integrale uber die Ladung zu erstrecken sind (W R hat einen negativenWert).
Besonders ubersichtlich wird Formel (30) fur den Fall, daB der Raketenstrahl einheitliche Geschwindigkeit W = W st hat. Damit dies erreicht wird,muBte also die AusstoBgeschwindigkeit entsprechend reguliert werden. DieFormel bekommt dann die Gestalt wie bei der Annahme, daB zwei feste Korperder Massen M R und M L plotzlich auseinandergetrie ben werden:r; =I-------w-=1+ __s_t_-WR1---AI -.1+ -~ML(31)V, 11.
Auffilllen eines Kessels.179G1. (31) fordert - ganz entsprechend wie G1. (18) fUr den Strahlwirkungsgraddes stationaren mechanischen Antriebes - fUr einen guten Wirkungsgrad denAusstoB von viel Masse mit nur geringer Dbergeschwindigkeit gegen die Fluggeschwindigkeit. Dieselbe Aussage ist auch in den allgemeiner giiltigen G1. (29)und (30) enthalten, nur handelt es sich dabei dann um Mittelbildungen iiberGeschwindigkeiten und deren Quadrate.Es miissen demnach fiir einen wirksamen Antrieb ausreichende Massen ausgestoBen werden, weshalb von der Atomenergie fiir die Raketentechnik nicht allzuviel zu erhoffen ist.
Nach ACKERET 2 ist auf diesem Wege nur ein Fortschrittdurch AusstoBen des leichten Wasserstoffes [EinfluB des Molgewichtes in G1. (27)]mit zwei- bis dreimal hoherer Auspuffgeschwindigkeit als "tote" Treibsubstanzzu erwarten.11. Auffiillen eines Kessels.Ein Kessel, in welchem sich Luft vom Druck Pa und der Temperatur T abefinde, werde aus der Atmosphare (Temperatur To) auf den Druck PE aufgefiillt. Die Endtemperatur TE im Kessel wird unterder Voraussetzung gesucht, daB die Wande warme- :L}---------------~--..,.'"Pd/~\undurchlassig sind.
Die Luft werde als id. Gas konst. :I..IIsp. W. angesehen.IIIIDie Endtemperatur ist offenbar durch den Massen- IIIund Energiezuwachs im Kessel bedingt. Es sei also-- --7 -- ---- -----,~'eine Kontrollflache um den Kessel gezogen (Abb. 92) ~ - --%Mtl'{)II/'/Jcll~und eine Energie betrachtung angestellt.
Vor dem Abb. 92. Auffillien eines Kessels.Offnen und nach dem SchlieBen des Kessels herrschtin seiner ganzen Umgebung der ungestorte AuBenzustand. Mit V als Kesselvolumen ist die Energiezunahme im Kessel:IIIV ((!EC"1TE -(!a c" T a) = V ,,_ 1 (PE -,IPal·Es ist beachtenswert, daB die innere Energie eines bestimmten Raumesdureh den darin herrsehenden Druck allein gegeben ist. Naeh dem EnergiesatzG1.
(IV, 5) muB der Energiezuwachs im Kessel gleieh sein dem Zeitintegraliiber den EnergiefluB dureh die Kontrollflache. Diese sei groB genug gewahlt,urn die kinetisehe Energie in ihrer Umgebung vernaehlassigen und die Temperaturder Ruhetemperatur To gleiehsetzen zu konnen. Sieher konnen dort dann auehalle Reibungs- und Warmeleitungserscheinungen vernaehlassigt werden. Damitist der Energiezuwachs vom Zeitpunkt t = 0 des Offnens bis zum Augenbliekdes SehlieBens t = tE:~f[f f( ~2 + e + :)ot(!Wndt]dt=cp ToflUI e Wndf]dt0=C pTO ((!E-eA) V.fDas nach dem Herausheben von cp To verbleibende Integral ist [nach der Kontinuitatsbedingung G1. (IV, 2)] der Massenzuwachs. In der letzten Gleichungist nun die Dichte mit der Zustandsgleiehung zu eliminieren und der Ausdruekdem in der vorhergehenden Gleiehung gewonnenen Wert fiir den Energiezuwaehsgleiehzusetzen.
Daraus folgt naeh kurzer Rechnung:TE"(32)12*180 VI. Allgemeine Gleichungen u. L6sungen fUr stationare reibungslose Str6mung.Die Endtemperatur TE ist darnach unabhangig vom AuBendruck Po' Beieinem leeren Kessel (Pa = 0) wird also im Kessel der x-fache Wert der absolutenAuBentemperatur To erreicht. Dies ist ein wichtiger Unterschied gegenuber derstationaren Stromung, bei welcher die Luft stets auf die Ausgangstemperaturabgebremst wird.
Wird der Kessel also auch auBerordentlich langsam aufgefulltund kann die Geschwindigkeitsverteilung urn die Kesseloffnung herum auch injedem Augenblick als stationar angesehen werden, so ist der Endzustand im Kesseldoch nicht jener der stationaren Stromung, da der einstromenden Energie keinentsprechender EnergieabfluB gegenubersteht.Literatur.A. BETZ: EinfluB der Elastizitat der Gase auf die Wirkung von Schaufelgittern.Ing.-Arch.
XVI (1948), S.249-254.2 J. ACKERET: Zur Theorie der Raketen.Relv. physica Acta, Vol. XIX (1946).S.103-112.3 J. ACKERET und N. ROTT: Uber die Str6mung von Gasen durch ungestaffelteSchaufelgitter. Schweiz. Bauztg. LXVII (1949), S. 40--41 und 58-61.4 K. R. SCHEUTER: Theoretische Betrachtungen uber Gasturbine und Strahlanttieb fiir Flugzeuge. "Flugwehr und Technik", VIII, Zurich (1945), S.I-6.• K. R. SCHEUTER: Theoretische Betrachtungen uber einige Strahltriebwerke."Flugwehr und Technik", XI u.
XII, Zurich (1946), S.I-12.6 W. TRAUPEL:Kompressible Str6mung durch Turbinen. Schweizer Archiv,XVI, 5, 6 (1950), S. 129-138, 176-186.1VI. Allgemeine Gleichungen und spezielle,exakte Losungen fur stationare reibungslose Stromung.1. Grundgleichungeu der raumlichen Stromung.Die Stromung solI in diesem und in den folgenden Teilen VII, VIII und IXals stationar angesehen werden. Sie sei frei von innerer Reibung und von Warmeleitung, auch von jeder anderen Einwirkung durch Krafte oder durch Energiezufuhr werde abgesehen.Kontinuitatsbedingung Gl.
(IV, 8), Bewegungsgleichung (IV, 13) und Energiegleichung (IV, 16) ergeben dann funf Gleichungenfur die drei Geschwindigkeitskomponenten u, v, w und zwei unabhangigethermische ZustandsgroBen von folgender Form:o«(}u)ox+o«(}v) +ilJQ~~i=o·oy8z(1)'u~+v~+wou +~~=o;oxoyoz(} oxu~+v~+w~+~~=O;oxoyOZ(} oyuOwax + vOwoy+ Waz + e 8z- =owlopU" + v" + w" =080808uXuyuZO.0;1l,((2)J(3)Nach der letzten Gleichung muB die Entropie langs eines Stromfadenskonstant sein, wenn die Differentialg1eichung uberhaupt gilt, d.
h. uberallauBer uber StoBe hinweg. Dieses Ergebnis ist schon von der stationaren Fadenstromung her bekannt.Unter den Voraussetzungen dieses Kapitels bewegt sich das Medium in denStromfaden wie in einem Kanal mit festen Wanden. Damit gelten liin(J8 derVI, 1. Grundgleichungen der raumlichen Str6mung.181Stromlinien aIle Gleichungen, welche bei der Fadenstromung unterentsprechendenV oraussetzungen gewonnen wurden.Es gilt der Energiesatz in der Form der Gl. (II, 7), oder fur id. Gase konst.sp. W. auch in der Form von Gl.
(II, 29) mit allen seinen Folgerungen. DieRuheenthalpie, die Maximalgeschwindigkeit usw. sind also langs der einzelnenStromfaden konstant. Daruber hinaus solI im folgenden noch vorausgesetztwerden, daB die Ruheenthalpie in den einzelnen Stromfaden die gleicl:e ist.Gl.
(II, 7) gelte mit ein und derselben Konstanten in der ganzen Stromung,diese sei isoenergetisch. Bei einer der haufigsten Annahmen, jener konstantenAnstromzustande, liegt die Erfullung dieser Voraussetzung auf der Hand.Entropieanderungen konnen nur in StoBen auftreten. Da sich diese schnellerals der Schall fortpflanzen, konnen sie nur in stationarer Uberschallstromungauftreten.
In Unterschallstromung laufen sie stromaufwarts, ergeben alsostets instationare Vorgange. Zwischen den StoBen herrscht daher Isentropielangs Stromlinien. Damit gilt zwischen den StoBen langs jeder Stromlinie dieBernoullische Gleichung, die fur id.
Gase konst. sp. W. durch Gl. (II, 52) gegeben ist. Wmax ist darin eine in der ganzen Stromung gleichbleibende Konstante,Po und eo hingegen sind die Werte von Ruhedruck und Ruhedichte auf der betreffenden Stromlinie nach dem letzten VerdichtungsstoB.Bei Unterschallstromung im ganzen Raum sei gleicher Ruhedruck in aIfenStromfaden vorausgesetzt_ Da auch gleiche Ruheenthalpie angenommen wurde,ist die reine Unterschallstromung also stets isentrop. Nach dem CroccoschenSatz Gl. (IV, 27) ist die Unterschallstromung daher stets wirbelfrei, wenn nichtgerade Wirbel- und Geschwindigkeitsvektor dieselbe Richtung haben.Der Energiesatz Gl. (3) sagt, daB die Entropie auf einer Stromlinie konstantist. Auf einer Stromlinie gilt demnach:= (~) = c2deoe s'oder in der Form von Gl.
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