K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 61
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(lO6) dieAbleitung~~ mit der Kontinuitatsbedingung (16) eliminiert werden soIl, da nunneben einem Summanden mit der Ableitung ~u auch ein Summand ..!:'.. aufyvXtritt. Im letzteren verschwindet mit Annaherung an die x-Achse nicht nur derNenner, sondern auch der Zahler wachst uber aIle Grenzen. Dieses wird sich imfolgenden bestatigen, ist aber auch direkt einzusehen. Denn auf der Achse mitihrer verschwindenden Oberflache muB es unendliche Austrittsgeschwindigkeitengeben, wenn endliche Mengen austreten sollen.
Daraus folgt, daB vom Produkt v y sehr wohl eine geringe Veranderlichkeit erwartet werden kann. Analogzu Gl. (106) ergibt sich fur dieses:(vy)y(vY)y=o+=o(V Y »)( -~-vyY= 0y+ ..••(108)Nach Streich en derselben Glieder in der Kontinuitatsbedingung (16) wie beider Abschatzung fur ebene Stromung ergibt sich nun:2o(v y)(U----ay"""C2 -1)OU y,...., (UaxC2 2)1um-uooly,d. h. das Produkt v y kann in Achsennahe als konstant angesehen werden, wobeifur die Abhangigkeit von der Mach-Zahl ganz Entsprechendes gilt wie bei ebenerStromung (die hochste Genauigkeit in Schallnahe, dann abnehmende Genauigkeit mit wachsender l)berschallgeschwindigkeit).
Mit welcher Genauigkeit dieNaherung:y=0: _v_ yUoo=h' h+ ....= - 12 F':n(x)+ ....(109)- mit F (x) als Korperquerschnitt - gilt, kann erst gesagt werden, wenn dieGroBenordnung der u-Schwankung bekannt ist. Aus Wirbelfreiheit und Gl. (109)folgt:_0oy(~)=~(~_)Uox Uoooo=.!._1 F"(x) + '"y 2nund nach Integration:~(~)= ~-1(~1) h = _1F"(x) In (lL)UUhUU2nhoooooooo+ ....(110)Schon hieraus ergibt sich eine Abschatzung fur die GroBe der u-Storung amKorper. Da sie im Abstand einer Korperlange l etwa verschwunden sein muB,folgt aus Gl. (110):_(~U oo1) ,...., h_1_ F"2nIn.!:...,....., (_~)2ln!!..hll'was sich an den genaueren Rechnungen nur bestatigen wird. [Siehe etwaGl.
(VIII, 23). Die Abhangigkeit von der Mach-Zahl tritt dabei dann auch nochunter dem Logarithmus auf, was sich daraus erklart, daB das Abklingen iny.Richtung von der Mach-Zahl abhangt.] Da der Logarithmus kleiner Betragefolgende Eigenschaften besitzt:x ->- 0: In x ->- - 00, x In x ->- 0,Oswatltsch, Gasdynamik.210VI. Allgemeine Gleichungen u. Losungen fiir stationare reibungslose Stromung.liegt die u-Schwankung zwischen de, ersten und zweiten Ordnung des Dickenverh1iJtnisses.
Sehr zum Unterschied von de, ebenen Stromung ist also dieGroBenordnung de, u-Schwankung in Korpernahe bei Achsensymmetrie kleinerals jene der v-Schwankung.Aus G1. (108) und de, darauf foIgenden Gleichung ergibt sich ferner:ht-Y)O- h'h ~(U2_1)(~)21(~)c2nh' h11 .Abgesehen vom Mach-Zahleffekt, ergibt sich also die Randbedingung G1. (109)mit de, Genauigkeit de, GroBenordnung de, u-Schwankung am Korper.
Vonderselben Genauigkeit ergibt sich spater auch der v-Wert selbst, womit sich dieRandbedingung GJ. (109) fur a chsensymmetrische Korper als genauer erweist,als das Projizieren der Randwerte auf die x-Achse bei ebener Stromung. Allerdings lassen sich die Geschwindigkeiten selbst nicht mehr wie bei ebener Stromungan de, Achse rechnen, wo sie nach G1. (110) logarithmisch uber aIle Grenzenwachsen. Sie mussen bei Achsensymmetrie auf y = h berechnet werden.Wiihrend die Stromungsrichtung an de, Oberfliiche eines Korpers bei ebenerund achsensymmetrischer Stromung vollig festliegt , ist das bei aIIgemein rdumlicher Stromung einschlieBlich de, schiefen Anblasung eines achsensymmetrischenKorpers nicht mehr de, Fall. Die Randbedingung, die Aussage, daB die NormaIkomponente de, Geschwindigkeit auf die Korperoberfliiche verschwindet, gibtim allgemeinen eine Beziehung zwischen allen drei Geschwindigkeitskomponenten.
1st die Korperoberfliiche durch eine Beziehungy=h (x, z)gegeben, so ist die Richtung de, Fliichennormalen durch den Gradienten de,Funktion h (x, z) - y festgelegt. Die Randbedingung am Korper kommt aufdas Verschwinden des inneren Produktes von Flachennormalenvektor undGeschwindigkeitsvektor heraus:auf y=h(x,z): uhx-v + whz = O.(111)In diese, Randbedingung sind naturlich aIle besprochenen SpeziaIfiille ent halten. Bei kleinen Storungen einer Parallelstromung kann wieder u durch U ooersetzt werden, es bleibt eine Beziehung zwischen vund w. Von besonderem Interesse sind Korper,welche nur wenig von einer Ebene (im folgendenstets die Ebene y = 0) abweichen.
Sie erfahren eineausgedehnte Behandlung in den Tragflugeltheorien.Abb.1l7. Wenig a ngestellter steilBei dies en ,,/lachen Korpern" ist hx und h z im allabfallender Rand.gemeinen von gleicher GroBenordnung. Da abe, auchdie Storgeschwindigkeitskomponente w hochstens dieGroBenordnung von v und u - U oo erreichen wi,d, ist de, letzte Summand inG1. (HI) ein Glied hoherer Ordnung und kann folgIich bei Linearisierung gestrichen werden.Die Entwicklungen (106) konnen auch hier verwendet werden, wenn nurbeachtet wi,d, daB nun aIle GroBen von x und z abhiingen. Eine Abschiitzungvon~ und au zeigt auch hier, daB die Geschwindigkeitskomponenten am Korperoyoybei Linearisierung durch jene in de, Ebene y = 0 ersetzt werden konnen.
Damitgilt beim flachen Korper wie bei ebener Stromung als Randbedingung bei Linearisierung:(112)VI, 18. Abhangigkeit des Stromungszustandes vom Anstellwinkel.211Es ist eine Vorschrift fur die Normalkomponente der Geschwindigkeit aufy = O. Bei Schraganblasung oder bei Korpern, welche in y asymmetrisch sind,ist in Gl. (112) zwischen der Ober- und Unterseite der Ebene y = 0 zu unterscheiden. Wie in Gl. (102), gibt es dann ein ho (x, z) und ein hu (x, z) und dementsprechend an Stelle von Gl. (112) je eine Bedingung fur die beiden Seiten derEbene y = O.An steil abfallenden Korperrandern, die aber nur wenig gegen die Anstromungangestellt sind und somit den Voraussetzungen der Linearisierung genugen(Abb.
117), ist eine Reduktion der Randbedingung (Ill) auf eine Vorschrift fur vnach Gl. (Il2) nicht mehr moglich, weil h z groB gegen hex wird und der letzteSummand in Gl. (lll) nicht mehr gestrichen werden kann. Dieser Umstandverursacht aucn die Schwierigkeiten bei achsensymmetrischer Stromung.18. Abhangigkeit des Stromungszustandes vom Anstellwinkel.Den praktischen Erfordernissen entsprechend, werden die Luftkrafte faststets nur unter der Annahme kleiner Anstellwinkel e des Korpers gegen die Anstromrichtung berechnet, was gleichzeitig eine Linearisierung der GJeichungengestattet. Der Auftrieb ergibt sich dann als eine dem Anstellwinkel e proportionale GroBe.
Der Koeffizient gibt dabei h'die Anderung des Auftriebes mit dem Anstellwinkel. Vielfachinteressiert der Differentialquotient, welcher die Anderungmit dem Anstellwinkel ausdruckt, mehr als die GroBe selbst.Deshalb soIl hier von vornherein eine von dem bisher Dblichenabweichende, mathematisch saubere Darstellungsweise ge(Jwahlt werden. Bei den Dberlegungen wird dabei stets von derAbb.11 . AbhiingigkeitAnnahme einer Anstellung der Anstromung ausgegangenortUchen Geschwin·(Abb.
116), womit der Vorteil verbunden ist, daB die Rand- desdigkeit 'betrages W vombedingungen am Korper unverandert bleiben. AlJerdingsADstellwlnkel 8.andern sich die Randbedingungen der Anstromung Gl. (101).Abhangig yom Anstellwinkel e mussen sich also in jedem Punkte der Stromung verschiedene Stromungszustande ergeben. 1m besonderen ergeben sicham Korper bei gleichbleibendem Stromungswinkel f} in jedem Punkte Druck pund Geschwindigkeitsbetrag W als Funktion von e (Abb.118). Dabei wirdbesonders die Anderung der GroBen bei verschwindendem Anstellwinkele = 0 interessieren.
Die Ableitungen nach e seien wieder durch Indizes gekennzeichnet:oW0602WWE; ~=WEE;op02p7iS = PE ; 06 2 = P.. ; usw.(Il3)Die Ableitungen nach e bei e = 0 sind wie der Geschwindigkeitsbetrag und derDruck bei verschwindendem Anstellwinkel nur Funktionen des Ortes. Durchdiese Ableitungen sind Neigung und Krummung der Funktion W(c:) der Abb. 118im Punkte c: = 0 festgelegt . Die Ableitungen fur c: = 0 sind im foJgenden vonInteresse, und fur sie sollen die Differentialgleichungen und Randbedingungenaufgestellt werden. Die ersten Ableitungen nach c: im Zustand c: = 0 sind jeneGroBen, welche Ietzten Endes bei den bisherigen Methoden unter der Voraussetzung kleiner Anstellwinkel berechnet wurden.Die Anstellung solI in y-Richtung (Abb.
116) bei gleichbleibendem Betrag derGeschwindigkeit und bei gleichbleibender Mach-Zahl der Anstromung erfolgen.c: sei positiv bei positivem Auftrieb. Dann ist~'I1=Moo;W=W oo ; u oo ==WooC03e ; voo=Wcx:>sinc:; Woo =0.(114)14'212VI. Allgemeine Gleichungen u. Losungen fUr stationiire rei bungs lose Stromung.Daraus folgt fur die Ableitungen nach dem Anstellwinkel im AnstromgebietfUr s = 0 als Randbedingung:U eoo=0, veoo =uoo , w. oo =0und fur die zweiten Ableitungen nach s bei s=(115)0:(116)Die Bedingung (116) ist der Bedingung (114) bei 8 = 0 analog.
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