K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 73
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Dieerste Naherung des Verfahrens von JANZEN und RAYLEIGH ist also die dichtebestandige Lasung (Mba = 0), bei der Prandtl-Iteration die Prandtl-Naherung.In Abb. 134 sind die nach GOTHERT berechneten Maximalgeschwindigkeiten an der Ellipse von 10% Dicke aufgetragen und mit der Berechnung vonHANTZSCHE verglichen 19, dessen dritte Naherung mit GOTHERTS dritter Naherungpraktisch zusammenfallt. Die erste Naherung entspricht der Pro Regel fUr dieGeschwindigkeiten.
Der Wert fur .1W00 = 0 fallt mit der Abszisse zusammen.GOTHERT verwendet in jedem Quadranten zwalf Quellpunkte. Die Ubereinstimmung ist sehr zufriedenstellend und zeigt gleichzeitig den Wert der Methodenals Kriterien vereinfachter Formeln. Der Gultigkeitsbereich der Formeln ist inVI -VII, 7. Das Verfahren von JANZEN und RAYLEIGH.251den Bildern durch die Linie, an welcher der Wert M = 1 erreicht ist, begrenzt.
Beisolch schlanken Profilen wird der wesentliche Effekt bereits durch die Pro RegelerfaBt.Fur einen Vergleich verschiedener Profilformen untereinander bezieht manbesser nicht auf das Dickenverhaltnis, denn fur die loka1e Ubergeschwindigkeitam Maximum ist die Profilform am Staupunkt und damit die genaue Profillangevon untergeordnetem EinfluB. Zur Abschatzung der Ubergeschwindigkeiten isteine andere dimensionslose Zahl: das Verhaltnis von Profildicke und Krummungsradius an der betrachteten Stelle, vorzuziehen 20.In Abb. 135 sind die Maximalgeschwindigkeiten an Rotationsellipsoidenangegeben, welche von C. SOHMIEDEN und K.
H. KAwALKI21 mit Hilfe der PrandtlIteration fUr die Storungsstromfunktion berechnet wurden. Es ist nur der zweiteSchritt gerechnet, womit 'bei nicht zu dicken Rotationskorpern wegen der Klein7,Ttlh'(Nooj11'(11)/I'-lid;'1,116'1/Iul fZI/J,II~1,IlZI//////~'I/'/ /\~i~I'Y'''l'· ~11,fMil\#Abb, 1.35, Maximalgeschwindigkeit am Rotationsellipsoid bezogen anf die cot prcchende dichtebestiindige Ge·schwindigkcit oach C. 'CIUIJEDEN nnd K. H. KAW ilKI und nach Gl. (26),heit der verursachten Storungen bereits eine ausreichende Genauigkeit erzieltwird, Fur das Dickenverhaltnis T = 1 ist der Unterschied zur genaueren Rechnung von LAMLA22 (dritte Naherung) merklich, im Verhaltnis zur absolutenGroBe der Storung aber(W oomax -U1)MOCJ=O=0,50 immer noch geringfugig.In Abb. 135 sind auBerdem die Kompressibilitatskorrekturen fur schlankeKorper nach G1.
(26) eingetragen. Sie geben bis zu einem Dickenverhaltnis vonT = 0,3 sehr zufriedenstellende Resultate. Fur groBere Dickenverhaltnisse sinddie Abweichungen bereits fUr kleine Moo-Werte merklich, weil die Korperformdurch die Quellbelegung auf der Achse nicht mehr gut genug wiedergegebenwird und von der linearisierten gasd. G1. ausgegangen wurde.In allen Bildern dieses Teiles wurden die Ergebnisse nur bis zu jener MachZahl Moo der Anstromung wiedergegeben, bei welcher die Maximalgeschwindigkeit gleich der Schallgeschwindigkeit ist. Man nennt diesen Moo-Wert diekritische Machsche Zahl.
Ihre praktische Bedeutung liegt darin, daB sie eine obereGrenze fUr Stromungen von reinem Unterschalltypus darstellt. Auch wird sichzeigen, daB der Widerstand bei "uberkritischer Stromung" mit wachsendem Moosehr bald anzusteigen beginnt. (Die Bezeichnung uber- und unterkritischeStromung in der Gasdynamik hat mit derselben Bezeichnung bei der Stromungs-252 VII. Stationare, reibungsfreie, ebene u. achsensymmetrische Unterschallstromung.typenunterscheidung, abhangig von del' Reynolds-Zahl, natiirlich keinerleiZusammenhang.) Abb.
136 gibt eine Zusammenstellung von HANTZSCHE 1 9del' nach verschiedenen Methoden bel'echneten kritischen Mach-Zahlen an eHiptischen Zylindern, abhangig yom Dickenvel'haltnis. Die zweite Naherung desgewohnlichen Janzen-Rayleigh-Verfahrens 23 ist fiir kleine Dickenverhaltnissenatiirlich ziemlich schlecht, da es sich dabei urn eine Entwicklung nach Moohandelt, des sen kritischer Wert bei kleinem Dickenverhaltnis nahe an 1 liegt.FUr das Dickenverhaltnis 1 diirfte der Wert von HANTZSCHE, del' mit einer Entwicklung nach dem Dickenverhaltnis gewonnen ist, nieht mehr sehr gut sein.Nach HANTZSCHE lage die kritisehe Mach-Zahl fiir den Kreiszylinder bei Moo == 0,40, wahrend sich naeh LAMLAS (Tab.
VII, 2) viertel' Naherung bei Moo == 0,40 noeh untel'kritische Stromung ergibt. Es ist bei:/-100 ~l,tlMoo = 0,40 ; M~ = 0,43 ; M~ax = 2,280.0,43 = 0,98;P,JMmax = 0,975.Bei geniigend hohen Moo-Werten kann man sowohlMmit del' PI'. Regel als auch mit versehiedenen Abarten desd,7Janzen-Rayleigh-Verfahrens lokale Ubel'schallgebiete beMkommen. Del' Wert soleher Ergebnisse ist abel' sehrIJ,fzweifelhaft, nicht weil del' Kompressibilitatseffekt einerQuell-Senken-Verteilung in einer diehtebestandigen Stromung gleichgesetzt wurde, sondern weil die Konvergenztlfl, 5l,tlPicK~ny~/'!JJlfni.fdel' Iteration auBerst fraglich ist, wie kurz skizziertwerden solI.
Zu diesem Zweck sei die gasd. GJ. fUr das.Abb. 136. Kritlsclle Mach·Zahl elliptischer ZylinderPotential wie folgt geschrieben:abhiingig vom Dickenver hiiltnis.([J xx+ ([Jyy =u2-2C([J xxv+ 2u-c -(/)x" +·2v2-2c(/)yyund die Umgebung des Diekenmaximums eines Profils betrachtet. Dort ist nul'das erste Glied del' rechten Gleichungsseite von Bedeutung. Dieses ist abel' imUberschallgebiet graBer als2(/)xx.In dieses groBere Glied ..;- (/) xx wird nun imcVerlauf del' Iteration stets del' ungenauere Wert eingesetzt, um eine bessereGenauigkeit fUr (/)xx + ([Jyy zu el'halten. Eine Steigerung del' Genauigkeit kannsich nur daraus ergeben, daB sich die in die reehte Gleichungsseite getrageneUngenauigkeit auf die beiden Glieder del' linken Seite gleichmaBig verteilt.
DieAusgangsgleichung Llw =ist jedenfalls in einem Uberschallgebiet als eUiptische Gleichung nicht einmal qualitativ richtig, weshalb man allgemein nul' imunterkritischen Gebiet mit zuverlassigen Resultaten reehnet. Endgiiltig geklartist die Frage nach den Grenzen fiir die Konvergenz del' Methode allerdings nochnicht.FUr die Prandtl-Iteration gilt im iibl'igen dasselbe. An Stell en kleinerv-Werte kann man schreiben:(1- M60) (/) x x([Jyy = (M2 - M60) (/)xxWieder ist im Uberschallgebiet del' Koeffizient von Wxx reehts groBer als links.°++ ....8. Die Relaxationsmethode*.Wie bei gewahnlichen, kann auch bei partiellen Differentialgleichungen zuDifferenzengleichungen iibergegangen werden.
ZweckmiWig sei dies fUr dieStl'omfunktion durchgefiihrt, urn die Randbedingungen einfacher erfiillen zu* R. V. SOUTHWELL: Relaxation Methods in Theoretical Physics. Oxford, ClarendonPress (1946). Dieses Buch behandelt das gasdynamische Problem nur als eines untervielen anderen.VII, 8. Die Relaxationsmethode.253konnen. Diese driicken sich bei P durch Vorgabe der Funktionswerte auf denRandern der Stromungsebene aus, wahrend die Randbedingung fiir die Potentialfunktion durch Verschwinden der Normalableitung auf der Korperoberflachegegeben ist.Zunachst sei die Laplace-Gleichung fiir Pals Differenzengleichung geschrieben.
Der Wert im Mittelpunkt eines auf der Spitze stehenden Quadratessei ohne Index, die Werte in den vier Eckpunkten mit denIndizes 1 bis 4 bezeichnet (Abb. 137). Mit l als halberQuadratdiagonale ergibt sich die Ableitung P., in denZwischenpunkten I und III Ills folgender Differenzenquotient:(P",lr=11P); (P.,)nr = T (P - P 3 )·T (P1 -Fiir die zweite Ableitung im Mittelpunkt folgt also:P.,,,,=+ [+(PI -P)-+(P-P3 )] = Z! [PI + P 3 -2P].Abb. 137. Gitterpunktebei der R ela.xationsme·thode.Ganz Entsprechendes gilt in y-Richtung, womit sich die Laplace-Gleichungunabhangig von l wie folgt als Differenzengleichung schreiben laBt:PI + P 2 + P 3 + P 4 - 4 P = O.(53)Bei dichtebestandiger Stromung ist die Stromfunktion im Mittelpunkt einesQuadrates gleich dem arithmetischen Mittel der Werte in den vier Eckpunkten.Dasselbe ergibt sich natiirlich fiir CPo Die Differenzengleichung (53) gilt um sogenauer, je kleiner das Quadrat gewahlt wird.
Charakteristisch fiir Gl. (53) ist dabei, daB die stromabwarts wie diestromaufwarts gelegenen Punkte in gleicher Weise auf denWert im Mittelpunkt einwirken (elliptischer Typus).Es seien nun die P-Randwerte gegeben, wobei zunachstangenommen wird, daB sie gerade in den Gitterpunkteneines Quadratnetzes bekannt sind (Abb. 138).
Dann kannetwa auf zweierlei Art vorgegangen werden. Stets miissenanfanglich P- Werte in allen Gitterpunkten angenommenwerden. Aus dies en konnen mit Gl. (53) die Werte in den• Rant/punk!Mittelpunkten ausgerechnet werden. 1m nachsten Schritt)( H/ltdpunk!ergeben sich dann wieder die P-Werte in den Ausgangs13S. Gitternetz zurP unkten. Das Verfahren ist fortzusetzen, solange sich die Abb.Rela,xut,ionsmethode.Werte andern.Es konnen aber auch anfangs gleichzeitig die Werte in den Mittelpunk.tenangenommen werden und die Reste:q=PI+P +P +P234-4 Pberechnet werden. Dann muB so lange korrigiert werden, bis sich iiberall moglichstkleine Reste ergeben.
Aus der q- Verteilung ergibt sich, wo jeweils die Korrekturenanzubringen sind.Die Methode fUr kompressible Medien unterscheidet sich nur durch einekompliziertere Differenzengleichung. Die gasd. Gl. wird zu dies em Zweck wiefolgt geschrieben. Aus der Wirbelfreiheit folgt:~P x) + ~P Y)ox (.!..f!oy (.!..f!P",,,,+ P yy=oP"'ax-lne=0 oder0+ Pya:ylne254 VII. Stationare, reibungsfreie, ebene u. achsensymmetrische Unterschallstromung.und damit folgende Differenzengleichung 24 :P1+P +P +P234 -4P-41~ (P1 - P 3 ) In ~ + (P2 - P 4 ) In ~ \Jeate4=o.(54)Mit ihr kann in gleicher Weise vorgegangen werden wie mit Gl. (53), indementweder iteriert wird oder indem die Reste berechnet werden, welche sich ausden Wert en in allen fUnf Punkten ergeben.
Zur Berechnung von e aus 4 P sindallerdings die Ableitungen von P in den entsprechenden Punkten zu bilden,wofUr nun auch P-Werte auBerhalb des Quadrates heranzuziehen sind. Diesmacht die Gleichung verwickelter.Erforderlichenfalls kann stets ein Kurvennetz, welches im Kleinen Quadratebildet und durch den Stromungsrand begrenzt ist, eingefiihrt werden. Es sinddies die Potential- und Stromlinien der dichtebestandigen Stromung (Abb. 132).Dabei macht es wenig, daB die Quadrate verschieden groB sind.Die Ausfiihrungen zeigen, daB die Durchfiihrung des Verfahrens (das sichnatiirlich auch bei Achsensymmetrie anwenden laBt) groBen Aufwand erfordert,der allerdings von den speziellen Randbedingungen kaum abhangt.
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