K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 77
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Der Widerstand des Teiles ist mit Gl. (4)gegeben durch:~C W1VM~ -I=If:~fdX=oIlm2 + 2 m(:~ - m) + (:~ - my] dxo=m xm2+J(:~ Xmom=rdx.Das letzte Integral kann nicht negativ werden, also ist der geringste Widerstandgegeben durch eine Gerade:dhhm--=m=--'dxxm'Nimmt man an, daB die dickste Stelle oben und unten beim selben Wert Xmliegt, so ist der Gesamtwiderstand fur ein Dickenverhaltnis T gegeben durch:~ Cw2VM~-1 ==(2 hmhm~xm2_+2T hhm21 - xmm+(r-hm )2xm+(r-hm)~1-xm+ T2) (-~+ ...1-~--).xm- xmDas ist ein Produkt einer Funktion von h m und einer Funktion von x m' die jedefUr sich einen Minimalwert annehmen mussen. Nach elementarer Rechnungergibt sich fUr dies en :das Profil kleinsten Widerstandes bei gegebenem Dickenverhaltnis ist also emnicht angestellter Rhombus.Den praktischen Erfordernissen durften allerdings andere Forderungen besserentsprechen, wie etwa die, daB die Profilflache (das Flugelvolumen) vorgegebenist und ahnliches 3 .VIII, 3. Berechnung wenig gestorter achsensymmetrischer Stromungen.2653.
Berechnung wenig gestorter achsensymmetrischer Stromungenmit Singularitiitenbelegungen.In Gl. (VII, 1) ist eine Losung der linearisierten gasd. Gl. (VI, 42) fUr dasStorungspotential im Raume angegeben. Diese Losung stellt das Potentialeiner QueUe in einer Parallelstramung bei M= < 1 dar, kann aber ebenso alsLosung der gasd.
Gl. (VI, 42) fur M= > 1 angesehen werden, da uber den Wertvon M= keine Voraussetzung gemacht wurde.Bei M= > 1 ist die Lasung Gl. (VII, 1) aUerdings nicht mehr im ganzenStramungsraum reel!. Der Radikand im N enner verschwindet auf dem Doppelkegel :(x -~)2=(M~-1) [(y -'Yj)2+ (z -C)2],(14)dessen halber Offnungswinkel durch die Beziehung (vgl. VI, 40):cot tX = VM~ - 1(15)gegeben ist.
Der Doppelkegel Gl. (14) setzt sich also aus dem stromabwartsvon der Singularitat ~ = x, 'Yj = y, C= z gelegenen Machschen EinfluBkegel(siehe VI, Abschnitt 5) und dem stromaufwarts gelegenen "Abhangigkeitskegel" zuAbIlanpilreits.felllet ,]vl' rsammen (Abb. 146). Bei Vorgabe der Verhaltnisse auf irgendeiner Flache F des Anstramge bietes begrenzt letzterer Kegel dasAbhangigkeitsgebiet fur den Punkt x = ~,y = 'Yj, z = C auf dieser Flache. Der EinfluBund Abhangigkeitsraum eines Punktes ist nurbei Linearisierung der gasd. Gl.
exakt ein Kegel,Abb. 146. AbM ngigk eits ' und EinIlu ~kl}gel.da nur in diesem FaIle der Machsche Winkel tXGl. (15) im ganzen Raume konstant ist. FurM= > 1 sei mit Gl. (15) die singulare Lasung (VII, 1) wie folgt geschrieben:cp=-q(16)cot2 (\C (y _1))2 - cot2 (\C (z - 0 21m Gegensatz zu Gl.
(VII, 1) kann Gl. (16) nicht als "QueUe" oder als Starpotential einer QueUe in einer ParaUelstramung angesprochen werden. cp inGl. (16) wird nicht nur im Punkte x = ~, y = 'Yj, z = Csingular, es wachst aucham Doppelkegel Gl. (14) uber aIle Grenzen. Die Quellstarke muBte durch eineIntegration der Stromdichte uber eine Flache innerhalb des EinfluBkegels bestimmt werden. Dabei wurde sich aber eine unendliche QueUstarke ergeben.AuBerdem diirfte eine QueUe in einer Uberschallparallelstramung, abweichendvon Lasung (16), nur reelle Werte im EinfluBkegel, nicht aber auch im Abhangigkeitskegel aufweisen.
Bei Verwendung von Lasung (16) wird im folgenden derAbhangigkeitskegel durch geeignete Festlegung der Grenzen in den Integralenausgeschlossen werden mussen. SchlieBlich sei erwahnt, daB die Quelle beiUnterschallstramung auch ohne Parallelstramung eine Lasung darstellt, wahrenddie hyperbolische Form der gasd. Gl. (VI, 42) an das Vorhandensein einer Hauptstramung mit M= > 1 gebunden ist. Daher kann (16) nicht als "QueUe",sondern mit Rucksicht auf die Verwandtschaft zu Gl.
(VII, 1) fur M= < Inur als quellartige Singularitat bezeichnet werden, die aUerdings noch weitreichendeAnwendung finden wird.Bei Achsensymmetrie interessiert nur die x, y-Ebene, da die Stramung inallen durch die x-Achse gehenden Ebenen dieselbe ist. Da nur die x-Achse belegtwerden soll, wird folgende Lasung verwendet:4 n V(x -;)2 -cp=---q4n l/(x- g)2_ y 2 cot 2 (\C(17)266 VIII. Stationare, reibungsfreie ebene u. achsensymmetrische Uberschallstr6mung.Man iiberzeugt sich leicht, daB es sich tatsachlich urn eine Losung der gasd. G1.bei Achsensymmetrie handelt:(18)Eine Superposition von Singularitaten, welche auf der x-Achse verteiltwerden, ergibt eine neue Losung.
Auf einen Punkt x, y (Abb. 146) konnen dabei nur diejenigen SinguJaritaten einwirken, in deren EinfluBgebiet der Punkt x, yliegt. Es dad also stets nur bis zu jenem ~ integriert werden, auf dessen EinfluBkegel der betrachtete Punkt x, y liegt, also gerade bis zum Verschwindendes Radikanden in G1.
(17):y> 0:~-x=-y cot(19)iX.Damit sind die im Abhangigkeitskegel auftretenden Losungsteile ausgeschlossen. Die Belegung beginne stets erst im Koordinatenursprung, womit folgendeLosung gefunden ist:x-y cotcp = -1IXJ-Vrx~~~2~Ld:2eot2~ .(20)oEs besteht Verwandtschaft zur Losung (VII, 23) des entsprechenden Unterschallproblems. Mit der physikalischen Aufgabe entsprechen sich hier auch dieRandbedingungen. Verwandtschaft besteht aber auch zum Problem der Ausbreitung von Zylinderwellen G1.
(III, 64), die besser erkannt wird, wenn dortdie Integrationsveranderliche z ersetzt wird durch ~ =x2 Z2 - Co t. 1mletzten Fall entsprechen sich die Differentialgleichungen (III, 52) mit a = 1und (VIII, 18) und mit deren Typus auch deren mathematische Behandlung.Die Frage nach der Wellenform in bestimmtem Achsenabstand abhangig vonder Zeit entsprache in diesem Abschnitt der Frage nach der Geschwindigkeitsverteilung in einer Ebene quer zum Korper, abhangig vom Korperabstand, alsonicht dem, was im allgemeinen interessiert.
Die hier erwahnten wechselseitigenBeziehungen lassen sich durch fast aIle AbschniUe dieses Teiles vedolgen.Eine der wichtigsten Erscheinungen besteht dabei in folgendem. Bei derebenen Uberschallstromung kleiner Storung ergab sich die Geschwindigkeitnur abhangig von der ortlichen Oberflachenneigung, unbeeinfluBt von der Profilform stromau£. Bei der achsensymmetrischen Stromung wird sich eine Abhangigkeit von der gesamten stromaufwarts liegenden Korperform ergeben, wie derDruck an einer Stelle der Zylinderwelle von der gesamten vorausgegangenenQuelltatigkeit abhangt, ein Effekt, der bei ebenen (und kugelsymmetrischen)Wellen kein Analogon hat. Darnach kann eine unumgangliche Erschwerungder Losung beim Ubergang von der ebenen zu einer achsensymmetrischen stationaren Uberschallstromung schon jetzt vorausgesehen werden.Als einfachstes Beispiel sei mit G1.
(20) die Stromung urn einen Drehkegel(mit der Spitze im Ursprung) bestimmt. In diesem Fall muB der Stromungszustand, also u und v, auf der Kegeloberflache wie iiberhaupt auf allen Strahlendurch den Ursprung konstant sein. Bei zwei verschieden groBen endlichen Kegelnvon gleichem dffnungswinkel {} (Abb.
147) muB der Stromungszustand inder gleichen absoluten Entfernung vom Ursprung - etwa in der Ebene x = Xo derselbe sein. Diese Stelle steht ja nicht unter dem EinfluB der Korperformstromabwarts: "Sie weiB nicht, ob der Kegel fortgesetzt wird oder nicht." Nachden Gesetzen der mechanischen Ahnlichkeit miissen aber auch die Stromungszustandc in den Kegel-Endebenen iibereinstimmen. Also kann der Stromungszustand nur vom Verhaltnis y/x abhangen. Wegen der Unbegrenztheit der4nV +VIII, 3.
Berechnung wenig gestorter achsensymmetrischer Stromungen.267EinfluBgebiete bei Moo < 1 ist ein entsprechender SchluB bei UnterschaUstromung nicht moglich.Es kann auch allgemeiner wie folgt geschlossen werden. Wenn sowohl bei denDifferentialgleichungen als auch bei den Randbedingunge~ (am Korper und im An·stromgebiet) eine Transformation moglich ist - etwa eine Ahnlichkeitstransformationurn den Ursprung - so muLl dieselbe Transformation auch bei der Losung moglichsein.
Zunachst hat es den Anschein, als ob man auchbei Moo < 1 mit dieser SchluBweise falschlich aufkonstante Zustande schlieLlen konnte, wenn man unendlich lange Kegel betrachtet. Doch stoLlt man beim---- - ~ - -- --- ++---~~Versuch einer exakten DurchfUhrung des Schlussesbei Moo < 1 sofort auf Schwierigkeiten, weil dieAnstrombedingung im unendlich fernen Punkt anzugeben ist, in dem aber der Kegelquerschnitt tiberaIle Grenzen wachst.Abb. 147. Ahnliche Kegel.Bei der UberschaIl-Kegelstromung muB alsou und v eine homogene Funktion nullter Ordnungin x, y seill. D. h. cp muB eine homogene Funktion erster Ordnung in denKoordinaten sein, oder q (.;) in G1.
(20) muB linear in .; sein. Mit q (.;) = A .;ergibt sich leicht mit Hilfe der Integraltafel:x-v cot acpJI;=[X-vcotA= -4n=-A"4 nJ---V(~-X): ~ y2 cot2 <Xox~_V(~_X)2_y2cot2<xoa_ + -4A [--nX 1nx+ Vx2y2 cot 2-yc~<x<X+ VX2-]Y2 cot2 iX.Urn die Konstante A durch den Kegeloffnungswinkel auszudrucken, werde v = cpygebildet und am Kegelmantel y = X tg {}o die Randbedingung vju oo = tg {}oerfullt :v=4AnCpy ==-4AnV(~ f-cot 2 iX;Vi u_~:~:/::t2-#O - =U ooUtg {}o = 4Anoo tg2 {}o [1Vcot2 {}o-cot 2+ ~ :~:: ~ + .. .J-ix.(21)Fur nicht zu hohe Machzahlen: cot ix""'" 1 ist A dem Quadrat des (jffnungswinkels {}o proportional. Dann ergibt sich wie bei UnterschaIlstromung dasProdukt v y fur y -- 0 mit hoher Genauigkeit als konstant.
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