K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 55
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(IV, 27):-os+TOVv ( fiX-OU)fJy = -TfiX =OVu ( fiX-OU)oyT08ay= -= -dsdlJlev(= T dlJldsdsT dlJleuds(= - T dlJl Y u).y e ~').eIn Klammern sind jeweils die rechten Gleichungsseiten bei Achsensymmetriebeigefugt. Beide Gleichungen ergeben dasselbe Resultat:OVox' -ouay =Tdse-dlJldse y dlJl)·(= T(25)Fiir ein id. Gas konst. sp. W. lautet der Groccosche Satz schlie.61ich bei ebenerStromung:8voxouoy---Pcp - c"dsdlJldsPo'PPo' cp - c" dlJl(26)und bei achsensymmetrischer Stromung:ovoxouoy----dsYPcp-c" dlJl = YPPo'dsp[ cp-c" dlJl'(27)mit Po' als Ruhedruck.Da der Ruhedruck in VerdichtungsstoBen springt, ist in solchen Fallen Po'stets der Ruhedruck Po nach dem letzten StoB auf derselben Stromlinie.In G1. (26) und (27) laBt sich p/Po' mittels der Bernoullischen Gleichung (II, 52)durch den Geschwindigkeitsbetrag ersetzen,:~ und Po' sind dagegen aufStromlinien konstant, also nur Funktion von 'P.Urn eine einzige Gleichung fur die Stromfunktion zu gewinnen, sind inGI.
(26) und (27) die Ableitungen:~ und :~ durch solche von 'P auszudrucken.Die Rechnung soIl fur den ebenen Fall kurz durchgefuhrt werden. Es ist mitGI. (22):lTf,e, e v.r",=-eo-,,lTfeor1l= eo -, u.eo186VI. Allgemeine Gleichungen u. L6sungen fur stationare reibungslose Str6mung.Hierin ist die Ruhedichte(20'nur Funktion von P und ~e~ nur Funktioneo'von W2/W~ax. Insbesondere gilt mit G1. (II, 48):d(+o'" )dWweil(20'-=M2 e--We;;=_~~e~c2 eo"als isentrope Ruhedichte definiert ist.
Man findet:~Pexx=_(1-~) ~oxc2~Pe xv=~P=-(1-~)~=( 1-~)c2eIxY-PVYe+ _~J}u+ ~e~coxeo'2(1_~)!U _c2 oxoyc2v2 deo'_.d'l' 'uv ~---.!Luv deo'.c 2 oxeo'd'l' '+uv ~_~e~uv deo'.c2 oyeo'd'l' 'ou _ ~_~oyc 2 oy+ ~e~ ueo'deo'.d'l'2Aus den ersten beiden Gleichungen kann ~, aus den letzten beidenoxGleichungen ;: eliminiert werden. Wird femer mit G1. (II, 41), die nicht nurfiir verlustlose Stromungen, sondem fUr aIle isoenergetischen Stromungen gilt,die Ableitung der Ruhedichte nach P durch die Ableitung von s' nach P ersetzt, so ergibt sich fiir die ebene Stromung:(1 - ::) P-12, J!,= -eo2x x -Po[1PxYV:2+(u -+ (1 - -~: ) PY Y=(28)1) _21[2J ~Po' ds'.cp - Cv d'l'Auf entsprechendem Weg erhiilt man bei Achsensymmetrie:(1 - ::) P= -x x -y2 ~eo2uc~ Pxy+ (1 - ~:) PJl, [1 + (u -1) M2JPoYY -eo' Po'cp-Cv~Pv=~-.(29)d'l'Auf der rechten Gleichungsseite von (28) und (29) lassen sich e~",Jo,und der Ausdruck in der eckigen Klammer auf den Geschwindigkeitsbetrag WzuriickfUhren, der Rest hangt nur mehr von P abo AuffilJlend ist die groBeAhnlichkeit der linken Gleichungsseite mit jener von G1.
(20). Wahrend es sichdort aber urn die Kontinuitatsbedingung handelt, welche das Geschwindigkeitspotential erfiillen muB, handelt es sich in G1. (28) und (29) urn den CroccoschenWirbelsatz und im Grenzfall:~=0 urn die Wirbelfreiheit. Die Ahnlichkeitbeider Gleichungen besteht auch nur, solange c und die Geschwindigkeitskomponenten u, v nicht durch die Ableitungen von (j) und P ausgedriickt werden.Dies ist bei der Stromfunktion recht kompliziert. Mit G1.
(23) ist bei ebenerStromung die Stromdichte durch Igrad PI gegeben. Schon bei isentroperStromung laBt sich die Geschwindigkeit und Dichte nicht analytisch (und auchnicht eindeutig) durch die Stromdichte ausdriicken. Bei anisentroper Stromungspielt auBerdem noch das von P abhangige (20' herein. Die letzte SchwierigkeitlaBt sich allerdings durch eine von L. CROCCO! eingefiihrte Stromfunktionumgehen.VI, 5.
Typenunterscheidung.187Anstatt der Stromfunktion 'P in Gl. (22) kann auch eine Stromfunktion 'P wiefolgt angesetzt werden:'PiJ) =f ('P). 'Px'wobei f jede beliebige Funktion der Stromdichte sein kann. Es gilt dann auch:dP = P x dx + P y dy = f dIP.Die neue Stromfunktion kann direkt in Gl.
(28) eingefiihrt werden und ergibt dannfUr ebene Stromung:(I -U2 )C2= _ f2 ~ 1, [ IeoPo-'P xx -U27v -- 'P xy+ (~- I) M2 _v2 ) + ( I - C2'P yy =~ M2 cp-fCvd~] eo' Po'dscp-Cvds'(30)dIPIwahlt f = - , und erreicht damit, daB u, v, c, eleo usw. nur mehr von deneoAbleitungen von 'P, nicht mehr aber von der GroBe selbst abhangt. Die CroccoscheStromfunktion springt aber an einem senkrechten StoB.CROCCOGl. (28), (29) und (30) sind au13erordentlich kompliziert und ki::innen dahernur fUr allgemeine Aussagen oder unter Vernachlassigungen benutzt werden.Vielfach ist es nutzlich, mit Storstromfunktionen zu arbeiten:e bene Stri::imung:'I/' = P - uoo (200 Y;'l/'x=-e v ;achsensymmetrische Stri::imung:y2'I/'=P-uooeooT; 'l/'x=-ye v ;(31)'l/'y=Y(2u-yeoo u oo·u oo (200 ist dabei als Stromdichte im Anstri::imgebiet anzusehen.
Es ist zubeachten, daB dann 'I/' = konst. nicht Stromlinie ist.5. Typenunterscheidung.Bei Stri::imungsgeschwindigkeiten, die klein gegen die Schallgeschwindigkeitsind, ist die Stri::imung unter den getroffenen Voraussetzungen sicher wirbelfreiund die gasd. Gl. fur das Potential Gl. (20) und fUr die Stromfunktion Gl. (28)reduziert sich bei ebener Stri::imung nach Streichung aller Glieder mit denKoeffizientenu:, v:ccundu ohne weiteres auf die Laplacesche Gleichung:c2V(32)Wirbelfreiheit und gasd.
Gl. (ll), in welcher nun die Summanden mit denKoeffizienten c2 die einzig ausschlaggebenden sind, ergeben fur die Geschwindigkeitskomponenten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen~+~=O·axoy,~-~=Ooyax.(33)Bei kleinen Mach-Zahlen ist die Anderung der Dichte praktisch bedeutungslos[nach Gl. (II, 56) ergibt sich bei einer Geschwindigkeit von 60 m/sec eine Dichte,welche nur 2% unter der Ruhedichte liegtJ. Das Medium muB sich also so bewegen, als ob es unzusammendruckbar ware.Bei einer Dberschallstri::imung jedoch, bei welcher lediglich v ~ c, hingegenstandig u > c ist, hat die zweite Ableitung von tP und P nach x in Gl.
(20)und (28) einen Koeffizienten, dessen Vorzeichen zu jenen der zweiten Ableitungennach y gerade entgegengesetzt ist. Die Gleichungen haben mit der Laplaceschen188 VI. Allgemeine Gleichungen u. Losungen fiir stationare reibungslose Stromung.Gl. (32) nichts mehr gemein, sie ahneln vielmehr der Wellengleichung (III, 52)und (III, 56).Beispielsweise sei angenommen, es handle sich urn kleine Starungen in einerParallelstramung u = u=, v = 0, c = c=. Unter Berucksichtigung nur vonGliedern der erst en Ordnung (Linearisierung) lautet die gasd.
Gl. (Il) dann:(1 -M"= ) ~ox+~oy =0,(34)oder nach Einfiihren eines Starpotentials Gl. (21):(35)In der ersten Gleichung ist der Klammerausdruck bei M= < 1, in der zweitenbei M= > 1 positiv. Die allgemeinste Lasung der Wellengleichung wurdebereits unter (III, 58) angegeben. Sie lautet:rp =F1 (x-VMb:, - 1 y)+ F2 (x + VMbc,-ly).(36)Es ist nun nicht erforderlich, daB man sich auf reelle Funktionen undArgumente beschrankt. Bei komplexen Lasungen linearer Gleichungen istbekanntlich der Real- und Imaginarteil fur sich eine Lasung.
So kann Gl. (36)durchaus noch als Lasung fur M= < 1 benutzt werden, wenn beim Herausschalen des Realteiles nur beachtet wird, daB Mb:, - 1 = i 1 - iii ~ imaginar ist.Fur F1(rJ) = u= A e- i 1} und F2 (''I)0 ist bei M= < 1:Vrpbei Mu= A=e- i (x-iVl-M oo v)= > 1 dagegencp=V= u= A e-VI-M~-i(x-VM2-1 v)u= A e00=Vv(cos x+ i sin x),Vu= A [cos (x M~ - 1 y) - i sin (x M~ - 1 y)Die Realteile ergeben also folgende Lasungen von Gl.
(35):=M=<I:-VI-M2 vrp = u= A e00cos x;-vM=>I:u== -Auu--1=-=M2= e-VI-M"VI -A e-VI-M'v SIn. x·00rp = u= A cos(x - VMb:, -1.1if.)11'(37)cos x.y);UU -1=-Asin(x-VMbc,-ly);(38)=~ = A"VM~-1sin (x-VM~-1 y) = -VMbc,-l (~-l).u=u=Bei kleinen Storungen in einer Parallelstramung ist ~ in erster Naherungdie Neigung der Stromlinie:u=Jv =v= - v [ 1 - U - u= + ( U - U= )2 + .... (39)Uu= + (u-u=)u=u=u=In unmittelbarer Umgebung von y = 0 hat die Stromlinie im wesentlichendie Form einer harmonischen Welle.
Wiihrend sich aber diese Form bei Dberschallstramung in der Richtung Y _ _ _ _I- - bis ins Unendliche unvertg {}= -xV:Mto- lVI, 5. Typenunterscheidung.189andert reproduziert, nimmt die Amplitude bei Unterschallstromung mit einere-Potenz in y-Richtung ab (Abb. 95).
Bei stationarer Stromung ist also dasVerhalten einer Unter- und tl"berschallstromung grundverschieden.In einer tl"berschallstromung vermogen nur auBerordentlich kraftige stoBartige Storungen stromaufwarts zu laufen. Schwache Storungen hingegen, wiesie durch schlanke Korper oder durchstetig gekrummte Berandungen her()vorgerufen werden, laufen relativ zum 1 ()ruhenden Medium mit Schallgeschwindigkeit, vermogen sich also uberhauptnur 10 einem bestimmten Winkelbereich stromabwarts geltend zumachen (Abb. 96). Es ergeben sichbei der stationaren tl"berschallstromung wie bei der instationaren Unterund tl"berschallstromung EinfluBgebiete (Abschnitt III, 25), woraussich die nahe Verwandtschaft derentsprechenden Differentialgleichungen physikalisch erklart. In einerstationaren tl"berschallstromung kon- Abb. 95.
Kurven konstanter Geschwindigkcit (Isotachen)nen sich stehende Schallwellen ausan einer welligen Wand (bel Linearisierung).bilden. Damit eine solche weder stromaufwarts lauft noch stromabwarts getragen wird, muB die Normalkomponenteder Geschwindigkeit auf die Schallwellenfront der ortlichen Schallgeschwindigkeit c gleich sein. Der Winkel ex, welchen die Wellenfront mit der Geschwindigkeitsrichtung einschlieBt, heiBt Machscher Winkel. Es ergibt sich fur ebene~, ~J!....-Abb.96.
KreisfOrmige Ausbreitllng einer kleinen Storungin einer Unterschall- lind eioer berschallpnrallelstriimung.Abb.97. Stehende Welle.oder achsensymmetrische Stromung die Abb. 97. ex steht offenbar zur MachschenZahl in folgender Beziehung:.c1smex =W=¥.(40)In jedem Punkt eines ebenen oder achsensymmetrischen stationaren tl"berschallfeldes gibt es zwei mogliche, zur Geschwindigkeitsrichtung {} symmetrischeLagen stehender Schallwellen mit den Neigungen:exund {} - ex.(41)Das Richtungsfeld dieser Wellenfronten liefert, wieder in voller Analogiezur instationaren Fadenstromung, ein aus zwei Scharen "Machscher Linien"20bestehendes Kurvennetz.
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