K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 68
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(7) die Geschwindigkeit im Staupunkt als negativunendlich. Die Geschwindigkeitsverteilung in del' unmittelbaren Staupunktsumgebung wird ubrigens dadurch durchaus zufriedenstellend wiedergegeben.Aber auch die Kantenumstromung, welche an del' Hinterkante entsprechendVII, 3. Ebene Stromung, linearisierte Gleichung.233der Abstrombedingung vermieden werden soIl, gibt unendliche Geschwindigkeitswerte, naturlich auch im Rahmen exakter Potentialtheorie.
Der Unterschiedin beiden Unendlichkeitswerten besteht darin, daB die Geschwindigkeit am Staupunkt bei der hier angewandten Naherung symmetrisch, bei einer Kantenumstromung hingegen antisymmetrisch in y uber aIle Grenzen wiichst. DieKonstante C in Gl. (15) ist also so zu bestimmen, daB sich bei x = 1 zusammenmit dem zweiten Integral der Wert Null ergibt.Gl. (15) enthiilt naturlich auch die Umstromung einer ebenen, wenig angestellten, verschwindend dunn en Platte. Mit Vo = - E U oo und der Abstrombedingung ergibt sich im wesentlichen Gl.
(11).Es ist nutzlich, die Berechnungen auch mit der Stromfunktion durchzufiihren.Fur diese liiBt sich die gasd. Gl. wie jene der Potentialfunktion linearisieren.Fur die Storstromfunktion Gl. (VI, 31) '1/) gilt dann:~2 "Pxx"Pvv = O.(16)Die in "P frei verfugbare Konstante sei so gewiihlt, daB "P in groBer Entfernung vom Profil verschwindet, womit gleichzeitig die Randbedingung weitdrauBen gegeben ist. Mit h (x) als halber ProfilhOhe eines symmetrisch zur x-Achseangenommenen Profils muB mit der Kontinuitiitsbedingung gelten:+00h (loo U oo=J((l(loo u oo ) dy,U -h(17)d.
h. die an einer Stelle x vom Profil verdrangte anstromende Menge muB derErhohung des Massenflusses uber dem Profil gleich sein. Wegen der Schlankheitdes Profils gilt nun unter Vernachliissigung von Gliedern hoherer Ordnung:00h (x) (looU oo=J ((loU -(loo u oo ) dy+ ...= - "P (x,0)+ . .
..(18)Diese Niiherung verbessert sich ubrigens mit der Anniiherung Moo -- l.Die Randbedingungen von "P stimmen daher mit den Randbedingungen von vin G1. (7) formal vollig uberein, womit die Losung fur ein schlankes, unangestelltes,symmetrisches Profil gegeben ist durch:1"P=-eoouoof--n-(x _h(~)/3yoDaraus errechnet sich mit Gl. (VI, 31):eve oo u oo~)2+ /32 y2(19)(20)12/3y!.=----nh(~)x-~[(X_~)2+/32y2]2droDie Pro Regel (Abschnitt VI, 20, Abb. 120) entspricht einer Niiherung derStromdichtekurve durch eine Gerade.
Bei Annahme kleiner Stromungswinkel[Entwicklung von Gl. (II, 53)] ist daher~--1=~2(~-1)+e oo u ooU ooworaus sich zusammen mit G1. (20) ergibt:... ,234 VII. Stationare, reibungsfreie, ebene u. achsensymmetrische Unterschallstromung.Diese Gleichung kann mittels partieller Integration direkt in die entsprechendeGl. (7) uberfuhrt werden, womit der Zusammenhang mit der Potentialfunktionhergestellt ist.In Entfernungen, welche groB gegen die Profillange sind, kann wegen derKleinheit von ~ gegenuber x oder fJ y im Integral naherungsweise gesetzt werden:(X_~)2-f32y2[(X_~)2+f32y2J2x-~[(x -~)2 +x 2 _f32 y 2[X2 + f32 y 2J2=_f32 y2J2 -+X[X2 + f32 y2J22x(x 2 -3f32 y 2)[X2+f32y2J3--~+ ... ,3x 2 -f32 y2[X2 + f32 y2J3+~+ ....~ kann den Wert 1 nicht uberschreiten, weshalb bereits das erste Glied eine guteNaherung darstellt. Bei den Abschatzungen ist es nicht erforderlich, auf kleinefJ-Werte Rucksicht zu nehmen, da sich fur solche die Linearisierung der Differentialgleichung als untauglich erweisen wird.Damit ist die Storgeschwindigkeit in grofJerem Korperabstand:~_1= _ _1_Uoou:'=f3ne~:oo + ...x 2 _ f32 y2[X2f32 y2J2+=-!J1h(~) d~o+ ...
,1(21 )[X22:;2~2J2 Jh(~)d~.oWahrend die Wirkung in den Staugebieten stromaufwarts und stromabwartsvom Korper (y = 0) bei kompressibler Stromung urn den Faktor fJ- 1 erhoht ist,ist sie es in den Ubergeschwindigkeitsgebieten seitlich vom Korper (x = 0) umden Faktor fJ- 3 • Die Berechnung solcher Fernwirkungen spielt fur Korrekturenin der Windkanaltechnik eine groBe Rolle.Das Integral in Gl. (21) stellt einfach die halbe Fldche des Profilquerschnittesdar. In groBer Entfernung wirkt sich also bei flachen Profilen nur deren Platzbedarf in der Stromungsebene aus. Gl. (21) gilt, wie aIle vorausgegangenenFormeln, auch fur dichtebestandige Stromung (fJ = I).
Bei dieser erweist sichdie Fernwirkung eines Kreiszylinders gleicher Flache gerade doppelt so groBwie diejenige eines schlanken Profils, was naturlich auf seine groBe Dicke zuruckzufiihren ist.Bei angestellten oder asymmetrischen Korpern kommen noch weitere Fernwirkungen hinzu.4. Achsensymmetrische Korper, linearisierte Gleichung.Wahrend ein angestellter ebener Korper stets eine ebene Stromung ergibt,ist beim achsensymmetrischen Korper (Rotationskorper) die Stromung nur beiaxialer Anstromung achsensymmetrisch. Dennoch laBt sich auch der Fallangestellter Korper einfach und in ahnlicher Weise wie die achsensymmetrischeStromung behandeln, was auch anschlieBend gemacht werden solI.Die Storung der Geschwindigkeit ist bei schlanken Rotationskorpern naturgemaB viel kleiner als bei schlanken Profilen. AnschlieBend an Gl.
(VI, llO)ergab sich mit h als halbem Dickenverhaltnis die Abschatzung:~ - 1 ,..."h2Jnh,Uooein Ausdruck, der sich auch als erstes Glied der spater folgenden Entwicklungenergeben wird. Meist interessieren Dickenverhaltnisse von wenigstens 5 bis 10%,was h-Werten von 0,025 bis 0,05 entspricht. Dabei ist das Dickenverhaltnis nachVII, 4. Achsensymmetrische K6rper, linearisierte Gleichung.oben vor aHem durch die Streichung des Gliedes : : (:;235+ ~~) bei der Lineari-sierung der gasd. Gl. beschrankt. Fur die erwahnten h-Werte ergibt sich In h,......, 3,7bis 3.
Die u-Storung liegt also der GroBenordnung nach zwischen h und h2, wahrend v. am Korpernaturlich von der GroBenordnung h ist. Bei der Entwicklung derGeschwindigkeit nach den Storungen der Komponenten Gl. (IV, 31) ist also dasGlied v2 mitzunehmen, wenn es sich nicht urn auBerordentlich schlanke Korperhandelt. Entsprechendes gilt fur die Druckstorung. In groBerem Korperabstandsind hingegen die Storungen aIler Geschwindigkeitskomponenten von derselbenGroBenordnung, wenn vom Prandtl-Faktor abgesehen wird.Fur die x, y-Ebene einer achsensymmetrischen Stromung ergibt sich nachGl.
(VI, 131):fJ2 OU ~ ~ = O.(22)+oXoy+yNun andert sich die Stromung am Korper wegen der Energie- und Impulszerstreuung in y-Richtung urn eine GroBenordnung (also urn!) starker als inx-Richtung, was an Hand der Resultate bestatigt werdenkann. (Bei ebener Stromung war dagegen die Anderungvom ,8-Faktor abgesehen in x- und y-Richtung dieselbe.)In Gl. (22) ist der erste Summand in Korpernahe daherurn einen Faktor ,82 h2 In h kleiner als die beiden letztenSummanden und spielt also an schlanken Korpern Abb. 129.
Bestimmnng derkeine Rolle. In groBem Korperabstand erweisen sich Quellstiirkean der Achse cinesschlanken Rotationskijrpers.hingegen aIle drei Summanden als gleichberechtigt.Eine achsensymmetrische Stromung erhalt man durch eine Quellbelegungder x-Achse.
Ais QueIlstarke pro Lange dx ergibt sich die durch einen die x-Achseumgebenden schlanken Zylinder (Abb. 129) stromende Menge. Der DurchfluB durch die Endflachen des Zylinders kann wegen deren Kleinheit als Gliedhoherer Ordnung vernachlassigt werden. 1m Rahmen der Linearisierung kanndaher mit Gl. (VI, 108), welche einer Streichung des ersten Summanden inGl. (22) gleichkommt, und mit F (x) = h2 (x) 11: als Querschnittsjliiche des Korpersfur die QueHstarke (200 dq auf dx gesetzt werden:(200 dq= 2 11: Y (200 V (x,y) dx= 211: h v (x,h) (200 dx=(200 U oodFaxdx.Eine Integration der Quellwirkungen uber die Korperachse gibt unmittelbardas Storpotential und die Geschwindigkeitskomponenten der achsensymmetrischenStramung urn den schlanken Korper der Lange 1.
Es ist mit Gl. (1) und (2) inder x, y-Ebene:Jdf V1cp= -U oo4ndFo(~ -d~X)2+ {J2 y2(23)JTn- df1V_U oo -{J2 YdF ----=-:-c,--_:7d-:~~~:=-;[(~ - X)2 + {J2 y2]"/•.oDer EinfluB der einzelnen Teile des Korpers aufeinander ist entsprechenddem rascheren Abklingen der Storungen bedeutend geringer als bei ebener Stromung Gl. (7). Auch der Mach-EinfluB ist offenbar geringer, denn es fehlt in236 VII.
Stationare, reibungsfreie, ebene u. achsensymmetrische Unterschallstromung.Gl. (23) ein Faktor fJ gegenuber Gl. (7). Allerdings ist es hier nicht moglich, wieetwa in Gl. (7), (8), in der Gleichung fur u - U oo einfach y = 0 zu setzen, denndie Werte steigen mit Annaherung an die Achse uber alle Grenzen.
Nur unendliche Wirkungen bei verschwindendem Querschnitt an der Achse konnen namlichin endlichem Abstand endliche Wirkungen hervorrufen. Zur Untersuchung desVerhaltens an der Achse sei der als glatt angenommene Querschnittsverlauf F (.;)an der Stelle .; = x entwickelt:( dF) = ( dF)dx ~dx ~ =X+ ( ddx2F)(.; _2 ~=x+ 61 (dd x~) ,;= x4x)(.; _+ ~2 ( d3~)dx ~X)3=x(.; _xV~+ ....Damit konnen nun die Integrationen durchgefUhrt werden. Man findet mitHilfe der Integraltafel folgendes Resultat:4n u+r2( d F)dx 2 xllnu~oo= ( ~~ ) x [V(1 _x)~ + ~2 y" - VXL;~J+.1- xx·1VX2 + ~9 - xV(1_X)2+~2y2+1-~-+ V(1-x)2+~2y2 +~+-;py;_++~(d3F) [~~_ (1-x)2+2~2y21+2 dx 3 x V x 2 + ~2 y2V(1- X)2 + Jl2 y2JDamit ergibt sich fur kleine y- Werte 2 :u-oo1u--;;;;--- = 2n.
[ln 2U(d 2F) Idx 2 x n y -f(1dF )2 n \ (]X x12 -x-+-( d 2F) ., dx 2 xx0- x)Vx (l-x)-I-lnfJl+ ~(~3:t(~ -x) +...(24)}+y2{}+Nach LAITONE 2 ist die Dbereinstimmung der Entwicklung Gl. (24) mit del'exakten Formel (23) bei einem Rotationsellipsoid und einem Spindelkorper miteinem Kreisbogenzweieck als Langsschnitt sehr gut.Es ist:1 dF _ h dh2n dx dx·Bei den ublichen Rotationskorpern mit hochstens einem Dickenmaximumhaben die Ableitungen von F (x) die GroBenordnung von h2 , wenn die Korperlange gleich 1 gesetzt wird.Auf y = h stimmt das erste Glied der Entwicklung mit dem am Anfang desAbschnittes wiedergegebenenAusdruck uberein. Dieses Glied enthalt denPrandtlFaktor nicht, weshalb bei au(3erordentlich schlanken Korpern und nicht zu groBerSchallnahe (fJI) gesagt werden kann, daB die Geschwindigkeitsverteilungunabhangig von der Machschen Zahl ist.1m allgemeinen muB aber bei der Entwicklung der Geschwindigkeit amKorper das v2-Glied [Gl.
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