K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 80
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Dies folgt daraus, daB dieses umgekehrteProblem mit genau denselben Gleichungen zubehandeln ist, nur mit der Voraussetzung: > u.Diese StoBpolare fiir gegebene Anstromung hatbeispielsweise praktische Bedeutung fiir die Konstruktion von Schwanzwellen. Eine entsprechendeFragestellung trat beim StoB in instationarerStromung auf (Abschnitt III, 14).Bei Variation der Anstromgeschwindigkeitergibt sich das Busemannsche StoBpolarendiagramm (Tafel I).
Mit Hilfe des Diagrammslassen sich nun wichtige Aufgaben einfach IOsen.Sie konnen entweder als exakte Losungen einfacher Probleme oder auch als Losungen in einer Abb. 153. Cartesisches Blatt GJ. (3U).kleinen Umgebung einer komplizierten Stromungangesehen werden. Vielfach besteht starke Verwandtschaft mit entsprechendeninstationaren Problemen. Ein von A.
BUSEMANN abweichendes praktische3Diagramm gibt L. PASCUCCIM an.Eine Zusammenstellung von Formeln nebst Tabellen und Diagrammen gibtF. SCHUBERT9. Beispielsweise ist der Ablenkungswinkel gegeben durch:ucot f}=tg Yl~M2M2:2sm y - l]-1 .(40)5. Der Sto6 an einem Keil.Die Konstruktion des StoBes an einem Keil odeI' an einer konkav geknicktenWand stellt dieselbe Aufgabe dar. In jedem FaIle ist die Machsche Zahl der Anstromung gegeben.
StoBfrontrichtung und Geschwindigkeithinter dem StoB ist mit HiIfederdort vorgeschriebenen Stromungsrichtung zu bestimmen.Bei der in Abb. 154 wiedergegebenen geknickten Wandist zunachst die durch M* gegebene StoBpolare im Polarendiagramm aufzusuchen. Das Abb. 154. Stol3 am Wandknick in der Stromungsebene und imHodographen (Stol3polarendiagramm).kann entweder durch Ausmessen erfolgen (M* = 1 etwa= 20 em), oder es kann in Tab. VIII, 2 (S.446) die zu M* gehOrige Ch·Zahl aufgesucht werden, nach welcher die entsprechende StoBpolare bezeichnet ist.
DieZweckmaBigkeit del' Verwendung dieser Ch-Zahlen wird sich spater im Zusammenhang mit der Charakteristikenmethode erweisen. Aus der Richtung f} hinter demStoB ergibt sich unmittelbar W. Die Verbindungsgerade der Endpunkte von den18*276 VIII. Stationare, reibungsfreie ebene u. achsensymmetrische Uberschallstr6mung.Vektoren W und TV stellt nach Abb. 152 die Normalenrichtung auf die StoBfrontdar. Damit ist der Zustand hinter dem StoB vollig bekannt.
Der Druck kann bei cspielsweise entweder aus Tab. II, 1 (S.29) mit M sin y an Stelle von M bestimmt werden, oder auch mit Hilfe der Bernoullischen Gleichung (also mitTafel III), wobei das Resultat noch mit dem aus dem StoBpolarendiagrammentnehmbaren Ruhedruckverhaltnis zu multiplizieren ist.Die in Abb. 154 gezeigte Stromung bildet das Gegenstuck zur Prandtl:Meyer-Expansion an einem konvexen Wandknick.
Ubrigens gibt die StoBpolarefUr eine bestimmte nicht zu groBe Ablenkung zwei mogliche Losungen. Nebender eben verwendeten gibt es noch eine mit steilerer StoBfront und Unterschallgeschwindigkeit nach dem StoB.1m Gebiet dieser "kraftigen" Losung nimmt der Druck mit wachsendemKnickwinkel {} abo Eine kleine WinkelvergroBerung hatte also eine Druckabnahme an der Wand zur Folge, was offenbar zu instabilen Stromungsverhaltnissen fUhrtlO.
Diese zweite Losung kommt nur in Frage, wenn stromabwartsAbb. 155. Anliegende und abgeHiste KopfweIIe.Abb. 156. Allgemeine Lage eines Keiles in "OberschaIIstriimung.noch starkere Hindernisse auftreten, welche die Geschwindigkeit auf M < 1 abbremsen. Durch die Unterschallstromung wirkt das Hindernis dann stromaufwarts und druckt den StoB gegen die Anstromung.Bei verschwindendem Knickwinkel {} ginge von der Knickstelle nur eine::Vlachsche Welle mit verschwindendem Druckanstieg aus. Bei langsamer Steigerung von {} wurde schlieBlich die hier wiedergegebene Losung erreicht. Beiweiterer Steigerung von {} wiirde schlieBlich - abhangig von der Mach-Zahl derAnstromung - ein f}max erreicht, von welchem an die StoBfront am Knick nichtmehr anliegen kann.
Eine genaue Untersuchung l l zeigt, daB die StoBfront bereitsein wenig vor f} = f}max yom Knick abruckt, namlich dann, wenn hinter der FrontSchallgeschwindigkeit erreicht wird. Praktisch ist dieser Unterschied allerdingsnur bei sehr genauer Beobachtung bemerkbar. Bei zu groBem Winkel f} muB derStoB, die Kopfwelle, vor dem Hindernis liegen. Ihr Abstand yom Hindernis muBdabei von der GroBe des Hindernisses selbst abhangen (Abb. 155). :Mit VergroBerung des Hindernisses bei Beibehalten der Form muB der StoB also stromaufwarts rucken. Das heiBt aber, daB es fur einen unendlich langen Keil mit{} > {}max keine Stromung mit Uberschallgeschwindigkeit im Anstromgebiet gibt.Die Lange des Keiles bei {} < {}max dagegen ist auf die Stromungsverhaltnisse ander Spitze ohne EinfluB.
Es ist interessant, daB sich bei Uberschallanstromungauf so einfache Weise unerfUllbare Randbedingungen aufstellen lassen.Die Berechnung einer abgelosten Kopfwelle stellt eine schwierige Aufgabedar, weil Unter- und Uberschallstromung nebeneinander auftreten.
Sie gehortdamit zum Problemkreis der schallnahen Stromungen.VIII, 7. Reflexion des StoJ3es am freien Strahlrand, Herzkurve.277Bei einem beliebig asymmetrischen Keil mit beliebiger Anstromrichtung istdas StoBpolarendiagramm entsprechend zu drehen. Wenn die Ablenkungswinkelnur unter der Hochstgrenze fill anliegende Kopfwellen liegen, ergeben sich obenund unten zwei voneinander unabhangige Losungen (Abb. 156). Die eineSeite kann sich' auf der anderen ja nicht bemerkbar machen.
Das andert sichsofort, wenn der Keil zu kraftig ist und die Kopfwelle sich ablOst.6. Reflexion des StoBes an einer Wand.Diese Aufgabe kann ganz analog zu Abschnitt III, 18 (Abb. 39) behandeltwerden. Bei einer auf eine Wand zustrebenden StoBfront (Abb. 157) ist dieStromungsrichtung hinter der Front (Feld 2) der Wand zugekehrt. Das Polarendiagramm ist nun auf die Stromungsrichtung in Feld 2 einzustellen. Der Schnittpunkt der zugehorigen StoBpolaren mit der Wandrichtung gibt den Zustand imFeld 3 hinter dem reflektierten StoB. Im Polarendiagramm werden die ZustandeAbb.
157. Reflexion eines Stolles an einer Wand.(_____ ) Stromllnie.Abb. 158.Reflexion im vollstiindigen Polarenbild.am besten durch die Endpunkte der entsprechenden Vektoren gekennzeichnet.Ein StoB wird an der festen Wand als StoB reflektiert.Wie beim StoB an der konkaven Ecke gibt es wieder zwei Losungen im Feld 3,wobei wieder der schwachere StoB zu wahlen ist.
Es kann aber wie beim vorausgegangenen Beispiel auch gar keine Losung geben, wenn der erste StoB so kraftigist, daB die Umlenkung von Richtung 2 auf Richtung 3 nicht mehr moglichist. Dann kommt schon der erste StoB nicht zustande.Ein 1iberblick tiber die moglichen Reflexionen ergibt sich, wenn von der vollstandigen Polaren des Zustandes 2 ausgegangen wird (Abb. 158). Dannliegt der Punkt I auf dem Teil fir > W und der Zustand 3 auf dem Teil fir < W.Beide Vektoren mtissen in eine Richtung fallen, liegen also auf einer Geradendurch den Ursprung des Hodographen.
Dabei ergibt sich sofort, daB es fUr zugroBe Werle von I - nun bei gegebenem Zustand 2 - keinen Zustand 3 gibt.Im allgemeinen unterscheiden sich "Einfallswinkel" und "Reflexionswinkel",werden aber im Grenzfall sehr schwacher StoBe (Machscher Linien) einandergleich.7. Reflexion des StoBes am freien Strahlrand, Herzkurve.Bei der Reflexion eines StoBes am freien Strahlrand (Abb. 159, vgl. auchAbb.43) solI der Druck nach der Reflexion, Feld 3, dem vor der Reflexion,Feld I, gleich sein. Dabei ist vorausgesetzt, daB sich das Medium jenseits desStrahlrandes in Ruhe befindet. Im Reflexionspunkt muB der Druck also sprunghaft absinken. Das ist nur so moglich, daB sich an dieser Stelle das Zentrum einer278 VIII.
Stationare, reibungsfreie ebene u. achsensymmetrische Uberschallstr6mung.Prandtl-Meyer-Expansion befindet, in der der Druck vom Werte hinter demStoB [Feld 2] auf den Wert vor dem StoB abfallt. Bei schwachen StoBen(M sin y - 1 ~ 1) bleibt die Entropie naherungsweise konstant. Die Forderunggleichen Druckes am Strahlrand ist dann mit Rucksicht auf die BernoullischeGleichung identisch mit der Forderung konstanter Geschwindigkeit. In diese,sehr haufig benutzten "i8entropen N aherung" kann dieAufgabe leicht im HodographengelOst werden, indem dort auBerder StoBpolaren noch diePrandtl-Meyer-Stromung eingetragen wird .
Die Expansionerfolgt im gleichen Sinne wie inAbb. 109, so daB Formel (VI, 81)direkt verwendet werden kann,.A bb. 159. ReflexioD eines scltwachen toBes am freien Strahlrand.bis auf eine zu {} zu addierendeKonstante, welche so zu wahlen ist, daB {} bei der Machschen Zahl hinterdem StoB auch der Stromungsrichtung hinter dem StoB entspricht. Abb. 159zeigt, daB sich die Stromung im StoB- und Expansionsteil in gleicher Richtungdreht.
Die Reflexion fuhrt zu einem scharfen Knick im Strahlrand, wobeidie Verdichtung als Verdunnung zuruckgeworfen wird.Bei starken 8toBen muB der Ruhedruckabfall berucksichtigt werden. Istdieser nicht groB, so ergibt sich durch Entwickeln der Bernoullischen Gleichung(Tafel II, 5) nach dem Ruhedruck folgendeAnderung der Geschwindigkeit mit demRuhedruck bei festgehaltenem statischenDruck:JW---w-=Pip''.0IAbb. 160. Berzkurvendiagramm ( tollpolarep'in der log p ' D·Ebene).1XM2(PoPo-I ) + . ..(41)1m Schnittpunkt der Prandtl-Meyer-Kurvemit jenem Kreis im Hodographen, welcheder durch den Ruhedruckabfall vermindertenGeschwindigkeit entspricht, findet man dannden Zustand 3 nach der Reflexion.Fur Aufgaben, welche Druckbedingungenenthalten, empfiehlt es sich aber im folgendenuberhaupt ein Diagramm zu verwenden, welches als Koordinaten Druck und Stromungswinkel {} aufweist im Gegensatz zum Hodographen, dessen Polarkoordinaten W und {}sind.
Es ist ublich und praktisch als kartesischeKoordinaten log -'L und {} zu verwendenPl(log = Logarithmus mit der Basis 10). Es ist dabei von untergeordneterBedeutung, auf welchen Druck PI bezogen wird - in Frage kame etwa derRuhedruck oder der statische Druck vor dem StoB - weil dies nur Einflul3auf die Lage des O-Punktes, nicht aber auf den MaBstab hat. Die Geradelog LPI= 0(p= PI) gibt den Bezugsdruck wieder. Die in die log L, {}-EbenePIgezeichnete Stol3polare heiBt ihrer Form nach " Herzkurve" (Abb. 160). BeiSchallnahe zeigt sie noch deutliche Ahnlichkeit mit der Busemannschen 8toBpolaren.
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