K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 79
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Dies gilt auch fUr W••.Daher gelten die fUr Moo < 1 abgeleiteten Formeln auch fur Moo> 1, insbesondere die Formeln (VII, 35) und (VII, 36) fUr em und en einschlieBlich der physikalischen Folgerungen, allerdings mit abnehmender Genauigkeit, je272 VIII. Stationare, reibungsfreie ebene u. achsensymmetrische Uberschallstr6mung.mehr sich der Machsche Winkel der Oberflachenneigung nahert.
Nach der Ableitung von Normalkraft und Moment in Abschnitt VII, 4 aus der inkompressiblenStromung in einer Querschnittsebene kann dieses Resultat nicht mehr verwundern.Bei der Anwendung von Linearisierungen bei Moo > 1 ist stets zu beachten,daB die Genauigkeit vom Verhaltnis der Neigungen von Stromlinien und Machlinien abhangt, daB die Naherung mit steigender Mach-Zahl also schlechter wird.Wahrend fur unangestellte Rotationskorper stets auf gute Charakteristikenverfahren zuruckgegriffen werden kann, sind entsprechende einfache Verfahrenfur angestellte Rotationskorper noch nicht ausgearbeitet.
Lediglich fur endlichdicke Kegel gibt Z. KOPAL5o exakte Losungen. Wahrend die einfache Formel (31)vollige Unabhangigkeit von cot (X ergibt, steigt nach KOPAL der Normalkraftbeiwert mit M. Nun kann man zwar uber die in Gl. (31) angegebenen Gliederhinaus auch bei Linearisierung noch weitere Machzahl-abhangige Glieder gewinnen, doch geben diese eine Abnahme des Normalkraftbeiwertes mit M. EinVersuch einer Verfeinerung uber Gl.
(31) hinaus gibt also eine Verschlechterungder Resultate!Die Umstromung nicht angestellter Rotationskorper laBt sich nur unter Vernachlassigung der Reibung sehr genau berechnen. Dabei zeigt sich, daB die Abhangigkeit von der Mach-Zahl infolge der hier getroffenen Vereinfachungenoft falsch wiedergegeben werden. Deshalb hat die hier wiedergegebene Methodefur die direkte Anwendung hauptsachlich fur angestellte Korper Bedeutung, wodie Formeln auch bei beliebiger Schallnahe noch gel ten diirften. Wichtig sind dieFormeln dieses Abschnittes auch als Spezialfal1 und Ausgangspunkt weitergehender Methoden, wie sich noch zeigen wird.4. Der schiefe Verdichtungssto8.Bei Verzicht auf die Einschrankung, welche durch die Voraussetzung kleinerStorungen gegeben ist, muB mit dem Auftreten von VerdichtungsstoBen gerechnet werden.
DaB allgemeine Stromungsformen ohne solche StoBe gar nichtmoglich sind, ergibt schon eine Betrachtung der Prandtl-Meyer-EckenstromungAbb. 150. Prandtl-1tfeyer·Verdich tungsstrijmung.Abb. 151. Senkrechter stationarer StoB im bewegtenSystem.(Abb. 109). Diese exakte Losung kann in zwei Richtungen durchlaufenwerden. Fur die negative Richtung in Abb. 109 ergibt sich eine stetigeVerdichtungsstromung, bei welcher ane Mach-Linien in einem Punkte P(Abb. 150) zusammenlaufen. Es ist unmoglich, daB die Stromung in derkonkaven Ecke bei P stetig ist, wenn Parallelstromung auch noch oberhalbder letztgezeichneten Stromlinie herrscht. Denn die erste Storung der stetigenStromung kann erst bei der vom Anfangspunkt E der Wandkrummung ausgehenden Mach-Linie einsetzen. Diese wird jedoch von den spateren Mach-Linienim Punkte P durchkreuzt.
Yom Punkte P muB also eine Storung ausgehen,welche steiler in der Stromung steht als die Mach-Linie der Anstromung. DiesmuB eine Storung sein mit groBerer Relativgeschwindigkeit zum Gas, als einekleine Storung besitzt. Es ist also offenbar ein schief in der Stromung liegender StoB.VIII, 4. Der schiefe Verdichtungssto13.273Zur Aufstellung der StoBbeziehungen sei ein stationarer senkrechter StoB auseinem Bezugssystem betrachtet, welches sich abwarts in Richtung der Front dessenkrechten StoBes bewegt (Abb. 151). Die friiheren Stromungsgeschwindigkeiten vor und hinter dem senkrechten StoB erscheinen nun als N ormalkomponenten der Geschwindigkeiten auf die StoBfront (W m Wn) und es gelten alle inTail II abgeleiteten StoBformeln, wenn an Stene der Geschwindigkeitsbetragenun die entsprechenden Normalkomponenten gesetzt werden. Zu diesen tretenaber noch Tangentialkomponenten CWt' Wt), die einander gleich sind:Wt.Wt =(32)Die StoBfront und die geanderte Anstromrichtung bilden nun den Sto(3frontwinkel y.
Es ist:(33)Wn = Wsiny,Wt = W cosy.Der Winkel y beim schiefen StoB entspricht dem Mach-Winkel ex bei derMachschen Welle. Er geht fUr schwache Storungen in diesen iiber, hangt aberim allgemeinen nicht - wie ex - von der Mach-Zahl der Anstromung allein,sondern auch von der StoBstarke, also vom Zustand hinter der StoBfront aboWahrend der Zustand hinter dem senkrechten StoB (y = 90°) eindeutig durchden Zustand davor gegeben ist, hangt der Zustand hinter dem schiefen StoBnoch vom Winkel y ab, so daB in die StoBgleichungen nun zwei Parameter eingehen: M und y, oder Wje* = M* und y.Der thermodynamische Zustand bleibt aus jedem beliebig bewegten Systembetrachtet der gleiche, er ist bewegungsinvariant.
Das Verhaltnis thermischerZustandsgroBen - fruher nur abhangig von M = W Ie - ist nur Funktion ,-onWnlc, also mit G1. (33) nur Funktion von:Wn~c-W.slny ==cM .smy.(34)Denn auch c ist bewegungsinvariant, weil es nur vom thermischen Zustand abhiingt. Fur das id. Gas konst. sp. W. ergeben sich also nach G1. (II, 34), (II, 42)und (34) folgende Beziehungen:~e=1 _ _2_(1_P1P=,,+ 12+~,,+1 (M2 sin y -(:2 _TT -_ C2-eoeo=1M2 sin2 yPoPo) =1M 2 sin2y[1 + ,,-1,,+ 1 (M2sin2 y -1)]',(35)1)''r1 +"2"+ 1 (M2'sm y - 1 )-I . ,- 1 + ,,+ 1 (M2 sm. y - 1)I.,[1 + ~(M2 sin2 -1)][1- ,,+1_2_ (1- 1.
)],,+1yIM2 sin2 y,,-1221=~,,-1M2 sm2y,,-1.Da das Ruhedruckverhaltnis nur vom Entropieanstieg abhangt, ist es ebenfallsbewegungsinvariant.Die Definition des Ruhedruckes selbst lieB dieses einfache Ergebnis gar nichterwarten, denn der Ruhezustand ist naturlich keineswegs bewegungsinvariant.Er verliert seine Eigenschaft bei Betrachtung aus einem bewegten Bezugs.system.Der zweite Hauptsatz der Warmelehre verbietet also auch schiefe VerdiinnungsstoBe. Die Extreme des Druckanstieges liegen nach G1.
(34) und G1. (VI, 40) bei:sin y=Oswatitsch, Gasdynamik.1: y = 90°undsin y = ~ : y=ex.1:3274 VIII. Stationare, reibungsfreie ebene u. achsensymmetrische Uberschallstromung.Bei einer bestimmten Mach-Zahl der Anstromung zeigt also der senkrechteStoB den starksten Druckanstieg. Bei verschwindendem Druckanstieg entartet.der schiefe StoB erwartungsgemaB zu einer Machschen Linie.Tab. II, 1 fUr die Zustandsanderungen im senkrechten StoB kann auch furdie Anderungen der thermischen ZustandsgroBen und des Ruhedruckes imschiefen StoB verwendet werden, indem M sin y gebildet wird, und mit dies emZahlenwert in die Kolonne fUr M in Tab. II, 1 eingegangen wird.Die Ruheschallgeschwindigkeit andert sich, wenn sie auf das bewegte Systembezogen wird, vollig.
Werden die GroBen des Systems, in welchem der StoBsenkrecht erscheint, mit einem Strich gekennzeichnet, so schreibt sich der Energiesatz in diesem System wie folgt (T = T'; C =1= c', W' = W n) :Wn2+2CpT _ ~2_u-l-Co+u1u-l'2 _-C*'2•Daraus folgt durch Addieren von W t 2:JP+2CpT -- _2_U_ ICo'2+ Wt+ 1I2 _UU_-C*'2+ Wt2 _ _2_2 _U _ I Co -+ 1I C*2 .Uu _Also gilt folgende Beziehung fUr das mit W t bewegte System:ul W2.'2-C 2 _ __C0-02t,(36)Aus der einfachen Prandtlschen Beziehung (II, 35) folgt dann:Wn· TVn+u-lu+lW2 t-c*2(37).Fur die Anwendung ist eine Beziehung anzustreben, bei welcher sich die Anstromung in x-Richtung, StoBrichtung und Stromungsgeschwindigkeit nach demStoB abhangig vom Ablenkungswinkel, d. i.
der Stromungswinkel f} nach demStoB, ergibt. Zu diesem Zweck ist also TVn undW t durch u und v auszudriicken, wenn u = W nund v = 0 ist. Durch Drehung der Anstromrichtung in Abb. 151 und Aufeinanderlegen derKomponentendreiecke ergibt sich Abb. 152 mitfolgenden Beziehungen:W n = u sin y, W t = u cos y = TV /1.~A.~bb. 152. Komponenten nach dem8chlefen StoB.uvWn =usmy--cosyUundtgyu-u= -~- .vv(38)Damit lassen sich nun und in G1. (37) einfuhren. Esel'gibt sich der analytische Ausdruck fur das "Cartesische Blatt" (Abb.
153):( ;*r[1+ - ! r-vuIc:(;:F'nr em gegebenes u/c* ergibt sich=c~] =L: .~- - 1)( ;: - c~ r-(39)0 fur:UuU1 = _ . - und - = c* c*c*c* .uDas sind die beiden Grenzfalle fUr den senkrechten StoB und die Machsche Linie.Zwischen ihnen liegt ein Zustand maximaler Ablenkung, der nahezu auf Schallgeschwindigkeit, exakt auf etwas Unterschallgeschwindigkeit fuhrt.
Es wirdsich zeigen, daB aIle von dem betrachteten Kurvenstuck - die von A. BUSEMANNVIII, 5. Del' StoI3 an einem Keil.275zuerst eingefiihrte "StofJpolare" - wiedergegebenen Stromungszustande auchauftreten. Del' Rest des Cartesischen Blattes wird gerne als keinem physikali.schen Zustand entsprechend bezeichnet. Dies trifft abel' nur fiir die WerteW > Wmax zu, weil sie negativen Drucken, Temperaturen und Dichten ent·sprachen. Die zwischen u < W < Wmax gelegenen Kurventeile geben dieStromungszustande vor dem StoB, wenn mit u,v = 0 der Zustand hinter dem StoB bezeichnetvwird.
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