K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 67
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(126) gibt die Geschwindigkeits- _,,*,.c~----;'+----;;';:----+-;-;;---~ .zv,..~sverteilung, we1che in der angewandtenNaherung der u-Storung gleichzusetzenist, an einem Kreisbogenzweieck. Sie wirdmit Versuchen von W. FROSSEL 1 ver~~glichen, welche an einem an der Kanal- Abb. 126. Geschwi ndigkeitsverteilung an einemwand befindlichen Kreisbogensegment ge- Kreisbogenzweieck (Parabelbogen) VOn 16% Dickenneh Versuchcn von FROSSEL nnmacht wurden. Die Dickenverteilung kann nneh GJ.
( ) undcinemHalbmodeU.bei kleinem Dickenverhaltnis 2 h m (mith m als maximaler halber Profilhohe) mit ausreichender Genauigkeit dargestellt werden durch (sie entspricht demnach einer Parabel):fur 0 < x < 1:h = 4 h m (x - X2), v = 4 U oo h m (1- 2 x);{(o.fur x<0und 1<x: h = 0,v =o.Mit Gl. (8) ergibt sich dann, ohne daB sich durch die Bildung des Hauptwerteszusatzliche Glieder ergeben, symmetrisch zur Profilmitte:W-u oo ;::::" u-u ooU OOU oo=i.n2h mf3[I_(~_x)lnll-X2xI].Bei der sonst einfachen Integration ist darau.f zu achten, daB das Argumentdes Logarithmus stets positiv zu nehmen ist. Die Verteilung ist natiirlich symmetrisch, wobei die Werte an den Profilenden als Folge der Vereinfachungenuber aIle Grenzen wachsen. Darnach ist die tJbereinstimmung von Theorie undVersuch auch in der unmittelbaren Staupunktsumgebung sehr zufriedenstellend.Die Versuchsergebnisse werden dort durch die anstromende Reibungsschichtnaturlich etwas beeinfluBt.
Die auftretenden Werte vonsind -_V_U ooundU -UUoooodie Staupunkte ausgenommen - von gleicher GroBenordnung.In Abschnitt VI, 18 wurde gezeigt, daB die Anderung der Geschwindigkeitsverteilung mit dem Anstellwinkel e bei e = 0 fur ein symmetrisches Profil diegleiche ist wie fUr eine unendlich dunne Platte. Nach Gl. (VI, 115) und (VI, 119)gelten im Anstromgebiet und an der Platte, also auf der x-Achse zwischen x = 0und x = 1, die Randbedingungenfur:Vx2 + y2 -fur: y00;= 0 und 0 < x < I :u.
= 0, v.v. = O.=+ U oo ;Dem Umstand, daB die abgeleitete v-Komponente wohl an der Platte verschwindet, nicht aber im Anstromgebiet, wie die Losungen der letzten beidenAbschnitte, wird leicht dadurch Rechnung getragen, daB zu dem Potential einelineare Funktion addiert wird.Da es sich gleichzeitig urn die Anderung der Stromung mit dem Anstellwinkel e einer unendlich dunnen Platte handelt, Verdrangungen der Stromung230 VII. Stationare, reibungsfreie, ebene u.
achsensymmetrische Unterschallstromung.also nicht auftreten, liegt es auf der Hand, nicht mit Quellen-, sondern mitWirbelbelegungen zu arbeiten. Es sei also das nach E abgeleitete Potential wiefolgt angesetzt:rI1~.=f (~) arctg x fJ_y ~+d~U oo y.oWahrend es sich beim Potential in G1. (7) urn einen in y symmetrischenAusdruck handelt und auch die Geschwindigkeitsstorung U - U oo in y symmetrisch,die v-Verteilung hingegen in y antisymmetrisch ist, ist es bei der Wirbellosunggerade umgekehrt.
Eine Anstellung eines symmetrischen Korpers hat beipositivem und negativem y gerade entgegengesetzte Geschwindigkeitsanderungen,aber gleiche Richtungsanderungen zur Folge. Auf der x-Achse auBerhalb desProfils muB daher U - U oo verschwinden, weil es sich urn eine antisymmetrischeFunktion von y handelt, welche keinen Sprung macht. Am Profil springt sie aufentgegengesetzte Werte.
Alles das sind Eigenschaften, welchen1J,c._~~ ___+---- ~ ~Wirbelbelegungen entsprechen.In der Gleichung fur cps ist t (~) d~ eine ZirkulationsAbb.127. Dieabgeleite. lb ar aus elnem.Verg1eic h mitte Geschwindigkeit ananderung mit E, was sich unmItteeiner Platte.GJ. (5) ergibt. f (~) ist also eine nach 8 abgeleitete Zirkulationpro Langeneinheit des Profils. Diese kann aber leichtdurch Us am Profil ausgedruckt werden. Durch Ableiten nach 8 folgt aus derZirkulationsdefinition G1. (IV, 23) derselbe Zusammenhang fur die abgeleitetenGroBen wie fur die nicht abgeleiteten, was fur aIle linearen Beziehungen gilt.Aus Abb. 127 ergibt sich unmittelbar mit u so (~) als abgeleiteter Geschwindigkeit am oberen Plattenrand:cps-f(~) =2 uso(~)'Damit sind also die abgeleiteten GroBen fUr das Potential und die Komponenten:I({JsUs==J" u so (~) arctg ~fJd~ + unx-;;-1-IJ--;;,-oICXly;ofJy+ fJ2 y2 d~,.(9)Uso (~) (x- ~)2fJvs =---;;'-JIX- ~uso(~) (X-,;)2+fJ2 y 2 d~+uoo.oFur die vs-Verteilung auf der x-Achse ergibt sich ganz analog zu GJ.
(8):Iv so -- +u00 _LJuSOW__ d~ ,(10)nx- ~owobei wieder der entsprechende Cauchysclle Hauptwert zu nehmen ist.In Gl. (10) ist nun u so (~) so zu bestimmen, daB die Randbedingung vso = 0im Profilbereich auf der x-Achse erfullt ist:o (~~ dr+ Ln.f Usx-;;IfUr y=0 und 0<x<1:U oo =oEs handelt sich hier urn einen Spezialfall der bekannten, von A. BETZ erstmaliggel osten Integralgleichung cler singularen Wirbelschicht. Auch bei clef kegeligenVII, 3. Ebene Stromung, linearisierte Gleichung.231Stromung spielt sie eine Rolle, wie wir spater sehen werden.
Wie bei der Berechnungvon Integralen, interessiert hier nur die Losung, nicht aber der Weg, welcher zurLosung fuhrt. In der Betzschen Umkehrformel (Integraltafel, 22) ist die Funktionin g (x) fur den hier besprochenen Fall einfach konstant g (x) =fnu. DieBestimmung von u eo (x) ist damit auf folgende Integration zuruckgefiihrt:._ueo(x) -CVx(l-x)+f11U oof3n Vx(l-x)dtVt(l-t) t - x 'oDer Wert ergibt sich aus dem in der Integraltafel aufgefuhrten unbestimmtenIntegral zu:DaB die Geschwindigkeitsverteilung nur bis auf eine Konstante festliegt, kannnicht uberraschen.
Das entspricht dem Umstand, daBdie Gesamtzirkulation um das Profil noch frei verfugbar bleibt. Sie wird bekanntlich so festgelegt, daBdie Hinterkante nicht umstromt wird, sondern daBdort ein Staupunkt bleibt. D. h . an der Hinterkantebleibt u unabhangig von e, es ist:auf y = 0, x = 1 : U e = O.,Aus dieser Abstrombedingung ergibt sich dann unmittelbar an der Flugeloberseite (Abb. 128):(ll)Abb.
128. Anderung der Geschwindigkelt mit dem Anstellwinkel nach 01. (11).Die Geschwindigkeitsstorungen und der Auftrieb wachsen also umgekehrtproportional wie der Prandtl-Faktor, was von der Pro Regel her bereits bekannt ist.Ob die durch G1. (ll) gegebene Ueo-Verteilung in der unmittelbaren Umgebungder Fliigelnase als richtig angesehen werden kann, ist zweifelhaft. Sicher sind unendliche Geschwindigkeiten unmoglich und wiirden au13erdem der Voraussetzungkleiner Storungen entschieden widersprechen.
Immerhin k6nnten aber unendlicheGeschwindigkeitsanderungen mit dem Anstellwinkel 13 zulassig sein.Die Anderung des Auftriebs- und Momentenbeiwertes mit dem Anstellwinkelergibt sich aus den auf ebene Stromung angewandten Gl. (VI, 143) nach G1. (ll)und der Integraltafel fur e = 0 zu:dC ade=1dCnde1= 4f Ueo dx = ~foU1dC mdeoof30V1- xxdx =12n ;f3(12)=4fx~dx=~fVX(I-X)= ~.Uf32 f3ooo01st l der Abstand des Druckpunktes von der Vorderkante bei einem Profilder Lange 1, so ergibt sich fur e = 0:l _ dC m I dC a _ 1(13)- ([f / de"-"4'Die Druckpunktlage ist also unabhangig von der Mach-Zahl gleich jenerin dichtebestandiger Stromung. Naturlich gilt das nur im Gultigkeitsbereich232 VII. Stationare, reibungsfreie, ebene u.
achsensymmetrische Unterschallstromung.del' Prandtlschen Linearisierung. Die Resultate sind kiirzer direkt mit del'Pro Regel aus den bekannten Eigenschaften dichtebestandiger Stromung abzuleiten.Fur asymmetrische Profile ist del' Rechengang derselbe, seine Durchfuhrungmit Rucksicht auf die erforderlichen Integrationen abel' komplizierter. Es seidas schlanke, aber sonst beliebig geformte Profil durch eine v-Verteilung amoberen und unteren Rand del' x-Achse innerhalb 0 < x < 1 gegeben [oben:Vo (x), unten: Vu (x)]. Dann lassen sich diese beiden Verteilungen wie folgt meinen in y antisymmetrischen und einen in y symmetrischen Anteil auflosen:Vo ~1T1(va-vu) +T (Va+1TVu); Vu =(Va -Vu) -1T(Vo+Vu )·Dementsprechend gibt es einen in y symmetrischen und einen in y antisymmetrischen Anteil fUr das Storpotential:1cp=-/nI~ [Vo(~)-Vu(~)]lnV(x-~i2-+fi2y2d~+oII1+2n~fJy.f(~)a"ctgx_~ d~,(14)owobei die Funktion t (~) so zu bestimmen ist, daB die Randbedingung erfullt ist.Es ist am oberen und am unteren x-Achsenrand:I1Va"1fJd~/=±T(Vo-Vu)+ 2n t(~) x-"J'Vu0Das gibt mit del' Betzschen Umkehrformel:1+nfJVx(I-x)CJI-2 [vo(t) +vu(t)]!(---dt fiIrt(l-t) -_.11n-t(x)=---==+2fJ Vx(I-x)t-xO~ x~ l.oGanz entsprechend zu den Resultaten der ebenen Platte, ist t (~) der negatiyeantisymmetrische Anteil del' u- Verteilung, die sich ganz analog zur v- Verteilungaufspalten laJ3t.
Damit ist die Storgeschwindigkeit am Profil:ff11d~1u-v= =7T~. T[Vo(~)-Vu(~)]x_~ -Tt(x) =1o111d~=~--[v(~)-v (~)]-fJn. 20Ux-~1+ fJn VX(l·(15)fT[Vo(~)+t'u(~)]'V~(l-~)X-I;-7rVX(1 =-xT·11+o1;dl;nCx).oDie Berechnung del' Geschwindigkeitsverteilung an flachen Profilen ist damitauf zwei Integrationen zuruckgefuhrt, und es ist nur noch die Zirkulationskonstante C durch die "Abstrombedingung" zu bestimmen. Hier tritt zunachsteine kleine Schwierigkeit auf. In der hier wiedergegebenen Theorie kleinerStorungen ergibt sich bei Gl.
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