K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 58
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'Yirbclquellstriimung.gleichung zuruckgefuhrt. Abb. 106 zeigt eine Losung.---->-- Strom linien, _ _ lIachWahrend die Quellstromung an der Schallinie endigt undlinion , ----- challinie.auch beim Potentialwirbel M = 1 nirgends von einemeinzelnen Teilchen durchschritten wird, endigt die Stromung bei der Losungder Abb. 106 im Bereich der Uberschallgeschwindigkeit. Sie besitzt dart eine"Grenzlinie"4. Diese ist "Einhullende" der einen Schar Machscher Linien. BeideScharen Machscher Linien munden am Schallkreis wieder normal auf die Stromlinie.13 a198 VI. Allgemeine Gleichungen u. Lcsungen fUr stationare reibungslose Stri:imung.Eine andere von "\V.
TOLLMIEN 5 behandelte exakte ebene Losung ergibt sich,wenn logarithmische Spiral en (mit OJ als Polarwinkel)~=lnr+aOJals Kurven konstanter Normal- und Tangentialgeschwindigkeit WI und W zeingefiihrt werden. Die Orthogonaltrajektorien der Kurven ~ = konst. sind dannwieder logarithmische Spiralen:1In r - - OJ.1) =aIn den Gl. (57) und (58) tritt nur das Verh!iJtnis hl/h z auf, welches sich alskonstant erweist. Mit Gl.
(50) und (52) ist:~=h2V;,i + ~y2 = 1£'YJ x 2+'YJ y 2=-a'YJ y•Etwas komplizierter ist die Berechnung von (3;; undtg (3 =lY_ =;x~±~1-a tg w '(3=_a__ (~-17)1+ a2Mit Gl. (51) ist:(3~.+ arctg a.Damit erweisen sich die Ableitungen(3;;=1a+a2- ;(3'1 = -1a+a2als konstant. Folglich treten in Gl. (57) und (58) nur mehr WI und W 2 undderen Ableitungen nach ~ und 1) auf. Sollen WI und W 2 auf der einen Scharkonstant sein, so bleiben zwei gewohnliche Differentialgleichungen, deren LosungYj...---~Abb.
107. Tollmiensche piral trOmung. _ _ trom linlen, _ _ l(achllnlcn, _~ _ Scha lUnie.Abb. 108. TOllmien che pirul tromung mit Grcnzlinlc._ _ Strollliinicn. _ _ ])fachllnien ___ Schallinie.neue exakte Beispiele fur kompressible Stromungen darstellen. a ist dabei ein:\iaBstabsfaktor, der zweckmaBig gleich 1 gesetzt wird.
Abb. 107 zeigt eine Lasung,welche als Verallgemeinerung der Stramung im Potentialwirbel aufgefaBt werdenkann. Auffallend sind die geringen Unterschiede im Stromlinienabstand beischallnaher Stromung. Abb. 108 zeigt eine andere magliche Losung in der Umgebung del' Schallinie und der Grenzlinie. Hier ist das tangentiale Einmundeneiner Schar Machscher Linien besonders deutlich. Bei allen Beispielen sind beideStromungsrichtungen zulassig.11. Prandtl-Meyersche Eckenstromung.Wahrend "\Virbel und Quelle und auch die Wirbelquelle Losungen del' ebenellStromung darstellen, welche nur von der radialen Polarkoordinate abhangen,solI nun eine Losung gesucht werden, die nur Funktion des Polarenwinkels (3 ist.Sie entspricht damit genau derjenigen Losung instationarer eindimensionalerVI, 11.
Prandtl-Meyersche Eckenstr6mung.199Rohrstromung, welche lediglich vom Verhaltnis ~ abhangt (Abschnitt III, 15)und mit deren Hilfe der Ausgleich eines Drucksprunges im Rohr behandelt werdenkonnte.Mit!= 0folgt fUr ebene Stromung aus Gl. (62):W 1P = W 2 •(78)Aus Gl. (63) folgt mit Hilfe von Gl. (78):(W 2P+ WI) (c 2-W22) = O.Hier solI die spezielle Losung:c = W2(79)behandelt werden. Da W 2 die Normalkomponente der Geschwindigkeit auf dieRadien ist, besagt Gl. (79), daB die Radien MachscheLinien darstellen.
Die Losung kann also nur bei Uberschallstromung auftreten. Das Analogon der instationaren Stromung (Abb. 36) zeigt auch Strahlen durchden Ursprung als Machsche Linien, gilt aber bei Unterund Uberschallstromung ent sprechend der Tatsache,daB die eindimensionale instationare Stromung stetsein "hyperbolisches Problem" darstellt.Aus Energiesatz und Gl. (79) folgt, wenn die Stromung in Uhrzeigerrichtung verlauft:.-\ Ill, 109. J>randtl-:llcyerscheW 2 --V+It%-- 11VW2max- WE ckcn tr6mu ng in Vacuum._ _ tromlinicn , _ _ :\Iach lillieu.2l'Damit laBt sich Gl. (78) leicht int egrieren und liefert mit der AnfangsbedingungWI= 0 fur {3 = ; :_ _ _WI=Wmax sinW2=C =V:+ ~ (; -(3 ) ;+ 1 W max cos V~(n)+ 1 "2 - {3 .V~Schallgeschwindigkeit (W2 = W + W--It%Auf f3 = n/2 herrschtDie22 = c2 ).12Machsche Linie steht senkrecht auf der Stromungsrichtung. Mit abnehmendemWinkel f3 wachst WI und damit die Machsche Zahl:M2 = W 2 =c2W 12c2+1,die Stromungsrichtung dreht sich in zunehmendem MaB in die Radialrichtungund verlauft schlieBlich bei:f3= -;(V : + ~ -1) =B,W2 =C=0, WI = Wmax(80)vollig radial (Abb .
109). Die St romlinie macht im Zentrum einen Knick.Fur Stromungswinkel {} und Mach-Zahl findet man folgenden Zusammenhang:Aus dem Stromungsbild ergibt sich-{} =ex-{3=;-f3-(; -ex).Aus den eben abgeleiteten Gleichungen und aus der Definition des MachWinkels folgt damit:-{}=V:+~ arctg(V:+~ VM2 -1 )-arctgV M 2-1.(81)13 a*200 VI. Allgemeine Gleichungen u. Losungen fur stationare reibungslose Stromung.Mit Tab. II, 5 ergibt sich daraus leicht die Beziehung von {} und M*, ~ usw.PoFur eine Expansion gegen den Uhrzeigersinn hat{} das entgegengesetzte Vorzeichen.Weil die Stromungszustande auf Strahlen konstant sind, laBt sich die PrandtlMeyer-Stromung G1. (SI) mit Uberschallparallelstromungen zu Stromungen umEcken oder in gekrummten Kanalenbestimmter Begrenzung (Abb.
110)stuckeln. Die Zustande konnen dabeiauch im Sinne einer Kompressiondurchlaufen werden, wenngleich diepraktisch groBere Bedeutung dieserLosung in der Wiedergabe der ExAbb. 110. Stock lung einer Prandtl -lI'Ieycr· Iromungpansion um eine Ecke liegt. 1m Extremmit Paralle!stromungcn _trollliinien, _l\[achfalleeiner Expansion von kritischerLinien.Stromung (.111 = 1) auf den Druck 0(W = W max , M = 00) durchlauft die Stromung sogar einen Winkel von uber 90 °.Da eine Stromung im allgemeinen in einem genligend kleinen Bereich alsebene Parallelstromung angesehen werden kann, hat Losung (SI) auch fur dieunmittelbare Umgebung quer zur Stromungsrichtung verlaufender konvexerWandknicke in raumlicher Uberschallstromung Bedeutung.12. Achsensymmetrisch-kegelige Stromung.Als kegelig im allgemeinsten Sinne wird eine Stromung bezeichnet, bei welcherdie Zustande auf raumlich von einem Zentrum ausgehenden Strahlen konstantsind.
Ein spezieller Fall hiervon ergibt sich, wenn auBerdem Achsensymmetriegefordert wird, wenn also die Flachen konstanten Zustandes Kreiskegelflachensind. Diese Stromung wird durch G1. (62) und (63) mit a/or = 0 einschlieBlichder beiden Glieder in der geschwungenen Klammer beschrieben. Das analogeinstationare Problem stellt die Ausbreitung von Zylinderwellen dar, deren Zustand nur von x/t abhangt.Mit GJ. (62) gilt also wieder G1.
(7S). Aus G1. (63) folgt mit GI. (7S) nun aberdie kompliziertere GleichungW2(3= -W-IWI+W 2 cot{3 = W 21 _ _2_W I -F((3) ,(S2)c2wobeiF((3) eine lediglich fur die folgende Ableitung eingefuhrte Abkurzung darstellt.G1. (78) und (82) stellen ein System gewohnlicher Differentialgleichungen dar,welches zuerst von TAYLOR und MACCOLL 6 rechnerisch behandelt wurde. Hier sei dasSystem auf eine vonA.
BUSEMANN 7 aufgestellte Gleichung fur den KrummungsradiusR der lntegralkurvein der Geschwindigkeitsebene (Hodograph) zuruckgefuhrt.1st eine Kurve durch die Parameterdarstellung u ((3), v ((3) gegeben, so giltbekanntlich fur den KrummungsradiusR=[(~)2+ (~~rrdu d 2vd{3 d{32dv d 2ud{3 d{32Mit den G1. (53) ist u und v mittels WI und W 2 indirekt als Funktion von (3gegeben. Es ist mit Rucksicht auf die G1. (7S) und (82), mit deren Hilfe die AbdWdW 2 e j.Imlmer.
. t.Imtungend(J I un d ~wer d en k··onnen:dudj3.= F sm(3;dvd(J = -F cos (3.VI, 13. Die Differentialgleichungen in der Geschwindigkeitsebene.201Die zweiten Ableitungen ergeben sich zu:d 2ud{J2dF.= dff sm p + Fd 2vcos p; d{J2 =dF.-dff cos P + F sm p.Bei der Bildung des Nenners von R falIt die Ableitung~; fort, braueht alsogar nieht erst gebildet zu werden, und es bleibt:R=F=WI+W1_2 cotW 2_2__fJ(83)c2wobei c die durch den Energiesatz G1. (II, 29) gegebene Funktion des Geschwindigkeitsbetrages Wist.Mit G1. (83) kann bei gegebenen Anfangswerten der Gesehwindigkeitsverlaufabhangig von p leieht im Hodographen (Gesehwindigkeitsebene) konstruiertwerden (Abb. lII). Es sei fureine bestimmte Anfangsrichtungp = Betrag W und Riehtung {j .des Geschwindigkeitsvektors gegeben. Dann la13t sieh W z undWI + W z cot p unmittelbar ausdem Hodographen ablesen, alsoR leicht mit G1.
(83) angeben(c wird am best en einer Tabelleentnommen).Mit Hilfe desKrummungsradiuskann einKurvenstuck - genahert durehseinen Krummungskreis - geUzeiehnet werden. Damit ist derGeschwindigkeitsvektor in einerneuen Riehtung ermittelt und derKonstruktionsvorgang wiederholtAb\). 111.
E rmittlnng des Ocschwi ndigkeits verlaufes einersich nun fur den in der neuenRiehtung mit G1. (83) zu bekrei 'kegeli n t rolllun g mittels 0 1. ( 3).stimmenden Krummungsradius.Es zeigt sieh, da13 Uberschallstramungen an Kreiskegeln, wie sie naherungsweise an Gescho13spitzen beobachtet werden, stets in Verbindung mit Verdichtungssta13en auftreten, weshalb die Auswertung des hier gewonnenen Ergebnisseserst im Anschlu13 an die Behandlung schiefer Sta13e erfolgen kann.p,13.
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