K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 74
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Die Methodekommt daher, wie jene von JANZEN-RAYLEIGH, nur fUr die Berechnung vonspeziellen Beispielen in Frage, mit denen dann anders gewonnene Resultateverglichen werden konnen. Sie gibt in Verbindung mit Charakteristikenmethodendie Moglichkeit zur Berechnung schallnaher Stromungen. Anwendungen werdenin Teil IX wiedergegeben.9. Die Formel von v.
KARMAN-TsIEN.Die von v. KARMAN vorgeschlagene und von TSIEN 25 ausgearbeitete Methodewird allgemein in Zusammenhang mit dem Hodographen gebracht. Wie sichim folgenden ergibt, kann aber ohne Schwierigkeit auf die Betrachtung derGeschwindigkeitsebene verzichtet werden.
Es sei von den Gl. (VI, 74, 75) fiirStromlinienkoordinaten ausgegangen. Diese lassen sich in symmetrischer Formschreiben, wenn folgende Funktion des Geschwindigkeitsbetrages eingefiihrtwird:(55)Mit ihr kann Kontinuitat und Wirbelfreiheit in der Ebene Wle folgt ausgedriickt werden:~oW+~=0lJ'[1-~VI-M2-J~-.ejjrJ) ,(56)~-~=-[I-~VI-M2]~0lJ'oWeoW·Hierin ist die Stromfunktion auf die RuhedichtePy=.!L u). Bei konstanter Dichte (Meo=eobezogen (p x = -0) entspricht h=In W.!L v;+ konst.eoundgehen die Gl.
(56) durch Verschwinden der rechten Seiten in die CauchyRiemannschen Differentialgleichungen iiber. Die Entwicklung des Klammerausdruckes . beginnt mit:1-~oV1- M2 =xt1 M4+ ... ,so daB die Naherung durch die Cauchy.Riemannsche Differentialgleichung erstnahe an M = 1 schlechter wird.VII, 9. Die Formel von v. KARMAN·TsIEN.255Es ist durehaus moglieh, dureh Wahl einer anderen Funktion in Gl. (55) eineder beiden reehten Seiten von Gl.
(56) exakt gleich Null zu erhalten, jedochdiirfte eine gleiehmaBige Verletzung der beiden Gleiehungen zu besseren Naherungen fiihren, ein Gedanke, der ja aueh bei der Krahnsehen Methode zumErfolg fiihrte.Die Beziehung:(57)fiihrt die Bereehnung der Stromung auf die Laplaeesehe Gleiehung zuriiek.
SiemuB daher mit den Beziehungen identiseh sein, mit welehen es gelang, Gl. (VI, 96)fiir die Stromfunktion im Hodographen mit Hilfe der Tsehapligin-Transformation(VI, 97) auf die Laplaee-Gleiehung zu transformieren. Gl. (57) entsprieht demnaeh entweder einem Gas mit x = - 1 oder einer Naherung der Isentrope inder p, ~-Ebene durch eine Tangente. Unter der letzten Annahme ergibt sieh11mit den naeh Gl. (VI, 98) wiedergegebenen Beziehungen auf elementare Weiseaus Gl.(55) (fJ=VI-M~):1 (M'{fd1 - 2CXJcp)P-PCXJflCXJ W~mit c - - - p -(58)2In Gl. (55) und (58) ist h nur bis auf eine Konstante bestimmt, die wie folgtfestgelegt sein moge:h = 0 fiir cp = 0 oder p = pCXJ.Damit ergibt sieh dureh Integration von Gl. (58) die Beziehung zwischen h unddem Druckkoeffizienten cp :(1 +(l-fJ -~cfJ -M2~p)(1 -fJ);p)(l +--;;(59)Ganz analog zur Losung (7) liiBt sieh eine Losung angeben, wenn der Stromungswinkel {} auf der Korperkontur (P = 0) als Funktion des Potentials gegebenist.
Insbesondere ergibt sieh fiir die h.Verteilung auf P = 0, aus der sieh dieDruck- oder Gesehwindigkeitsverteilung auf element are Weise bereehnen laBt(definitionsgemiiB ist ja hCXJ = 0):<I>h ($)=~J -& (xl dx .;;rr,(/j-X(60)-CXJTatsachlieh ist nieht {} ($), d. h. der Stromungswinkel als Funktion des Potentials, gegeben, sondern bestenfalls als Funktion der Bogenlange. Bei einem inAnstromriehtung asymmetrisehen Korper ist {} auf P = 0 im An- und Abstromgebiet unbekannt und bestimmt sieh erst aus der "Abstrombedingung" durch dieForderung, daB die Profilhinterkante nicht umstromt wird.
Der Zusammenhangvon Potential und Bogenlange ergibt sieh aus Gl. (VI, 18). 1m Anstromgebietist einfach $ = UCXJ x, das Potential kann bis auf den Faktor UCXJ der Abszissegleiehgesetzt werden. Das gilt in erster Naherung auch noch bei kleinenStorungen, womit Gl. (60) dann in Gl. (7) fUr U - U oo iibergefUhrt werden kann.Sonst riieken die Potentiallinien an Stellen mit Ubergeschwindigkeit zusammenund an Stellen mit Untergeschwindigkeit auseinander.256 VII.
Stationare, reibungsfreie, ebene u. achsensymmetrische Unterschallstromung.Mit Gl. (60) konnen also in Anstromrichtung symmetrische Losungen angegeben werden, indem {} (C/» erst niiherungsweise angenommen wird. Erst naehBerechnung der Geschwindigkeitsverteilung kann also {} abhiingig von der Profilbogenliinge und damit die Profilform bestimmt werden. Wird fUr {} (C/» jene Funktion genommen, welche sich aus der dichtebestiindigen Stromung ergibt, so andertsich die Profilform gegenuber der von Moo = 0 kaum mehr, da sich die Potentiallinienabstande beider Stromungen wie die absoluten Geschwindigkeiten verhaltenund sich die Profilform erst durch Integration aus {} ergibt, wobei die stiirkstenAbweichungen dort auftreten, wo {} entweder nahe an ; (Staupunkt) oder nahe an 0(Dickenmaximum) liegt. {} (C/» kann also fur kompressible und inkompressibleStromung mit sehr guter Naherung als gleich angesetzt werden, d. h.
auf P = 0ist an einer bestimmten Stelle h (Moo) = h (Moo = 0). Mit Gl. (59) ergibt sichdann c1> aus c1>O' dem Druckkoeffizienten fur 1Woo = O. Da der Bruch in Gl. (59)fUr Moo = 0 unbestimmt wird, bedarf es eines Grenzuberganges, aus we1chemsich ergibt:(+1fJ -M')(1 -fJ -~~ C1>~; + fJ)200 c1> (1 -fJ)l-c1>o'Daraus folgt nach elementarer Rechnung die Formel von v. KARMAN undTSIEN:c1>fJ1+ "2(I-fJ)c1>o(61)Fur kleine Storungen (c1>O <{ 1) ergibt sich sofort die Pr. Regel fur den Druekkoeffizienten Gl. (42). Bei stiirkeren Storungen ergibt sich in Ubergeschwindigkeitsgebieten (c1>O < 0) eine Erhohung der Unterdrucke, bei Anwendung auf denAuftrieb also eine ErhOhung tiber die Pro Regel hinaus .. Der Anwendungsbereich von Gl.
(61) ist keineswegs auf in Anstromrichtungsymmetrische Stromungen beschrankt, da die {}-Verteilung auf P = 0 in derStaupunktgegend weitgehend unabhiingig von Moo sein durfte. Allerdingsrucken die Potentiallinien bei Zirkulation an der Druckseite im Mittel wenigerstark zusammen als an der Saugseite, ein Effekt, der sich durch die Kompressihilitiit nur verstiirkt. Das fUhrt dazu, daB eine hei Moo = 0 geschlossene Konturbei Zirkulation nach exakter nachtriiglicher Berechnung olfene Profilformenergibt, worauf die Autoren der Gl. (61) selbst hinweisen. Dieser Mangel kann aberzuniichst nicht als starker angenommen werden als die anderen Fehler, welcheallen den stark vereinfachenden Verbesserungen der Pro Regel anhaften [Gl.
(48),(61), (65)]. Aus ihnen ergibt sich ein kleiner Schub oder Widerstand, sie gebendie maxim ale Starung und die Storung Null an gleichen Stellen wie bei~W00 = 0 uSW., alles Fehler, die mit der Einfachheit der Formeln in Kauf genommen werden mussen. Gute und Gultigkeitsbereich muB stets an exakterenMethoden gepruft werden. In Abb. 136 sind die nach Gl. (61) berechnetenkritischen Mach-Zahlen am elliptischen Zylinder wiedergegeben, die als sehrzufriedenstellend anzusehen sind.
In Abb. 133 sind Vergleiche mit Versuchenwiedergegeben, wobei absichtlich die Verhiiltnisse nahe der kritischen Geschwindigkeit, also an der Grenze des Gultigkeitsbereiches der Formel, gewahltwurden.Ob eine allzu genaue Berucksichtigung der Profilform in Anbetracht derNaherung der Adiabate durch eine Gerade sinnvoll ist, muB bezweifelt werden.VII, 10. Hodographenrnethoden, Ringleb-Forrnel.25710. Hodographenmethoden, Ringleb-Formel.Die Hauptschwierigkeiten beim Aufsuchen von Losungen gasdynamischerProbleme ergeben sich daraus, daB die charakteristischen Stromungseigenschaftengekennzeichnet sind durch M> 1 und M < 1, also nicht vom Ort in derStromungsebene, sondern von dem dort herrschenden Zustand abhangen.
SchonTSCHAPLIGIN wahlte daher die ZustandsgroBen W,-& als unabhangige Variableund gelangte zu den Gl. (VI, 93) und (VI,94), fur die er allgemeine Losungenangab. Wird angesetzt:00P=2: P n (W) (An cos n-& + Bnsin n-&),n=O(62)so ergibt sich Pals Losung von Gl. (VI, 94), wenn die Funktionen P n folgendegewohnliche Differentialgleichungen erfullen:W2 (2 _~,,-21 _ W2)d2 P ndW2_n2 (C 02-+ W (~ +2"~l W2) P n3-2=" _ W2)dP ~dW+(63)O.Gl.
(63) laBt sich in die hypergeometrische Differentialgleichung uberfuhren,deren Losungen allerdings nicht tabuliert sind. Co kannaus Gl. (63) leicht, etwadurch Einfuhren von M* fUr W, eliminiert werden. Aus Gl. (63) ergeben sich dieFunktionen P n als konvergente Polynome:Pn=00Ic.
W',(64)v=nfUr deren Koeffizienten c. sich Rekursionsformeln angeben lassen. Es erweistsich hier eben der groBe Vorteil, den eine lineare Differentialgleichung wieGl. (VI, 94) dadurch bietet, daB sich Losungen superponieren lassen. FUr dichtebestandige Stromung (co-oo) geht P n uber in P n = W"', wie mit Gl. (63) leichteinzusehen ist.Das Auffinden der Losung in der Stromungsebene wurde schon inAbschnitt VI, 15 gezeigt, die dort wiedergegebene Losung von RINGLEB entspricht einem Ansatz nach gebrochenen Potenzen in Gl.
(64).Die entscheidenden Schwierigkeiten ergeben sich bei allen Hodographenmethoden aus der Darstellung der Randbedingungen. Eine Kurve im Hodographen ist eine Beziehung zwischen v und u. Diese Beziehung auf der Profilstromlinie ist zu berechnen, wenn die Druckverteilung bestimmt werden soll.D. h. aber, daB der VerI auf des Bildes der Profilstromlinie im Hodographenunbekannt ist. Dazu kommt, daB ein Zustand in der Stromung im allgemeinenzweimal auftritt, wenn es sich urn ein Umstromungsproblem handelt. InAbb. 139 ist der VerI auf des Bildes der Profilstromlinie und einer zweitenStromlinie im Hodographen fUr ein in Anstromrichtung symmetrisches Profilskizziert.
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