K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 63
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Die z-Achseweise in Fliigelrichtung. Bei achsensymmetrischen Korpern ist sie willkiirlichfestzulegen. 1m ganzen waren drei Komponenten der resultierenden Kraftund drei Momente urn die drei Koordinatenachsen zu unterscheiden. Hier werdenur die Tangentialkraft (x-Richtung) und die Normalkraft (y-Richtung), nichtaber die Querkraft (z-Richtung) untersucht. Ferner wird noch das Langsmoment(urn die z-Achse) betrachtet. AIle Krafte werden in iibIicher Weise durch den"Staudruck" und die Projektionsflache f 11 des Korpers auf die Ebene y = 0dividiert, so daB dimensionslose Beiwerte entstehen. Entsprechend sei beimAusdruck fiir den Momentenbeiwert x bereits durch eine geeignete Lange, etwadie maximale Fliigeltiefe, dividiert gedacht.Die Tangentialkraft ergibt sich aus der Integration der in x-Richtung auf dasOberflachenelement df weisenden Druckkraft p cos (n, x) df iiber die ganzeOberflache des Korpers:Ct(loo2Ubof 11 =JJp cos (n, x) dtOberfIache=JJ[p (x, ho, z)~~ + p (x, hu, z)a;; ]dxdz.(134)iiber 111Dabei ist iiber die ganze Oberflache zu integrieren.
Beispielsweise ergebensich beim letzten Integral fiir eine Stelle x, z fiir die Ober- und Unterseite je einIntegrand. Ganz entsprechend ergi bt sich fiir den Beiwert der N ormalkraft Cn :Cn(loo2Ubof 11 = -JJp cos (n, y) dt =OberfliicheJJ[p (x, hu, z) - p (x, ho z)] dx dz. (135)iiber 111Zwischen Normal- und Tangentialkraft einerseits und Auftrieb und Widerstand anderseits bestehen Beziehungen, welche sich ohne weiteres aus demKrafteparallelogramm ergeben. Dasselbe gilt auch fiir die Koeffizienten Ct , cn> Cw(Widerstandsbeiwert) und Ca (Auftriebsbeiwert), die sich von den entsprechendenKraften ja nur urn einen Faktor unterscheiden. Abb. 119 ist zu entnehmen:Ct = Cw cos e ca sin e;Cw = Ct cos eCn sin e;(136)cn = Cw sin eca cos e.ca = - Ct sin ecn cos e;+++216VI.
Allgemeine Gleichungen u. Losungen fUr stationare reibungslose Stromung.Die Berechnung des M omentes sei auf !lache, nur wenig von y = 0 abweichendeKorper beschrankt. Fur das Moment urn die z-Achse ist dann der Hebelarmdurch x und der Anteil eines Flachenelementes an der Kraft normal auf den Hebelarm durch p dx dz gegeben. Wie bei der Normalkraft, wirkt der Druck an derUnterseite in positivem Sinne, woraus sich fur den Momentenbeiwert folgendeFormel ergibt (mit der maximalen Flugeltie£e als Langeneinheit):c m 12oou6c,2!p= f f x[p(x,hwz)-p(x,ho,z)]dxdz.(137)iiber !pEs sollen nun die Anderungen der Widerstands beiwerte mit dem Anstellwinkel Eberechnet werden. 1m Integranden hangt dabei lediglich der Druck p von E aboEs wird zweckmaBig mittelbar uber die Geschwindigkeit nach E differenziert.Mit Rucksicht auf die Bernoullische Gl. (II, 51)ist dann £iir E = 0:f) en~ds 1200ubo!2p=- f f [ (eW W).
Y~ho dh'2dx +iiber+ (e WAbb. 119. Zusammcnhang zwischen denKraftbeiwer ten.gegengesetzt,SOIpW')Y~_h" ~~' ]dxdz.(138)Bei einem symmetrischen Karper ist e W oben.dhdhund unten glmch und=We aber ent-d: d:'daB der Integrand und damit~c:verschwindet. Dies muGerwartet werden, da sich bei einem in y symmetrischen Korper ct fUrE in gleicher Weise andern muG.Fur den Beiwert der Normalkraft ergibt sich bei E = 0:+Eund-~:12oo2u60 !p = - f f[(e WW')Y~-hu -(e WW')1I~h)dxdz.(139)iiber !'1JHier addieren sich die beiden Effekte an der Ober- und Unterseite, und zwarliefert bei in y symmetrischen Karpern jede der beiden Seiten denselben Beitrag.Bei in y symmetrischen Karpern muss en ja cn und (auch das exakte) cm ungeradeFunktionen von E sein.Wegen des Verschwindens der ersten Ableitung von Ct fUr ho = hu unde = 0 wird die zweite Ableitung besonders interessieren.
Es ergibt sich ftirho = h" = h bei E = 0:dde2ct2 -1200-2-u60-- !p = - f f [(1 -M2 ) e W •2dh d d+ e W W]ee y~h ax xZ.(140)iiber/pIn den Formeln (134), (135) und (137) kann fUr p stets auch p - poo gesetztwerden. Dies liegt bei den letzten beiden Formeln auf der Hand.
Bei der GleichungfUr Ct ist es deshalb moglich, weil das Integral tiber einen konstanten Druckverschwindet. Es ist von Interesse, anstatt des Druckes die Geschwindigkeit indie Formeln einzufuhren. Mit der Entwicklung der Bernoullischen GleichunganschlieBend an (II,51) ergibt sich in zweiter Niiherung:Ct/p=-!!{[2 W - Woo - ( l - M 60)Wooiiber!'1J+[2W;:00_(l-M~)(W-WoolVOO )2J _(W w: rt=-h ~~uY - hoooudho _+dx}dxdz;(141)VI, 20. Prandtlsche Regel.217tiber f~(141)tiber-f~[ 2 W-WW 00-(1- Mba) (W-WW 000000)2J_ _y-}dxdz.huAuch die letzte Formel gilt in zweiter Naherung, denn G1. (137) ist dadurch gewonnen, daB der Kosinus kleiner Winkel gleich 1 gesetzt wurde,was nicht nur in einer ersten, sondern auch noch in einer zweiten Naherungerlaubt ist.Die G1. (141) vereinfachen sich weiter in einer ersten N aherung.
Das quadratischeGlied in der Geschwindigkeitsabweichung faUt dann weg. Ferner ist W - Woodurch u - U oo zu ersetzen und einfach an der Ober- oder Unterseite von y = 0zu nehmen:f --ct ~-2JJ[(U-U oo )dh aUoo+y~O dxoo )+ (U-UdhuJd dUoo-y~O dx • x z.Entsprechendes gilt fur Cn und Cm. In allen Formeln kann wieder u durch u ersetzt werden.In erster Niiherung ergibt sich ferner fur e = 0:~~n f'P = u~ 1 1d;~[(u.)+IJ-+ 0 -(142)U oo(u')-1I-+o] dx dz;(143)f'P= :001IX[(U.)+IJ-+O-(U.)-1I-+o]dXdz.Eine Berechnung der zweiten Ableitung von ct nach dem Anstellwinkel emit G1. (140) mit der linearisierten gasd. G1. ist nicht ohne weiteres gerechtfertigt.
Es zeigt sich namlich mit der Losung (133) und mit einer Abschatzungvon W., daB be ide Summanden in G1. (140) dieselbe GroBenordnung, namlich(loo Uba erreichen. Auf die Entwicklung fur den Druck zuruckgehend, istdas gleichbedeutend mit einer quadratischen Naherung von p- poo durchW- Woo.Aus den Ableitungen von Ct und cn nach e k6nnen jene von Cw und Ca nach emittels G1.
(136) auf element are Weise gewonnen werden. Es ergibt sich fur:e=(144)0:20. Prandtlsche Regel.In den letzten Abschnitten wurde ofter von einer Linearisierung dergasd. G1. Gebrauch gemacht, deren Voraussetzung zunachst naher untersuchtwerden solI.Die Berechtigung einer Vernachlassigung ergibt sich im allgemeinen daraus,daB sich von zwei Gliedern gleicher Dimensionen das eine als sehr klein gegen das218VI. Allgemeine Gleichungen u. Losungen fUr stationare reibungslose Stromung.andere herausstellt und daher gestrichen werden kann. Daher sei die gasd.
Gl. (5)zunachst in einer entsprechenden, Vergleiche zulassenden Form geschrieben:= -uo2 ox(u 2+ v2 +c2(~+ ovoxoyvow 2 ) + - -,- (u 22 oy+ ~W)'OZ=+ v 2 + w 2 ) + -wo2 8z(u 2+ v2 + w 2 ).Unter der Annahme einer wenig gestorten Parallelstromung kann hierinwegen v2 <{ u 2 , w 2 <{ u 2 einfach u 2 + v2 + w 2 durch seinen ersten Summandenersetzt werden. Unter der Voraussetzung von Wirbelfreiheit folgt dann weiter:c2 (~ox+~+ ~)oyoz_ u -~0 (2--2uuX=u2 ~ox+ v 2 + u:.2)+ u v _~'U_+ u w 8u+oyoz+ ... _- u 2 - OU+ ... ,8xwo die Punkte die naherungsweise zu vernachlassigenden Glieder andeutensollen.Die gasd. Gl.
einer wenig gestorten Parallelstromung reprasentiert sich damitapproximativ in folgender Form:~u + ~+ ~w_( 1-~)coxoyOZ2=O.(145)Fur u <{ c folgt daraus wieder die bekannte Kontinuitatsbedingung dichtebestandiger Stromung.Bei ausreichend kleinen Storungen kann nun der Koeffizient 1 -2~ inc"Gl. (145) durch die entsprechenden Werte im Anstromgebiet ersetzt werden,womit sich eine lineare Kontinuitatsbedingung ergibt ("Prandtl-Linearisierung"):iJ(u - u )~~(I-M" )--~+~+~=O.00ox8yOZ(146)Die Kontinuitatsbedingung stellt stets eine Aussage uber die Stromdichtendar.
1hre Linearisierung in den Geschwindigkeitskomponenten entspricht einerLinearisierung der Beziehung (II, 49)zwischen Stromdichte e W und Geschwindigkeit W (wozu noch zusatzlich die Voraussetzungen kleinerStorungen treten). Die Stromdichtekurve (Abb. 120) wird also durchihre Tangente in jenem Punkte ersetzt, in welch em Gl. (146) exaktwird, d. i. bei W = u oo ' M = Moo'Daraus ergibt sich eine Aussage uber-"----Mf;_~~---,!"---------'---')Jr-f,. die zulassige GroBe der Geschwindigkeitsschwankungen. Diese mussenAbb. 120. Niiherung der Sl.rorndichl.ekurve durch einemit Annaherung an die SchallgeTangent.e.schwindigkeit verschwindend kleinwerden.
Die Linearisierung stimmt am best en in den Wendepunkten vone w, d. i. bei M = 0 und bei einer bestimmten Uberschallgeschwindigkeit.Einer Linearisierung der Stromdichtebeziehung liiBt sich eine Linearisierungder Druck-Geschwindigkeit-Beziehung - der Bernoullischen Gleichung - gegenu berstellen. Stets kommt es auf die Vernachlassigung cler Glieder hoherer OrdnungVI, 20. Prandtlsche Regel.219in den Entwicklungen von G1. (II, 53) und (II, 52) an. Das macht folgendeVoraussetzungen erforderlich:~ M~bei der Stromdichte:131(~:~M~--} 11 - M~Ibeim Druck:(w: -1)1(w: - 1)<{ 1;(147)<{ l.Wahrend die Linearisierung der Stromdichte bei kleiner Mach-Zahl M(X) stetssehr gut ist, setzt eine Linearisierung der Bernoulli-Gleichung dort kleineStorungen voraus.
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