K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 78
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Wahrend aber)bei Moo < 1 stets 0 < f3 < 1 ist, kanncot iX, der entsprechende Faktor beiAbb. u.s. Singularitateobel egung bel groller Mach"Moo> 1, uber aIle Grenzen wachsen,ZahJ.also auch den Wert ix = {}o erreichen.Dann wachst aber auch A uber aIle Grenzen und die Methode der Singularitatenversagt, wenn mit der Mach-Zahl der Anstromung linearisiert wird. Dies kannnach folgender Uberlegung nicht uberraschen (Abb. 148). 1st der Mach-Winkelkleiner als der halbe KegelOffnungswinkel (ix <{}o), dann kann ein Punkt derKegeloberflache nur von SteIlen vor der Kegelspitze beeinfluBt werden. DortmuBten also die Singularitaten angesetzt werden, was aber die ParaIlelanstromunggegen die Annahme zerstoren wiirde.
Die obere Grenze des Integrals in G1. (20)lage dann vor der unteren Grenze! Fur aIle folgenden Formeln fur beliebigeKorperformen gilt also eine mit ix --{}o abnehmende Genauigkeit.268 VIII. Stationare, reibungsfreie ebene u. achsensymmetrische Uberschallstromung.Bei Moo < 1 wurde in Gl. (VII, 22) der erste Summand als um etwa zweiGroBenordnungen kleiner als die beiden nachsten bei y -; 0 abgeschatzt, womitwieder v y = konst. folgt. Bei Moo > 1 tritt im erst en Summanden cot 2 x anStelle von - {J2, womit die Abschatzung nun stark Machzahl-abhangig wird. Eswird sich zeigen, daB bei sehr groBem Moo auch die Drehungsfreiheit der Stromungnicht mehr ausreichend verwirklicht ist.Mit den genannten Einschrankungen in der Genauigkeit ergibt sich ausGl.
(20) und (21):u-u=u-0000{}02In~· + {X2=y_2_cot2_ex ..ycot ex'= 11V00{} 20V(Xy)"-=-~ot2-~,(22)und folglich am Kegel:w -UU oo= {}02oo[1In+ In 2 + In (cot{}ox)+ 21] + ... ,(23)mit al,lffallender Ahnlichkeit zu den entsprechenden Formeln (VII, 24) und(VII, 25).Die Belegungsfunktion q(~) in Gl. (20) IaBt sich mit der Korperform beiMoo > 1 nicht auf gleich kurzem Weg in Verbindung bringen wie bei Moo < 1.Das Ziel kann etwa auf folgende Art erreicht werden. Fur die Umgebung derAchse wird vor aHem der q-Wert im nachstgeIegenen Achsenpunkt nebst seinenAbleitungen verantwortlich sein.
Daher sei q an der Stelle ~ = x entwickelt,wonach die Integration mit folgendem Resultat ausgefiihrt werden kann:JV(~ -x/~ y2c~t2x--4 Jr gJ=ycot a.qJ V(~ ~x;~ ::Y cot a.X-+ q'ex-ocot; ex-+0x - y cot a.+ q~'JV(~ (~~)2-:)~~2~~~t~=~ +o=qln1x -+ ~' [- x Vx 2-cot - exy-.=:-Vx" -y2 cot 2-y2 cot" exI'+ y2 cotXq V-2--~t2x -y co' x-2x In+exI ; - ~! yx cot~y" cot22ex-I].Daraus ergibt sich dann:4 Jr gJ y Y=_L2xq - - - = = . __-=- 1/ x 2 - y2 cot 2 exy 2 cot2x Inq1__V,y2 cot 2 ex----==--=-cc.-=-=-.-Vx 2 -cot 2 ex-==-1 + ... .y2+y cotexx 2 - y2 cot 2 exx -(24)Diese Formel zeigt wieder, daB die Genauigkeit einer Entwicklung nach ywesentlich von der GroBe von cot x abhangen muB. Mit den daraus folgendenEinschrankungen ergibt sich mit F als Korperquerschnitt [siehe Gl. (VI, 109)]:q=lim (4JrgJy y) = 4Jry->-O~hXh U oo+= 2 ~~ tl oo .(25)VIII, 3.
Berechnung wenig gestorter achsensymmetrischer Stromungen.269Es sei darauf hingewiese.'-:l, daB die Entwicklung der Belegungsfunktion q( g) ander Stelle x eigentlich nicht Uberschalleigenschaften entspricht, da sich ja q(x) bereitsauBerhalb des Integrationsintervalles und Abhangigkeitskegels befindet. Darnachware eine Entwicklung an der Stelle x - y cot IX richtiger, von welcher der Zustandim Punkte x, yauch am meisten abhangen wird. Doch solI hier die Verbindung mitF(x)mittels Gl. (VI, 109) hergestellt werden, weshalb die Entwicklung an der Stelle q(x)vorzuziehen ist. Auch Gl.
(VI, 109) gibt eine Beziehung an Punkten, welche nicht imgegenseitigen EinfluBkegel liegen. Die Verhaltnisse an der Achse werden eben durchdas singulare Verhalten der Stromung an dieser Stelle heherrscht und von der ortlichen Mach-Zahl kaum beeinfluf3t, es sei denn, daB diese sehr hoch ist.Mit GI (20) ist das Potential also wieder auf die Querschnittsverteilung zuruckgefuhrt, wobei sich das Resultat von der Gl. (VII, 23) fur Moo < 1 urn denFaktor 2 unterscheidet:(26)So einfach wie bei Moo < 1 lassen sich nun aber die Komponenten nicht ableiten. 1m Nenner von Gl. (26) steht ein Ausdruck, welcher an der oberen Grenzewie die Wurzel eines kleinen Betrages verschwindet, also noch integrabel ist.Nach einer Ableitung nach x oder y wurde wegen der Veranderlichkeit der oberenGrenze diese Wurzel selbst an der oberen Grenze genommen werden mussen,wahrend der Integrand nun die dritte Potenz der Wurzel im Nenner aufweisenwurde.
Es ergaben sich zwei unendlich groBe Summanden entgegengesetztenVorzeichens. Diese mathematisch unbrauchbare Darstellungsweise trat bei derKegelstromung nicht in Erscheinung, weil dortdie Integration vor der Ableitung.ausgefuhrt werden konnte. Die Schwierigkeit sei hier mit Hilfe einer partiellenIntegration umgangen, wodurch der Singularitat des Integranden an der oberenGrenze leicht begegnet werden kann. Es sei dabei angenommen, daB der Korperin x= 0 eine Spitze habe, daB dort also ~: = 0 ist.-f ~2~ lnl~-x + V(~_X)2_y2cot21X1 d~-f dd2~ I~ + V(~ x-v cot",=ox-v cot '"=(dd F ) In (y cot IX)Inx x-v cot",-xX)2 -y2 cot 2 IXI\0oDer Index im ersten Ausdruck bedeutet, daB die Funktiond~.~: an der Stellex - y cot IX zu nehmen ist.
Nach den Regeln der Differentiation von Integralenveranderlicher Grenze ist:-2:n:qJ., =Uoo(dd2~) In (y cot IX) - (dd2~) In (y cot IX)xxx-vcoto:x-vcoto:x-v cot '"+f ddg2F2 -:-;~==-=d=g======::=_V(g oX)2 -y2 cot2IX+270 VIII. Stationare, reibungsfreie ebene u. achsensymmetrische Uberschallstromung.Etwas langwieriger ist die Ableitung von cpy. Das Resultat sind die Formeln vonKARMAN-MoORE4 :x- y co t a.CPx=U -u=~: JVti :~L~~:2 cot2-=cx - d~;= -o:y J v!(~(~):)~2:+~::~~x- y cotcpy=v=-2(27)<XudroBei der Berechnung der Geschwindigkeit oder des Druekkoeffizienten ist wiebei M = < I die Oberflachenneigung zu berucksichtigen, wie dies schon bei derKegelformel (23) geschehen ist (Abb.
149).Wie dort und ahnIich wie bei M= < I, beginnteine Entwicklung von W - u= auf ?! = h mit:~-lu=+ ~2:7:__ (d2~_)Indx x=(~~-)i""x(28)dem Glieder von der Grol3enordnung h folgen.Diese enthalten cot IX nieht 5 und konnen nur beiaul3erordentlich schlanken, in der Praxis kaumvorkommenden Korpern vernachlassigt werden.Das Gl. (28) entsprechende Glied in Gl. (VII, 25)-/J,2 !-Z- -'----'--- - -'--- --+Ienthalt nur h, das Verhaltnis des ortlichen Korperradius zur KorperIange, wah rend hier hjx, dasVerhaltnis vom Radius zum Spitzenabstand steht.Bei M = > I kann es eben nur auf die KarperAbb.
149.Druckverteilung nachlange vor der betrachteten Stelle ankommen.KARMAN-MoORE (-----) und nachWah rend ferner bei M= < I (GI. VII, 26) derVersuchcn (- __ ).Kompressibilitatseffekt besonders bei M -->- I,f3 -->- 0 wesentlich wird, kann er nun auch bei M = -->- =, cot IX -->- = wesentlichwerden, wobei gleichzeitig die Genauigkeit abnimmt. Entsprechend zu Gl.
(VII, 26)kann hier gesehrieben werden mit Moo =(cot IX = I) alsVergleichs-Machzahl:2=_ 1) Moo =(~U ooV2(_w._ 1) + _1n (!!!!:-) x In (cotu=liz2dx 2IX).(29)Diese Formel kann auch direkt aus dem Ansatz (25) und (26) abgeleitetwerden. Sie ist uns schon von Abschnitt VI, 20 her bekannt.Bei sehr schlanken Korpern ergibt sich aul3erhalb von Schallnahe jedoch beinicht zu hohen Mach-Zahlen damit der Druekwiderstand unabhangig von M=.Das gilt auch fur Geschosse, abgesehen vom Bodendruck.
Dieser andert siehallerdings in theoretisch noeh unbereehenbarer Weise sehr stark mit Moo, washauptverantwortlich ist fur die starke Maeh-ZahI-Abhangigkeit der Geschol3widerstands bei werte.Dem Problem des Korpers geringsten Widerstandes sind mehrere ArbeitengewidmeP, 8, 63. Die Praxis erfordert weniger ein bestimmtes Dickenverhaltnis alsein maglichst gro13es Volumen und einen mogliehst weit vorn gelegenen Schwerpunkt bei gegebenem Kaliber.
Bei einem Drehkorper sind die Stellen grol3erDicke fur den Widerstand maJ3gebend, wiihrend die Umgebung der Spitze wegender geringen Angriffsflache von untergeordneter Bedeutung ist. 1m Gegensatzzu den Verhaltnissen bei dem Profil zeigen daher aile Geschol3formen kleinstenWiderstandes an der Spitze einen starken Dickenanstieg, womit die Stell engroJ3er Dicke und gro13er Oberflache dann urn so flacher gebaut werden konnen.VIII, 3. Berechnung wenig gestorter achsensymmetrischer Stromungen.271Die Anderung der Stromung mit dem Anstellwinkel e kann mit Beziehung aufdie Ableitung bei Moo < 1 nun schnell berechnet werden. (Die erste Arbeitstammt hier von H.
S. TSIEN57.) Fur das abgeleitete Potential<p. Gl. (VII, 29) trittmit fJ2 = - cot 2 1X nun an Stelle von Gl. (VII, 30) einfach:co t 21X<P. xx -<p. rr -+ 211 <p. r~rr<p•.~- 0.(30)Formal diesel be Gleichung ergibt sich fur <py, wenn Gl. (18) nach y abgeleitetwird. Also ist die Losung von (30) formal dieselbe wie v. Zur ErfUllung der Randbedingung im Anstromgebiet (v. = u oo ) sei nun noch die line are Funktion U oo raddiert (wie bei Moo < 1). Das gibt mit Gl. (27):J. Vx-reot",<p. =U ooU OOr --2n r.od 2Gdl;2 (I; -x)r2 cot2 ex.X)2 -(I; -d~,worin G(~) zunachst keine physikalische Bedeutung hat und nur so gewahltwerden muB, daB die Randbedingung am Korper Gl.
(VI, 121): WI =<P.r = 0fUr r = h(x) erfUllt ist. Hier kann nun gleich die Entwicklung Gl. (24) verwendet werden, wobei sich mit Gl. (25) ergibt:dGxd 2Gr2 cot2 ex.4 n <p. r = 4 n U oo r22 U oo dx- 2 U oo dx 2222II x - r2 cot ex.V x - r2 cot2 ex.++U oo-d 3G2-d3 r cot ex In ...._.xx-r cot ex.V~==;;:==;;==-,X2 - r2 cot ex.2woraus sich folgende Ableitungen ergeben:dGr cot2 ex.4nrp.x =4nu. = - 2 uoo ([X (x2-r 2 cot2(X)3/,d 2Gx3+2uoo -d 3G-~---3uoo-dx 2 r (x 2 - r2 cot 2 (X)3/,4 n <Per4 n U oo -=-+Ud3G [dx 3-002U oodx 3r cot (Xr2 cot2 (XV x 2_dG X (X2 - 2 r2 cot2 IX)2 U oo'dx r 2 (2x - r2 co t2 iX )3/ 2 d 2Gx 2 cot2 (Xdx2 (X2- r2 cot2 iX)3/, +x cot iXr2 cot2 iXVx 2 -cot-1XIn+2r cotVX2 -iX+--J==;;===;;==~x-+ ...r2 cot 2 iX]+Fur kleine Korperdicken r = h(x) ist in der Entwicklung von <P.r das erste derG-Glieder ausschlaggebend, wenn die Mach-Zahlen nicht zu groB sind.
Damitfolgt aus der Randbedingung:dG 1r =h(x): 0 =4nu oo -2uoo ([XhF;dG2 ([X =4nh2 =4F.In der Entwicklung fur u. kommt es bei kleinem r offenbar auf das zweite Gliedan. Damit ist:u.=r[J.x=rp.x cos X=n1U oo-y;-dFdxC03X=dh2 Uoo dxC03X,(31)in voller Dbereinstimmung mit der entsprechenden Formel bei UnterschaUgeschwindigkeiten (VII, 32).
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