K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 60
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Nliherung der Isentropereeller Dichte naeh G1. (II, 25) eine imaginaredurch eine Tangente.Schallgeschwindigkeit. Doch gelangt man nachTSCHAPLIGIN ll und TSIEN 13 zur Form des Energiesatzes (98) und damit VOnG1. (93) zu (96), wenn die Isentrope im.!., p.Diagrammein einem Punktedurch ihre Tangente genahert wird (Abb. 114).
Dann ist:P-PI:J = el2 l2(i--= - el2( :~ )Sl ( ~ -~, PIe1~).CFur die Sehallgesehwindigkeit in einem benachbarten Punkte ergibt sich:2c=dp =deC2(~.)2.eIc faUt darnach mit wachsender Dichte und wachsendem Druck. Aus der Bernoullischen G1. (II, 51) folgt schlieBlich G1. (98):W2_WI2=_2jd:=CI2[(~1r-l]= C2 -C 12.1Eine line are Naherung der Isentrope im.!., p-Diagramm ergibtealso G1.
(96)und mit der Tschapligin·Transformation (97) den Gleichungstypus der dichtebestandigen Stromung.Auf entsprechende Art erhalten die G1. (91) die Form der CauchyRiemannschen DiHerentialgleichungen. Es ist:ifJ{} - _1_ ~e1 c1(JPg=O.(99)206VI. Allgemeine Gleichungen u. Losungen fiir stationare reibungslose Stromung ..Mit In g und {} als unabhangigen Veranderlichen gewinnen die Gl. (99) dieForm der Gl. (33). Ganz dassel be gilt bei Vertauschung von Abhangigen undUnabhangigen fur die Gl. (74) und (75). Es ist:(lOO)womit wieder der Stramungszustand als abhangige und ein Koordinatennetzder Stramungsebene als unabhangige Veranderliche gewonnen ist.
Naturlichkann Gl. (100) auch direkt aus Gl. (99) mit Hilfe der Transformationsgleichungen (44) gewonnen werden.Es gibt auch eine Tschapligin-Transformation bei standig herrschender Uberschallgeschwindigkeit. In Gl. (98) ist dann W l > c1 und folglich stets W > c.DaB Co unter dieser Voraussetzung imaginar wird, start nicht, da der Ruhezustand (W = 0) auBerhalb des Dberschallbereiches liegt. Wie sich zeigen wird,ist die Dberschallstromung aber weitgehend exakt berechenbar, weshalb fur sieeine Naherung durch Linearisierung der Isentropenbeziehung (Abb.
114) kaumInteresse besitzt.17. Randbedingungen.Ein wesentlicher Teil aller Rechnungen auf dem Gebiet der stationarenStromungen ist dem Problem der Umstramung von Karpern gewidmet, welcheim unendlichen Raum frei fliegen. Urn zeitlich unabhangige Randbedingungenzu erhalten, wird dabei stets der Karper als im Raume fest, von einer stationarenParaIleIstromung des Zustandesu=u oo , v = O, w=O,C =Coo ,211 = Moo( lOI)angestramt betrachtet.Eine Unterschallstromung wird dabei in ihrer ganzen Ausdehnung von einemirgendwo befindlichen Starkarper beeinfluI3t, wie schon im Abschnitt 5 uber dieTypenunterscheidung ausgefUhrt wurde. Abb. 95 zeigt dies fUr die y-Richtung,ist aber fur die x-Richtung nicht maBgebend, weil es sich urn eine unendlichlange wellige Wand handelt.
Bei einerUnterschallstromung konnen die linteroZ') Gl. (101) eingefUhrten Bedingungen alsonur als Grenzwerte angesehen werden,Abb . 115. Ach enanord nuog im FlOgelprotil.welchen sich die Stromung mit zunehmender Entfernung vom Karper (V x 2 y2Z2 -->- 00) in wachsendem MaBenahert, ohne sie im Endlichen je zu erreichen. Es wird sich zeigen, daB dieFormulierung fUr jeden Fall Moo < 1 gilt.
Nur bei tragenden Korpern im Raumereichen stromabwarts Starungen in Form von Wirbeln bis ins Unendliche, daAuftrieb wich Gl. (IV, 33) stets mit Zirkulation verbunden ist, ein Wirbel abernach HELMHOLTZ nicht im Endlichen endigen kann.Eine UberschallparallelstrOmung bleibt bis unmittelbar an den Karpel" UIlgesti::irt.
Deshalb gelten hier die Bedingungen Gl. (101) bis zur erst en vom Karpel"ausgehenden Starung, der Kopfwelle, oder, bei sehr schwachen Starungen, del'von der Korperspitze ausgehenden Machschen Linie (Abb.99). Wie das Abklingen stromabwarts erfoIgt, ist zunachst uninteressant, da es auf die Zustandeam Korper keinen Einflu/3 hat.Damit waren die Anstrombedingungen fur Unter- und DberschallstromungformuIiert.
Bei der Behandlung der Bedingungen am Karper bedarf es keinerUnterscheidung der beiden Stromungstypen. Es sei mit der ebenen Stromung+ +VI, 17. Randbedingungen.207begonnen. Das Profil werde von der x-Achse durchkreuzt und bei symmetrischenProfilen halbiert (Abb. U5). Der obere und untere Teil seines Umrisses sei durchdie Funktionen:(102)y > 0: y = ho (x) und y < 0: y = -h" (x)gegeben. Insbesondere gilt fur das symmetrische Profil:(103)h" (x) = ho (x) = h (x).Die Neigung eines Profilelementes ist gleich der StromIinienneigung. Damitgilt ala Randbedingung am Profil:fur= dh o = h '(x),y = ho (x): ~Udx0,fur - y=h,,(x):_ ~=Udh"dx=(104)h '(x)."Bei einem symmetrischen, nicht angesteIlten Profil reduzieren sich beide Rand.bedingungen auf eine:fur y= h(x):~U= h'(x).(105)AuBerdem verschwindet vor und hinter dem Profil v auf der x-Achse ausGrunden der Symmetrie, oder anders formuIiert :es ist dort h (x) - O.Fur den Spezialfall schlanker Profile, also kleiner Dickenverhaltnisse (Verhaltnis der groBten Dicke zur Lange) und drehungsfreier Stromung -lassen sichGeschwindigkeitsrichtung und -betrag mit Gl.
(39) und (IV, 31) wie folgt nahern:U ooW (x, h) -h' (x) = v (x, h) = v (x, 0)U oo=U(x, h) -U oo=U+ ( uy~v )h + ...... ,1/=0(x, 0) -U oo+ (~u)uy1/ = 0h+ .... ,(106)wobei fur asymmetrische Profile die Entwicklung an der Ober- und Unterseitezu unterscheiden ware. Fur eine Abschatzung von :~ konnen in der gasd. Gl. (U)wegen der Kleinheit der Storungen aIle Glieder, die v als Koeffizienten besitzen,gestrichen werden.
1st U m der Maximalwert von u und l die Profillange, so giltnaherungsweise:um-uoo •~'" (~_I) OU '" (M2_1)oyc2ox1Darnach klingt die v-Storung im allgemeinen in Abstanden ab, welche nichtmit der Profildicke, sondern mit der Profillange zu messen sind, ein Effekt, dersieh aueh an der exakten Losung der Umstromung einer sehlanken Ellipse studieren laBt. Der letzte Summand der ersten Gl. (106) erweist sich hiermit alsGIied zweiter Ordnung. In erster Naherung kann die v-Komponente an einemschlanken Profil hiermit gleich der v-Komponente unmittelbar an der x-Achsegesetzt werden. Dort muB die v-Komponente auf jene Werte springen, welehesieh aus der anderen Profilseite ergeben.
Je naehdem, ob sieh das Profil verdiektoder verdunnt, quillt das Medium aus der x-Aehse bemus· oder verschwindetin dieser (Abb. 125).Bei hohen Maeh-Zahlen ist das Projizieren der v-Komponente auf die x-Achseallerdings nicht mehr moglich, wie die vorhergehende Abschatzung ergibt. Dieswird sieh noch in versehiedener Weise bestatigen und ist mit Rueksieht aufdie EinfluB- und Abhangigkeitsverhaltnisse beiI nieht anders zu erwarten.In ScJuillniihe hingegen ist die Naherung besonders gut, was mit der geringenVeranderliehkeit der Stromdichte in diesem Bereich zusammenhangt.M>208VI.
Allgemeine Gleichungen u. Losungen filr stationare reibungslose Stromung.Nach der Prandtlschen Regel [Abschnitt 20 oder Gl. (VII, 8) oder Gl. (VIII, 3)]steigen die Geschwindigkeitsunterschiede bei gleicher Profilform proportional zuI---V---=------ --=-=--=-'-, so daB im letzten Glied der Faktor/ I - M 501VII -~------M50/ hinzutritt. InSchallnahe sind die VerhiiJtnisse insofern komplizierter, als man nicht mehr Profilegleichen Dickenverhaltnisses vergleichen kann.Auch ist der lokale Wert von M2 - 1 nicht mehr durch den Wert in der Anstromungzu ersetzen.Fur die Geschwindigkeitsstorung ergibt sich das letzte Glied aus del' Gleichungfur die Drehungsfreiheit:OUOVvay=ax~T'Nach den letzten Uberlegungen kann die Anderung del' v-Komponenten inx-Richtung derjenigen am Profil gleichgesetzt werden.
Daraus ergibt sich mitdel' zweiten G1. (106) auch die Geschwindigkeit am Profil und auf der x-Achseals in erster Naherung gleich. Die Genauigkeit del' letzten Naherung hangtdabei nicht von del' Mach-Zahl aboEine Ausnahme machen hier wiederdie hohen Mach-Zahlen, weil beiihnen - wie sich zeigen wird - imallgemeinen nicht mehr mit Drehungsfreiheit gerechnet werden darf.Die Ausnahmestellung del' hohenAbb.116. Achsenunordnung beim drehsyrnmctrischen Kiirper. Mach -Zahlen hat hier praktisch keinegroBe Bedeutung, weil man in diesemGebiet weniger mit analytischen Methoden (Charakteristikenmethoden~) arbeitet.Die Fehler, welche durch das im folgenden haufig geubte Projizieren del'Geschwindigkeits- und Neigungsverteilung auf die x-Achse entstehen, kompensieren sich im ubrigen zum Teil, denn mit den Neigungen vjuoo nehmen auchu-udie Geschwindigkeitsunterschiede00 mit Annaherung an die x-Achse Zll.U ooAuch entspricht das Vorschreiben einer v-Verteilung auf der x-Achse clem Aufsuchen einer exakten Losung bei etwas geanderten Randbedingungen.Bei Verwendung von Stromlinienkoordinaten nach Abschnitt 8 ist ab Randbedingung del' Stromungswinkel {} auf der Profilstromlinie (0/ = 0) vorzuschreiben.Wahrend er aber am Profil als Funktion der Bogenlange gegeben ist, muBte erfUr die Losung als Funktion des Potentials c[> gegeben sein, wenn das Profil exaktnachgebildet werden soIl.Bei einem achsensymmetrischen Korper ist die Form durch eine einzige Funktion y = h (x) festgelegt.
Sie soIl den Korperradius an der Stelle x darstellenund entspricht im Achsenschnitt ganz dem Dickenverlauf eines symmetrischen,nicht angestellten Profils bei ebener Stromung. In der x, y-Ebene lautet elieRandbedingung ganz analog zu Gl. (105), auch dann, wenn der Korper schragin x-Richtung angeblasen wird (Abb. 116). Bei Verwendung von Zylinelerkoorelinaten (Abschnitt 7) druckt sich die Neigung del' Stromungsrichtung gegen dieAchsenrichtung lediglich durch die Axial- und Radialkomponente der Gefichwindigkeit aus. Damit lautet die Randbedingung am achsensymmetrischfll Korperbei ganz beliebiger Anblasrichtung:fur r=h (x):WI = h' (x).u(107)Wie bei ebener Stromung, kann bei kleinen Storungen auch hier linearisiertwerden.
1m Nenner von Gl. (107) ist dann u durch U oo zu ersetzen unel dieRandbedingung lauft auf eine Vorschrift fur die Radialkomponente Wi heraus.VI, 17. Randbedingungen.209Sehr zum Unterschied von der ebenen Stromung, zeigen bei einer achsensymmetrischen Stromung die Storungen nicht in Abstanden, welche mit der Korperlange, sondern in Abstanden, welche mit dem Korperdurchmesser vergleichbarsind, wesentliche Anderungen. Das hangt damit zusammen, daB sich die Storungennach zwei Dimensionen hin ausbreiten konnen. Diese Schwierigkeit macht sichsofort geltend, wenn in der an und fUr sich richtigen Entwicklung Gl.
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