K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 71
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Aus=-~[(1 +r)2-1]f3(4H)errechnen sieh mit den exakten Gleichungen die in Spalte 4 angegebenenWerte.5. Die Druckerhohung ist auch der Druckerhohung urn ein IjtJ-fach verdicktesProfil bei dichtebestandiger Stromung gleichzusetzen. Dabei solI wie in derletzten Formel der isentrope Staudruck genom men werden, was dann auch dierichtige Staupunktsgeschwindigkeit ergibt.P-Pc,:",~PO-Poo=1- (1 + r ~)2.f3(44)Die aus den letzten beiden Formelnerrechneten Geschwindigkeiten scheinenbesonders gut zu sein. Sie erzwingen nicht nur im Staupunkt die richtige Geschwindigkeit, sondern ergeben auch hohere Werte fur die Geschwindigkeit amDickenmaximum als die Pr.
Regel in der erst en Fassung. Die letzteren Geschwindigkeiten sind sicher stets etwas zu klein (im Staupunkt sogar negativ),weil die Stromdiehte nach Abb. 120 uberall - auBer bei W = U oo zugroB angenommen ist, was bei gleichen Korpern zu kleine W-Werte ergebenmuB.In einer sechs"ten Spalte sind noch von HANTZSCHE und WENDT - nach einerin Abschnitt 7 skizzierten Methode - berechnete Werte angefuhrt, welche einerzweiten Naherung entsprechen. In der siebenten Spalte stehen die von HANTZSCHEberechneten Werte der dritten Naherung nach der Methode. Ein MaB fur dieGenauigkeit dieser Methode ergibt sich aus den Unterschieden in den letztenbeiden Spalten.Tabelle VII, 1.
Gcschwindigkciten am Dickenmaximum einer ldngs angcstromten, 10%dicken Ellipse nach verschiedenen Formen der Pro Regel und nach HANTZSCHE undWENDT (nach E. KRAHN).M(£0,500,600,700,750,80Gl. (40)(41)(2)(42)(3)(43)(4)(44)(5)H.ll.W.H.1,1151,1251,1401,1511,1671,131,141,181,281,121,131,141,151,171,121,141,161,171,201,1251,1391,1631,1811,2011,1181,1311,1511,1661,1891,1181,1311,1511,1721,198(1)Die hier diskutierten funf verschiedenen Formen der Pr. Regel seien nunnoch auf die Geschwindigkeitsverteilung an einem Kreiszylinder angewandt,urn die Brauchbarkeit an extrem dicken Korpern zu prufen.
In der ersten Spalteder Tab. VII, 2 stehen die Werte fUr Moo = 0 abhangig von der in Gradenangegebenen Bogenlange. An letzter Stelle stehen die von LAMLA berechneten,als sehr genau anzusehenden Werte (Abschnitt 7).VII, 6. Die Krahnsche Methode.245Tabelle VII, 2. Geschwindigkeitsverteilung an einem Kreiszylinder beiMoo = 0,40 nach verschiedenen Formen der Pr. Regel und nach Rechnungenvon LAMLA mit der Methode von JANZEN-RAYLEIGH (nach E. KRAHN).Moc;=Oo0,3470,6841,0001,2861,5321,7321,8791,9702,000(1)1-0,091, 0,2880,6551,0001,3121,5821,7981,9592,0582,091(2)0,070,380,681,0001,351,79(3)(4)0,280,661,001,321,601,852,042,162,200,200,641,001,331,621,882,072,202,24(5)oI0,3260,6540,9771,2921,5891,8572,0812,2192,270Lo0,3230,6440,9591,2661,5621,8362,0672,2242,280Regel (1) liefert am Staupunkt und am Dickenmaximum zu kleine Werte.Hingegen liefert Regel (2) zu hohe Stromdichten und damit am Staupunkt zuhohe und am Dickenmaximum uberhaupt keine Geschwindigkeiten mehr.
DemStaupunktfehler kann allerdings abgeholfen werden, indem die Pr. Regel fur dieGeschwindigkeit auf ein Ijp-fach verdicktes (fur die Stromdichte auf ein p-fachverdunntes) Profil bei Moo = 0 bezogen wird. Dann ergeben sich dieselbenGeschwindigkeiten (Stromdichten) in kompressibler Stramung wie am verzerrtenProfil bei Moo = 0, d. h. am Staupunkt W = 0 (mit e W = 0 exakt auchW = 0). Die Werte am Dickenmaximum bleiben aber unverandert. Geradediese Werte sind aber schlecht.Uberhaupt sind die Staupunktsfehler nicht so maBgeblich.
Das gilt auchfur G1. (23) mit negativ unendlichem Wert im Staupunkt. In dessen Umgebungergeben sich besonders bei schlanken Karpern auBerordentlich starke Geschwindigkeitsunterschiede. Die Geschwindigkeit W = 0 tritt in unmittelbarer Nahedes vorgesehenen Staupunktes auf, die Berechnung erfolgt also fur einen am Staupunkt nur unbedeutend abgeanderten Karper. Deshalb sind die Fehlwerte imStaupunkt fur die Form (3) und (4) der Pr. Regel nicht ausschlaggebend.Immerhin gibt die Form (5) im Staupunkt wie am Dickenmaximum die besteUbereinstimmung mit den Werten von LAMLA.
Sie wird deshalb allen anderenFormulierungen der Pr. Regel vorzuziehen sein. Bei schlanken Profilen hingegensind die verschiedenen Formen der Pr. Regel nach Tab. VII, 1 etwagleichwertig,nur Form (2) wird bei haheren Moo-Werten unbrauchbar. Auch jene Formender Pr. Regel, bei welchen die Stromlinien ineinander ubergefuhrt werden, zeigenkeine hahere Genauigkeit, weil die Ungenauigkeit nicht erst durch die Transformation, sondern bereits durch die Linearisierung entsteht.Eine Verbesserung der Pr. Regel scheint sich im allgemeinen auch dadurclJ.zu ergeben, daB der .Faktor p nicht auf Moo, sondern auf die lokale MachZahl bezogen wird 28 ' 34.
Dadurch ergeben sich besonders hei dicken Karpernoder bei Schallnahe merklich hohere Storgeschwindigkeiten.6. Die Krahnsche Methode.Eine vallig von der Pl'. Regel abweichende Methode stammt von E. KRAHN 8und wurde von A. BETZ und E. KRAHN 8 , 10 weiter entwickelt. Sie soll hier nurin ihrer erst en, einfachsten Form wiedergegeben werden.Es faUt bei den Vergleichen des letzten Abschnittes' auf, daB sich aus derAnwendung der Pr.
Regel auf die Geschwindigkeit im allgemeinen zu kleine,hei der Anwendung auf die Stromdichte im allgemeinen zu groBe Werte ergeben.246 VII. Stationare, reibungsfreie, ebene u. achsensymmetrische Unterschallstromung.Dies erklart sich ohne weiteres aus einem Vergleich der exakten Gleichungen mitden linearisierten. Zum besseren Verstandnis dieser Erscheinungen seien die Verhaltnisse zunachst vom Standpunkt der dichte bestandigen Strom ung aus untersucht.Wird die gasd.
Gl. fUr das Potential (VI, 20) einfach durch die LaplaceGleichung Ll<1> = 0 ersetzt, so bedeutet dies eine Verletzung der Kontinuitatsbedingung, welche die gasd. Gl. fur das Potential darstellt. Die Gleichung furdie Wirbelfreiheit hingegen ist durch die Annahme eines Geschwindigkeitspotentials automatisch erfullt. Die Naherung Ll<1> = 0 bedeutet, daB die kompres sible Geschwindigkeitsverteilung der inkompressiblen gleichgesetzt wird,d. h.
daB das Potentiallinienbild - und damit auch das Bild der Stromlinienals der Orthogonaltrajektorien der Potentiallinien - beider Stramungen ubereinstimmt (Abb. 132). Da die Stromdichte durch den KompressibilitatseinfluBabnimmt, ist sie zu hoch, also falsch angenommen.
Tatsachlich nehmen dieStromdichtenunterschiede mit wachsendem Mab, die Stromlinien pass en sich den Karperform en viel mehr an als bei M = O. Die Folgensind erhOhte Zentrifugalkrafte und folglich erhohte Geschwindigkeiten bei Kompressibilitat.Die gasd. Gl. fUr die Stromfunktion (VI, 28)ist eine Wirbelgleichung, die Kontinuitat istdurch Annahme einer Stromfunktion automatisch erfUIlt. Fur konstante Entropie (8 =Abb.1 32. Orthogonaltrajektorienblld <ler= konst.) ergibt sich die Gleichung der WirbelStrom- nnd PotentiallinleD.freiheit, die verletzt wird, wenn die gasd. Gl.fur 'P einfach durch Ll'P = 0 ersetzt wird.
InStrom- und Potentiallinien (Abb. 132) fur M = 0 wird nun die Stromdichteschwankung bei Kompressibilitat jener bei M = 0 gleichgesetzt. Da die relativeGeschwindigkeits- und Stromdichteschwankung bei M = 0 einander gleich sind,bedeutet dies:Naherung: Ll'P=r! W_._0;_____1m Gegensatz zurNaherung: L1 <1>=-0;r!oo U oo- -- r!oo U ooW-u,~_==_-(W -Uoo )M = 0U oo(W-U)__c:?_~U ooU OOJI=0(45)(46)Die Geschwindigkeiten ergeben sich nach Gl. (45), wegen der hoheren Empfindlichkeit der Geschwindigkeit gegenuber Stromdichteschwankungen bei Kompressibilitat, also graBer als bei M = O. Damit sind aber die Zentrifugalkrafte,welche an die Stromlinienkrummung geknupft sind, falsch angenommen und dieVoraussetzung der Wirbelfreiheit ist nicht mehr erfullt.
Tatsachlich werden sichdie Stromlinien bei Kompressibilitat weniger verengen und erweitern als beiM = 0, d. h. die Geschwindigkeit wird kleiner sein, als sich aus der Naherung (45)ergibt. Mit der Annahme geringerer Schwankungen in den Stromlinienabstandenals bei M = 0 erhahen sich die aus der Wirbelfreiheit gerechneten und erniedrigensich die aus der Kontinuitat berechneten Geschwindigkeiten und nahern sicheiner gemeinsamen richtigen Lasung.Da die Geschwindigkeitsschwankungen nach (45) zu groB, nach (46) zu kleinsind, muB die richtige Lasung als zwischen den beiden Werten liegend angenommen werden:Wr!r!oo U ooj;(~)Uooj;M = 0~U(47)ooDas obere Ungleichheitszeichen gilt dabei im wesentlichen im Ubergeschwindigkeitsgebiet, da eine zu groBe Schwankung dort einen zu groBen Wert, dasVII, 6. Die Krahnsche Methode.247untere Zeichen gilt im Untergeschwindigkeitsgebiete, da eine zu groJ3e Schwan·kung dort einen zu kleinen Wert ergibt.Auch die Abweichungen, welche die Pro Regel gegeniiber genauen Losungenzeigt, lassen sich ganz entsprechend erkHiren, soweit nur mit Geschwindigkeitenund Stromdichten gearbeitet wird.
Die Linearisierung der Stromdichtekurve(Abb. 132) ergibt zu hohe Stromdichtewerte. Daraus errechnen sich aus derStromdichte bei M = 0 am selben Profil zu hohe Stromdichtewerte und mit derexakten Beziehung dann zu hohe Geschwindigkeiten. Unter Umstanden uber- - ,41",,00- - - Prantlll- .- - -p.KJrmJn-CpTsim-z,oCp- -- - -- Kra/ln- - NooOO_ .. -,. - l?in.;lfIJ- - - Prang'11-1,$_ . _ . - Y. Kil'mJn oT.fi~n- - -- --.
Krahn01, 2-· ·-"- l?in.;IM- 1,2-0,4:~~~~to!. - - 0 - '- -' -~~!,.••~_-"lo..V•'--..."O!,,,~ •" {;!,OX:---"'~ IJO· -*--,----~--,._-_T~o_~--Abb. 13:3. Druckverteilung am NACA-Profil 00012 - 1,130 (Amcrik . );A A 0012) nahe der kritischen Gescl!wind igkeit nach Vcrsuehen von GOTHERT lind nach verschiedcne n Na herungstheoricn.
(Die Werre fUrJfoo ~ 0 sind dem Bueh: J. AnOTT li nd A. v. DOENIIOFt·, Theory 01 Wind 'cction&, Me Graw·HiU, New YorkLondon (1 9!O) cntnommen. )steigen die errechneten Stromdichten die zulassigen Hochstwerte [Tab. VII, 1und 2, Formulierung (2)]. Die Annahme zu hoher Stromdichten in der Kontinuitatsbedingung hingegen liefert zu kleine Geschwindigkeiten, weil die Stromungweniger Platz braucht [Formulierung (1) in Tab. VII, 1 und 2].1m Ubergangsgebiet von Unter- zu Ubergeschwindigkeiten verlieren dieseiiberschlagigen Uberlegungen an Wert.KRAHN8 setzt nun die Verteilung bei M = 0 gleich dem geometrischen Mittelvon Stromdichten und Geschwindigkeitsverteilung bei kompressibler Stromung:eWeoo U ooW (W)2Uoo =UooM = 0Mit Tab.
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