K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 59
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Die Differentialgleichungen in der Geschwindigkeitsebene.Die Differentialgleichungen (9) und (lI) der ebenen stationaren Stramung7.eichnen sich dadurch aus, da13 die kartesischen Koordinaten x und y lediglichin den Ableitungen auftreten, und da13 diese in jedem Summanden in der erst enOrdnung und im erst en Grade vorkommen. Diese Eigenschaft besitzen auehdie entsprechenden Differentialgleichungen der instationaren Wellenausbreitungim Rohr, weshalb dort ganz entsprechende Transformationen vorgenommenwerden kannen, wobei an Stelle der u, v-Ebene bei stationarer ebener Stramungdie W, c-Ebene bei instationarer Rohrstromung zu treten hat.Werden in den Transformationsformeln (43) und (44) als neue Koordinateneinfach u = ; und v = 'YJ gewahlt, so konnen die kartesisehen Koordinaten xund y als abhangige Veranderliche der nun Unabhangigen u, v dargestellt werden.Ausnahmen ergeben sieh nur dort, wo die Abbildung nicht mehr eindeutig ist.202 VI.
Allgemeine Oleichungen u. Li:isungen fUr stationare reibungslose Stri:imung.Die Jacobischen Determinanten in den Gl. (44) lassen sich in den Gleichungenkiirzen, und die Gl. (9) der Drehungsfreiheit lautet nun:(84)Die gasd. Gl. lautet:(c 2 -u 2 )!JLav+1t V(~av+ ~1L)+ (cau2-v2)~= O.au(85)Es handelt ::;ich also beim Gleichungs::;ystem (84), (8i5) urn ein Paar lincarcrDifferentialgleichungen, deren Koeffizienten allerdings noch von den Unabhangigen u, v abhangen.Eine entsprechende Transformation bei achsensymmetrischen Problemenhatte keinen Erfolg, weil sich die Jacobische Determinante nicht wegkiirzenlaBt, weshalb die Linearitat verlorenginge.
Bei raumlicher Stromung wiirdendie Transformationsgleichungen (44) im Zahler nicht line are Verbindungen derAbleitungen aufweisen, die Nennerdeterminante allerdings lieBe sieh wegkiirzen.Die folgenden AusfUhrungen miissenauf die ebcne, stationare Stromung besehrankt bleiben.Die Linearitat des Gleiehung'lsystems ermoglieht das Superponierenvon Losungen, in welehen sieh der OrtAblJ.
112. Konstruktiotl der WirlJclq uelle nus Q.uellex, Y als }1'unktion de" Strolllungszuutld Wirbel nuell AUER.standes 1l, v oder TV, B darstellt. Sindal"o Xl (u, v), YI (u, v) und x 2 (u, v),Y2 (u, v) zwei Losungen des Gleichungssystems (84), (85), so konnen mit zwelbeliebigen konstanten Koeffizienten }'l und A2 neue Losungen:+ }'2+YI)'2 Y2'(86)aufgebaut werden.
Naeh R. SAUERs gewinnt man diese dureh eine einfaehegeometrisehe Konstruktion, die in Abb. 112 fUr die Superposition einer QueUeund eines Wirbels zu einer "Wirbelquelle" wiedergegeben ist. Zunaehst miissenbei den beiden bekannten AusgangslOsungen Xv YI und x 2' Y2 die Orte gleiehenStromungszustandes (gleiehen Gesehwindigkeitsvektors) aufgesueht werden. Dannergibt sieh der Ort eines bestimmten Zustandes cler neuen Losung am; demdurch Gl. (86) gegebenen Teilungsverhaltnis auf der Ver bindungsgeraden derOrte desselben Zustandes der AusgangslOsungen.So lassen sieh mit Hilfe aller hier angefUhrten exakten Losungen neue Losungenaufbauen.X =}'l XlX 2,Y=}'l14. Legendre-Potential und -Stromfunktion.Gl.
(84) hat dieselbe Form wie Gl. (9), was das EinfUhren einer Potentialfunktion W nahelegt. Es sei:X =Wu, Y=Wv ,(87)womit die Forderung der Drehungsfreiheit erfUllt ist. Man kann sicht leichtdureh Differentiation davon iiberzeugen, daB das Potential if> folgendem Zusammenhang geniigt:W = u X V Y - W,(88)+eine Beziehung, die wegen ihrer geometrischen Bedeutung als LegcndrcscheBeruhrungstransformation bezeichnet wird. Beispielsweise findet man:-Wu=axX+u auayaxay+ v au -Wxau-WyTu =x.VI, 15. Molenbroek-Transformation.203Fur das Legendre-Potential ;p erhalt man nun die lineare Differentialgleichungzweiter Ordnung:(c 2 - u 2) (jJvv + 2 u v (jjuv + (c 2 - v 2) iiuu = 0,(89)oder abhangig von W und {}, den Polarkoordinaten des Hodographen:c2 W2 iiiwwW (c 2 - W2) iiiw(c 2 - W2) iiii}i} = O.++(90)Ganz analog kann auch eine Stromfunktion eingefuhrt werden, welcheGl.
(85) identisch befriedigt. Zu diesem Zweck wird besser von der Kontinuitatsbedingung (10) ausgegangen. x und Y mussen nun abhangig von e u und e vals neue Koordinaten dargestellt werden*. Dabei ergeben sich aIle Nachteilewie bei Gl. (28) und (29) daraus, daB sich die Geschwindigkeit nicht explizitals Funktion der Stromfunktion darstellen laBt. Wahrend aber die Gl. (28) und(29) insofern gegenuber den Potentialfunktionsgleichungen (20) einen Fortschrittbedeuten, als auch Wirbel zugelassen sind, fant dieser Vorteil mit der Voraussetzung der Drehungsfreiheit hier weg. Deshalb durfte Gl.
(89) und (90) in jedemFane einer entsprechenden Stromfunktionsgleichung vorzuziehen sein.15. Molenbroek-Transformation.Es ist auch maglich, bei Beibehalten des gewahnlichen Potentials Gl. (17)und der gewohnlichen Stromfunktionen Gl. (22) line are Gleichungen mit Geschwindigkeitsrichtung und Betrag als unabhangigen Veranderlichen zu erhalten. Diese Transformation wurde zuerst von MOLENBRoEK9 durchgefUhrt.Wird in den Gl. (74), (75) mit Hilfe der Beziehungen Gl. (43) mit x = (jJ undy = lJI zu neuen Unabhangigen ~ _ W und 'YJ ={} ubergegangen, so talIt wiederdie Jacobische Determinante fort und es bleibt die lineare Beziehung:(I -M2)e 1wlJIi}+ (jJw =0;we (jJi} -lJIw= O.(91)M und e sind hierin Funktion von W, was bei der folgenden Ableitung zu beachten ist.Nach A.
BUSEMANNlO laBt sich das Gleichungssystem (91) auch auf einesymmetrische Form bringen. Wird in beiden Gl. (91) lJI isoliert auf eine Seitegebracht, die gemischte Ableitung PWi} gebildet und aus beiden Gleichungeneliminiert, so folgt schlieBlich die lineare Gleichung fUr das Potential (jJ:W2 (I -M2) (jJww+ W (jJw (I + uM4) + (I -M2)2 (jJi}i}=o.(92)Auf demselben Weg erhalt man fur die Stromfunktion die erstmals vonTSCHAPLIGIN l l abgeleitete Gleichung:W2 P ww+ (I + M2)W Pw+ (I -.J{2) Pf}f}=O.(93)Aus Gl.
(93) gewann RINGLEB 12 durch Separationsansatz die Lasung:P=~sin{},von deren Richtigkeit man sich durch Einsetzen leicht uberzeugt. Die Berechnung von x und y macht allerdings einige Muhe.Mit Gl. (91) ist:Pw(jJw-----==-* Siehe etwa+ lJfy Ywe v Xw + e u yw;(I -11(2) (lTV Pf) = (jJx Xw + (jJy Yw =lJIx xw=-1SAUER: Gasdynamik, S. 96 (1943).u Xw+ v yw·204 VI. Allgemeine G1eichungen u. Losungen flir stationare reibungs10se Stromung.Entsprechende Formeln findet man fiir Xo und Yo. Damit lassen sich die Ableitungen von x und y nach W und fJ bestimmen. Beispielsweise ergibt sich:xw = -e~[PwsinfJ+ (1-M2) ~p&cosfJ}Hierin sind die Abbildungen der Lasung von G1.
(93) einzusetzen und x durchIntegration zu ermitteln.RINGLEBS Lasung stellt eine Verallgemeinerung der dichtebestandigen 8tramung um eine Kante dar und ist in Abb. 113 wiedergegeben. Die Kurven konstanten Zustandes sind Kreise. Innerhalb eines weiB gelassenen Gebietesgibt es keine Lasung. AuBerhalb dererst en durchgehenden Stromlinie gibtAbb. 113 die Umstramung einer abgestumpften Kante.
Ein Fortschrittgegenuber den bisher gezeigten Lasungen besteht darin, daB die Teilchen ein lokales Uberschallgebietdurchschreiten und bei stetiger Verdichtung wieder Unterschallgeschwindigkeit annehmen.Abb . 113.. Um IrBmll ng elner ~bgestllmpftcn Kantc nnehRINGLEB hat in der genanntenRINer.En. _ _ tromlinicn, _ _ I otn chen; • PunkteArbeitauch ein allgemeines Integramit M = 1.tionsverfahren fur die Geschwindigkeitsebene angegeben*.
Fur ein solches ist M mit Hilfe des Energiesatzes durchW zu ersetzen, woraus folgende Gleichung zu gewinnen ist:(C 02-x21W2)W2Pww+(Co2+ 3 2+ (C02 _%~1W2)p& {) =X_W2 )W1PW+(94)o.Hierin wird die Geschwindigkeit W zweckmal3ig durch die Ruheschallgeschwindigkeit Co dimensionslos gemacht, was darauf hinauslauft, daB in G1. (94) Co = 1zu setzen ist.16. Tschapligin.Transformation.Die Gleichungen des vorigen Abschnittes legen die Frage nahe, ob es maglichist, durch EinfUhren einer neuen Veranderlichen g (W) etwa GJ.
(94) auf jeneForm zu bringen, welche sie bei dichtebestandiger Stramung (M = 0) annehmenwurde. Nach G1. (93) muBte die Gleichung mit g wie folgt lauten:(95)Zur Bestimmung der Funktion IJ (W) muG diese in G1. (94) eingefUhrt werden.Bei der Bildung der Ableitungen von P tritt die erste und zweite Ableitungvon g nach dem Argument W auf. Da die Koeffizienten in G1. (94) und (95)bis auf eine beliebige multiplikative Funktion festgelegt sind, ergeben sich durchKoeffizientenvergleich zwei gewahnliche Differentialgleichungen fiir g (W), dieim al1gemeinen nicht gleichzeitig erfiillt werden kannen. Es zeigt sich aber, daBes eine Lasung fur den Wert" = - 1 gibt.
G1. (94) nimmt dann folgende Form an :(1 + ::) W2 P w* Siehe auchW+ (1 +2:22) W P w +SAUER: Gasdynamik, S. 105f. (1943).p&&=0(96)VI, 16. Tschapligin.Transformation.205und wird mit der naeh TSCHAPLIGINl l benannten Transformation:(J=1-V-W021 +C 21dg1dW = -W V " =l"-+--'=;W;;c;zc;-zgW(97)Comit der Umkehrung:in G1. (95) iibergefiihrt. Diese Gleiehung zeigt im iibrigen, daB diesel be Aufgabevon einer mit einer beliebigen Konstanten multiplizierten Funktion (J geleistetwird.Naeh Einfiihren entspreehender rechtwinkeliger kartesischer Koordinatennimmt G1.
(95) die Form der Laplace.Gleichung (32) an. Wegen des grundsatzlieh versehiedenen Charakters von Unter- undtJbersehallstromung kann dies nur die Bedeutunghaben, daB G1. (96) bereits von rein elliptisehemTypus ist. Dies erkennt man am Energiesatz, derfur ?{ = - 1 folgende Form annimmt:c2 - W2 = C02 = Cl 2 - W 12,(98) ,nach der bei reellem Co stets c > W sein muB.Ein Gas mit negativem Verhaltnis der spezi1()fisehen Warmen ?{ ist allerdings kaum vorstellbar.Es besaBe beispielsweise bei reellem Druck und Abb. lB.
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