K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 69
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(IV, 31)] mitgenommen werden, woraus sich fUr dieGeschwindigkeitsstorung auf y = h folgendes ergibt:f"'oo.JVII, 4. Achsensymmetrische K6rper, linearisierte Gleichung.237Eine Berucksichtigung hoherer Glieder in y am Profil ist wegen der vorausgegangenen VernachIass~gungen sinnIos. Nach Gl. (25) ist der KompressibilitatseinfluB am Korper wieder durch folgende additive GroBe gegeben [siehe Gl.(VI, 152)]:U oo(' W -)ooUMooU oo( W-=UAm Dickenmaximum ist)ooMoo=0+ -21n2F)(d-2In (3.dx(26)x~2~ < 0, weshalb sich dort erwartungsgemaBwegen In (3 < 0 eine Steigerung der Geschwindigkeit aus dem KompressibilitatseinfluB ergibt.Abb.130 gibt die Geschwindigkeitsverteilung an einem Spindelkorper. Mitderselben Dickenverteilung wie beim Kreisbogenzweieck (Abb. 126) ergibtsich nun mittels G1. (23) folgende Geschwindigkeitsverteilung am Korper:W-u00U oo=8 hinI[I -1+ G x (l -x)+ 48 kin x 2 (1 -X)2 ~2]+ II I +--16---h~ x2{fii][1 + VI+16h.;.n(1- xli (j2]In -.[1---.-------..
•-------- . - -.-- .- - -16 hin x(1 ---[6 -[6 -x) {j2.+Vl+i6-hrit X2(32 +16 hin (1- 4·-~2 + (1- 2 X)2}.9 (1- x)] (1- x)9 x] xVBHierin ergibt sich das Ietzte Glied aus der Berucksichtigung der v-Kompo nente. Auf der x-Achse auBerhalb JY-udes Korpers ist unabhangig von der/tooMach-Zahl:0,7';W -u oo_ = 8U ookrit {3 (1- 2 x) +\[-1 + 6X(I-X)]ln(- 1x~)f'o,!QWie beim entsprechenden ebenen tJ,Q,;Problem gibt es also in den Staupunkten eine logarithmische Singularitat.QFormel (26) gibt den Machl,QEinfluB nach Abb.
130 ganz ausgezeichnet wieder, sie gilt auch aufder Achse auBerhalb des K6rpers. -tJ,QSAus Abb. 130 k6nnen die Geschwindigkeitsverteilungen fur KreisAbb. 130. Geschwindigkeitsverteilnng an einer 16% dickenb ogenspindeln anderer Dickenver- Parabelbogenspindclnach Gl. (23) (_ ) und GI.(26) (- -- -) .haltnisse mit Hilfe der Stromlinienanalogie entnommen werden. Darnach ist die Geschwindigkeit beispielsweisebei Moo = 0,80, ~ = 0,60, 1/(32 = 2,8mal so groB wie die Geschwindigkeitsverteilung bei Moo = 0 und einer Spindel (3 = 0,60fachen Dickenverhaltnisses.Die letzte Verteilung kann fur eine Spindel von 9,6% Dicke also Ieicht ermittelt werden.Zit ate uber weitere Arbeiten nebst Versuchen an Halbkorpern findet manbei E.
R. VAN DRIEST 3 . (Siehe auch LAITONE 33 .)238 VII. Stationare, reibllllgsfreie, ebene u. achsensymrnetrische Unterschallstromllllg.Um ein MaB fur die Genauigkeit zu erhalten, mit welcher das Produkt v. yam Korper und an der Achse gleichgesetzt werden kann - eine Naherung, welchedem Ansatz fur dq zugrunde liegt - sei v entsprechend wie u - U oo in Gl. (24)entwickelt.
Dabei ergibt sich nach Durchfuhrung der Integration aus Gl. (23):-v=U oo1( -dF-2-d) x xn y3F3 ) In-{J24Y- (d-dnx' xfJ2 Y { } + ....+ -4n((3 'y)(27)Der erste Summand der Entwicklung entspricht dem Ansatz fur die Quellstarke. Der Fehler in ~ am Profil ist also von der GroBenordnung (32 y 2ln (3 yU oound daher um so geringer, je hoher die Machsche Zahl ist.Die Gleichung fur das Storpotential (23) kann partiell integriert werdenund gibtoo4n-_ Uf[! -[F V(~_X)21 + fJ2 y 2J1-1oo4n.U0fF(~-x)d~.[(~_X)2 + fJ2 y 2J3/2 'ounter der V oraussetzung, daB der Korperquerschnitt an den Korperenden aufden Wert Null absinkt, wird bei groBem Korperabstand, d.
h.J1Vx + (32F d~ +oDaraus findet man fur die Komponenten in groBem Abstand:fur2V + (32y2----x2y2~1:~ I:f[! =U-u oo-:~[X2+ ~2 y2J'/2114nJ d~=1FovUoo = -fJ2 y2 [fJ2 y2J d~2 x2+ x 2J%;(28}114noF3fJ2 xy[fJ2 y2X2J5/2+•Das Integral in Gl. (28) ist das Korpervolumen. Dieses allein ist bei schlankenKorpern in groBer Entfernung fur die GroBe der Storungen der Geschwindigkeitskomponenten maBgebend. Diese erweisen sich von gleicher GroBenordnung.Bei dichtebestandiger Stromung ((3 = I) ist die Storung einer Kugel wegen ihrergroBeren Dicke 3/ 2mal so groB wie diejenige eines schlanken Korpers gleichenVolumens.Fur die Anderung der Stromung mit dem Anstellwinkel c; ergab sich nachLinearisierung Gl.
(VI, 132):mit y = r cos X, z = r sin X.Die Extremwerte der Storungen in der Geschwindigkeit und im Potentialsind in der x, y-Ebene zu erwarten, wahrend dort gleichzeitig die perifere Umstromung des Korpers verschwinden muB. Es liegt daher folgender Separationsansatz auf der Hand:(29)if>. (x, r, X) = f[!. (x, r) cos X·Er erfullt die Differentialgleichung, wennR2t' f[!.x",wobei in der x, y-Ebene r =+f[!err+1-;:f[!erVy2 + Z2 durchf[!.folgender Gleichung gehorcht:71f[!._- 0,yersetzt werden konnte.(30)VII, 4. Achsensymmetrische K6rper, linearisierte Gleichung.239Diese Differentialgleichung ergibt sich sofort durch Differentiation vonGl. (22) nach y, wobei an Stelle der Komponenten deren Ableitungen nach ytreten.
Damit ist aber auch bereits eine Lasung von Gl. (30) gegeben, indemder einmal nach y abgeleitete Ansatz fUr cP in Gl. (23) genommen wird. D. h. esist fur cps in Gl. (30) einfach der Ansatz fur v in Gl. (23) zu nehmen, wobei ydurch r zu ersetzen ist.~~ = f (~)Allerdings hat dabeinun nicht mehr die fruhere Bedeutung.f(~)ist einfach eine so zu wahlende Funktion, daB die Randbedingungen erfulltwerden.
Nach Gl. (VI, 115) und (VI, 121) gilt:furVx + +2y2Z2~U.00 :WI.fur r = h(x):= 0, v. = u oo , w. = 0;W.r=o.=Nun ist:Wer = CP.r cos X = v. cos X + w. sin X,woraus sich folgende Randbedingungen fur cps ergeben:furVx + r2 2cp.z00:=0, cper = u oo , fur r= h (x): CP.r=o.(31)Formal stimmt dies mit den Randbedingungen fur die Anderung der Stramungmit dem Anstellwinkel beim symmetrischen Profil vallig uberein. Wie dort inGl.
(9), muG auch hier ein Glied U oo r zur Erfiillung der Bedingung im Unendlichenhinzugefugt werden. Damit ist:.f32 r+~f f(~)1d;+ ,82 r2]'1. ,owobei f (,;) so zu bestimmen ist, daB CPer = 0 auf r = h (x) ist.Man uberzeugt sich leicht, daB dieser Ansatz Lasung von Gl. (30) ist. ZurBestimmung von t (~) werden die Werte in Achsennahe gebraucht. Hier kannfiir das Integral in der Gleichung von cpo einfach die Entwicklung von vjuoocpo= uoor[(;-X)2~~gemaB Gl. (27) genommen werden, wobeiersetzen ist:,82 rdurchd 2fcpc= U oo r + -2-f(x) - - 4 - - d2 Innrnx1t (x)und y durch r zu(p r) + ....Daraus foIgt:cp.z1df,82 r d3f= -2---d - - 4 - - d3 In (pr)nrxnxCP'r=U OO+ ... ,1,82 d 2t- f(x)--4--d2 In(pr)2nr 2nx--+ ...Mit derselben Genauigkeit wie bei der achsensymmetrischen Stramung kanndaher auf r = h (x) zur Erfullung der Randbedingung0= CPer= U oo1-2nh2 t(x)gesetzt werden, so daB sich das gesuchtef (x)=t (x)wie folgt ergibt:2:rr; h2 U oo = 2 U oo F (x).Wieder mit derselben Genauigkeit wird dann:cps z=1dt2 n h --;IX=dh2 U oo --;IX.240 VII.
Stationare, reibungsfreie, ebene u. achsensymmetrische Unterschallstr6mung.Damit erhalt man fur die Anderung der Stramung mit dem Anstellwinkelam Karper im Rahmen der Naherung Formeln, welche diejenigen fur achsensymmetrische Stromung Gl. (24) und (25) an Einfachheit und Genauigkeit ubertreffen 4 ,5; es ist namlich fur r = h (x) bei Verwendung von Zylinder-Koordinatenund -Komponenten:dhdxu.2-C03X'-- =U OOw2•_-u-- 001r1 -U'Pex flo_'rpd x , h)--u--h:--00.Slll_ _X- -2 "8lll(32)X·00An einer beliebigen Stelle des Raumes ist wegen y = r cos X das Potential:+f32 Uoo Y2nJ (~) m=X)2 +p2(.Y2+1dl;(33)Z2)]3/,'oworaus die Geschwindigkeitskomponenten leicht abzuleiten sind.Eine Integration uber einen kleinen Anstellwinkelbereich c, bei welcher $eals angenahert konstant angesehen werden kann, kommt einer Multiplikationmit c gleich.
Zur besseren Einsicht sei Gl. (33) daher wie folgt geschrieben:$. = U oo Y_ , Iy + y J~$ -U oo Ii-IoFh2 ( 1;)-[-(T--X)-2'-p- +d :-2-(y 2+ Z2)I,'j3/2' f'Ein Vergleich mit dem Potential einer umstromten Kugel zeigt, daB essich bei der obigen Gleichung urn die Anstromung auf der x-Achse aufgereihter, in x-Richtung affin ver"~zerrter Kugeln handelt, die in yRichtung mit der Geschwindigkeitc U oo angestromt werden. Bei gleichgroBen Kugeln hande1t es sich alsourn eine Zylinderstromung in yRichtung. Aber auch eine kleineQuerschnittsanderung des Korpersgibt in einer y, z-Ebene noch immerangenahert eine dichtebestandigeZylinderstromung, wie GI.
(32) zeigt.Darnach erreicht die v-KomponenteAbb. 131. Stromung in einer Querschnittsebene.am Korper auf y = 0 gerade dendoppelten Betrag ihres Wertes imUnendlichen. Die Dichtebestandigkeit erklart sich dabei ohne weiteres daraus,daB die Mach-Zahl der Anstromung in y-Richtung mit e beliebig klein ist.Es kann erwartet werden, daB sich ein solch einfaches Resultat, wie esG1. (32) ausdruckt, auch einfach ermitteln laBt.
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