K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 56
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Diese muss en bei gemischter Unter-tl"berschallstromungstets an der Schallisotache oder "Schallinie" enden, wo sie unter einer Neigungvon 90 ° zur Stromungsrichtung [siehe Gl. (40)] einmunden. Dort fallen alsobeide Scharen Machscher Linien zusammen. Auch bei M = 00 gibt es nurmehr eine Schar Machscher Linien mit dem gemeinsa.men Winkel ex = 0 °.{} +190VI. Allgemeine Gleichungen u. L6sungen fUr stationare reibungslose Str6mung.Bei der unter Annahme kleiner Storungen gewonnenen linearisierten Gl. (35)ergeben sich die Machschen Linien als zwei Scharen paralleler Geraden. Inder Richtung der einen reproduziert sich in Abb.
95 die Wellenform ungedampft.Bei stationarer UnterschaUstromung gibt es keine zu den Machschen Linienanalogen Kurven. Der Machsche Winkel in Gl. (40) erweist sich als imaginar.Eine Storung macht sich, wenn auch in groBerer Entfernung nur in sehr gering emMaBe, nach allen Richtungen geltend. Es gibt keine EinfluBgebiete. EineUnterschallstromung hat also in dieser Hinsicht aIle von der dichtebestandigenStromung her bekannten Eigenschaften, wenngleich sich die Losung der siebetreffenden Aufgaben im allgemeinen als bedeutend schwieriger erweisen wird.Der an den linearisierten Gl. (35) besprochene Typenunterschied bestehtebenso in den kompletten Gl.
(20), (28) und (29) oder in den Gleichungssystemen (11), (26) und (16), (27). Er erklart sich ja vollig aus dem unterschiedlichen Verhalten einer Stromung bei M < 1 und M> 1. In Analogiezu den entsprechenden Kegelschnittsgleichungen wird der eine stationare ebeneAbb. 98. WeUenlront iro Rnume.Abb. 09.
Machscher Kegel.oder achsensymmetrische Unterschallstromung beschreibende Gleichungstypus(im einfachsten FaIle die Laplacesche Gleichung) als "elliptisch", der einestationare ebene oder achsensymmetrische Dberschallstromung oder eine beliebigeinstationare Fadenstromung beschreibende Gleichungstypus (im einfachstenFalle die Wellengleichung) als "hyperbolisch" bezeichnet. Die Verschiedenheitder Typen erklart ihre getrennte Behandlung in den nachsten beiden Kapiteln.Eine mathematisch prazise Unterscheidung ergibt sich bei der Behandlung derstationaren Uberschallstromung in Teil VIII.Als "parabolisch" wird jener Differentialgleichungstypus bezeichnet, beiwelchem lediglich eine zweite Ableitung nach der einen Veranderlichen auftritt.Die Probleme der ebenen, achsen- oder kugelsymmetrischen instationarenWarmeleitung ergeben dafur physikalische Beispiele.
Bei der stationaren,kompressiblen Stromung nehmen die Gleichungen dies en Typus, dem eineMittelstellung zwischen dem elliptischen und hyperbolischen Typus zukommt,lediglich auf einer Kurve, namlich der Schallinie, an, weshalb er im folgendenvon untergeordneter Bedeutung ist. Der Ubergang von M < I auf M> Iist mit einem Typenwechsel verbunden. Daher stellt die "schallnahe" Stromung(Teil IX) eines der schwierigsten Gebiete der Gasdynamik dar.Auch in der raumlichen stationaren Dberschallstromung rufen kleine Storungenstehende Schallwellen hervor. Hier muB nun die Komponente der Geschwindigkeit in Richtung der Flachennormalen der Schallgeschwindigkeit c gleich sein(Abb.
98). Eine kleine Storung, bedingt etwa durch eine scharfe Spitze, erzeugteine kegelformige stehende Schallwelle (Machscher Kegel), welche das EinfluBgebiet der Storung abgrenzt (Abb. 99). Wieder gibt es nichts Entsprechendesin einer stationaren Unterschallstromung. Bei drei unabhangigen Veranderlichenist jedoch die Typenunterscheidung problematischer. Urn dies zu erkennen,sei eine schwach gestorte Parallelstromung in x-Richtung betrachtet. GanzVI, 6. Koordinaten-Transformationen.191entsprechend zu Gl. (35) kann dann aus der ersten Gl. (20) eine IinearisierteForm fur ein Storpotential cp abgeleitet werden:( I - M 60)CP"" +cpY1/ +cpzz =0.(42)Bei Unterschallstromung (Moo < 1) sind die Koeffizienten aller drei Ableitungen positiv.
Damit entspricht Gl. (42) vollig dem elliptischen Typus.Bei DberschaUstromung (Moo> 1) erhiiJt CPu einen negativen Koeffizientenund Gl. (42) erhalt, je nachdem, ob die Anderungen in x-Richtung oder etwain y-Richtung bedeutungslos werden, elliptischen oder hyperbolischen Charakter.Gl. (42) enthalt sowohl die ebene DberschaUstromung als etwa auch die Dberschallstromung urn einen unendlich langen, nahezu axial angestromten Kreiszylinder. Letztere kann aber einfach dadurch gewonnen werden, daG ein mitsehr kleiner Geschwindigkeit quer zur Achse angestromter Kreiszylinder auseinem axial mit Dberschallgeschwindigkeit bewegten Bezugsystem betrachtetwird.
Damit ist die Losung aus einem typisch elliptischen Problem abgeleitet.Das Auftreten elliptischer Elemente wird bei der Behandlung des Pfeileffektes(Abschnitt 21) und bei der Behandlung kegeliger Dberschallstromungen (Abschnitt X, 5) besonders deutlich.6. Koordinaten-Transformationen.Das EinfUhren neuer Koordinaten ist sowohl fUr manche allgemeine Betrachtungen als auch fur das Auffinden spezieller LOsungen vorteilhaft.
Zunachstseien fur ebene oder achsensymmetrische Stromungen zwel neue unabhangigeV eranderliche ~ und 'Yj gewahlt:~=~(x,y);(43)'Yj='Yj(x,y).Fur die Ableitungen gelten dann folgende Beziehungen:~" =YTJ. ~ = _x; YTJ - X'I y;' y'Yjy=.XTJ. 'Yj = _ ___Y_"x; Y'I- X'1 y;'"x; YTJ - X'I Y; ,x;1~~-~~~~-~~(44)- - - ; ~x'Yjy-~y'Yj,,=-----Der letzte Ausdruck, die sogenannte Jakobische Determinante der ~, 'Yj nach denx, y, muG stets endliche, von Null verschiedene Werte haben, wenn die Transformation in Gl. (43) umkehrbar eindeutig sein soll.Im folgenden werden die Glieder, welche bei achsensymmetrischer Stromungzu denen der eben en Stromung hinzukommen, in geschweifte Klammern gesetzt.Kontinuitatsbedingung (lO) und (14) lauten dann:e Ui; ~x+ e uTJ 'Yj" + e vi; ~y + e vTJ 'Yjy + ei; (u ~x + V~y)++ eTJ (u 'Yjx + v'Yjy) + { ~V} = o.(45)y im Nenner des letzten Gliedes kann durch ~, 'Yj nur ersetzt werden, wenn dieTransformation Gl.
(43) explizit gegeben ist.In den Eulerschen Gl. (46) sowie im Energiesatz (47) besteht bei ebener undachsensymmetrischer Stromung kein Unterschied:e ui;(u~"e vg(u~"+ v ~y) + e u'1 (u'Yjx + v'Yjy) + Pi;~" + PTJ 'Yj" = 0;+ V ~y) + e vTJ (u'Yj" + v'fjy) + Pi; ~y + P'1'Yjy = o.(46)Der Energiesatz folgt aus G1. (4):Pi;(U~"+ v ~y) + PTJ (u 'Yj" + v'Yjy) -c2 ei; (u~"+ v ~y) - c2 eTJ (u'Yjx + v'fjy) = O.(47)192 VI. Allgemeine Gleichungen u. Losungen iiir station are reibungslose Stromung.Die gasd.
Gl. lautet:ud(c 2 -u2)~x- Uv~y]+ ufj[(c 2 -u 2) 1}x - U v 1}y]+ v~ [(c 2 -v2)~y+(48)-uv~x] +vfj[(C2 _ V2 )1)y-uv1)x] +{c2 ;}=0und die Gleichung fur die Drehungsfreiheit:(49)U~~y+ufj1}y-v$~x-vfj1}x=O.Fur den haufig vel'wendeten Fall, daB es sich bei Gl. (43) urn orthogonaleKool'dinaten handelt, wil'd zweckmaBig del' Winkel f3 eingefiihl't, welchen die~-Richtung (1) = konst.) mit del' x-Richtung (y = konst.) einschlieBt. DenselbenWinkel f3 schlieBen 1}- und y-Richtung miteinander ein. El' ist im allgemeinenAbb. 100.
KrlImmJinil:!e Orthogonslkoordinaten.Abb. 101. Beziehung zwischen den Geschwindigkeits·komponenten.eine Funktion des Ortes, hangt also von x, y odeI'Gradient von ~ und 1} mit hI und h2 bezeichnet:hI = [grad ~[ =V~x2 + ~y2,h2~,rlab (Abb. 100). Wird del'= [grad 1}[ =V;Jx2 + J)/,(50)so gelten folgende Beziehungen fur die Winkelfunktionen:sinf3=+~y=1cosf3=+~x=+Yjll'12-+1}x;2(51)Sie enthalten die Orthogonalitatsbedingung:~x1}x+ ~y1}y= O.(52)Die Gleichungen erfahl'en wesentliche Vel'einfachungen, wenn gleichzeitigmit den Orthogonalkoordinaten auch die Geschwindigkeitskomponenten WI in~-Richtung und W 2 in 1}-Richtung eingefiihrt werden.
Es bestehen dann folgendeBeziehungen (Abb. 101):WI =UW2 = -+ v sin f3;u sin f3 + v cos f3;cos f3u = WI COS f3 - W 2 sin f3 ;v = WI sin f3 + W 2 cos f3.Beim Einfiihren del' neuen Geschwindigkeitskomponenten in die Differentialgleichungen ergeben sich auch Ableitungen von f3. Es gehen in die neuenGleichungen also die Kl'ummungen del' neuen Kool'dinaten und mit Gl. (51)auch ihl'e Gradienten hI und h2 ein. Nach elemental'er Rechnung el'gibt sich dieK ontinuitatsbedingung:hiWI';+ h2 W2'1 -+ h2 WI f3fj + hi WI1fv t _+ h2 W Ze-e'1 + l"YJ - o.hiW 2 f3~1m letzten Glied ware wieder y durchdurch WI und W 2 zu ersetzen.~und1),1(!e~+(54)abel' auch v mittels Gl.
(53)193VI, 7. Polar- und Zylinderkoordinaten.Aus beiden Eulerschen Gl. (46) ergibt sich ein neues Paar von folgender Form:hI WI WI~+ h2 W 2 W I '1- hI WI W2,B~ + h2 W22,B'1 + hI -e1 pr; =hI WI W 2f1 + h2 W 2 W2'lDer Energiesatz lautet:hI WIPr;+ hI WI2,Bf; + h2 WI W 2,B'l + h2~e P'1+ h2 W 2 P'l-c2hI WII2~-C2h2 W212'l.Man erhiilt folgende gasd. Gl.:hI WI; (c 2 - WI2) + h2 W2'l (c 2-(55)o.o.(56)W22) - h2 WI W 2 WI'l- hI WI W 2 W 2f1c2 h2 WI,BrJ - c2 hI W 2,Bf;-I--==0;+ {c2 ;} =0.+(57)Hierin ist wieder c2 nur Funktion des Geschwindigkeitsbetrages:W2=W I2 + W22.Die Gleichung der Drehungsfreiheit ergibt sich als(58)hI W 2r;-h 2 WI 'I + hI WI,Br; + h2 W 2 ,B'l = o.Bei ebener Stromung geht in alle Gleichungen lediglich das VerhiHtnis hI!h2der Gradientenbetrage ein, welche beispielsweise fUr alle konformen Transformationen gleich 1 ist.7.
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