K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 65
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i. und to, in gleicher Weise wie die entsprechenden Koordinaten transformieren. Fur diese Form der Pro Regel, welcheauch als Stromlinienanalogie bezeichnet wird, muB nach GJ. (149) der Faktor Adie Werte annehmen:Moo < I: A = f3; Moo> 1: A = cot iX.vDie Stromlinienanalogie hat den Vorteil, daB sie auf belie big geformte Korper(also auch auf Rotationskarper) angewendet werden kann, weil Punkte derOberflache in sich ubergehen, Yorausgesetzt, daB es sich urn kleine StOrungenhandelt.
Sie kann fiir .11100 < I nachG1. (149) wie folgt ausgesprochen werden(die Regel fur Moo > 1 ergibt sich ohneAbb. 123. Anderung eines Kiirperschnittcs inwei teres, wenn die Vergleichsstramungz ~ Z ~ 0 nach der Stromlinienanaiogic.bei 11100 = 0 durch jene bei 11100 =ersetzt wird):2. Die Geschwindigkeitsstarungen oder Druckstarungen an einem beliebig geformten, schlanken Karper bei einer Mach-Zahl Moo < 1 ergeben sich als der 1/f32 fache Wert der Starungen in entsprechenden Punkten eines in y- und z-Richtllng {Jfach verdunnten Karpers in dichtebestandiger Stramung (bei Moo = 0, Abb.
123).Besonders bemerkenswert sind hier zwei Tatsachen. N ach GI. (IV, 31) giltV2die Regel bis einschlieBlich der Gliede;>(u:'rundA = f3 in gleicher \Veise transformieren wie ~ U oo(u: f,wei I Hich diese flir1, namlich immer mit demFaktor liP. Dies ist fUr die Anwendung bei Achsensymmetrie wichtig. Ausder Naherung fUr die Bernoullische Gleichung anschlieBend an (II, 52) folgtbei Moo < 1:f32 2 (p -:00)=f32 cTJ= -2 f32(~-1) _ f34 (~_1)2 + ...(154)UooUooWahrend die Bernoullische Gleichung im'allgemeinen bei Pr. Regeln nur inerster Ordnung der Starungen gilt, gilt sie bei der Stromlinienanalogie bis zuGliedern der zweiten Ordnung einschlieBlich. Eine Genauigkeit uber erste Ordnung hinaus kommt nach G1. (147) sonst nur bei Schallnahe in Frage, wo abel' dieLinearisierung del' gasd. GI.
anfechtbar wird.Sollen die Potentiallinien ineinander ubergehen (" PrAentiallinienanalogie"),so muss en die u-StOrungen wie die x-Richtung unverandert bleiben, weil darausunveranderterpa; = u - U oo und damit unveranderterp-Werte folgen. Fiir 11100 < 1folgt dann A f3 = 1 und es ergibt sich der Satz:3. Bei ebener Stramung oder bei flachen Karpern ergibt sich die Geschwindigkeitsstarung gleich der Starung an einem I/f3-fach verdickten Karper von f3-fachernSeitenverhaltnis in dichtebestandiger Stramung.~UooVI, 21. Pfeileffekt.223Eben diese Potentiallinienanalogie war es, welche zu unveranderten Dickenbei Rotationskorpem und zu den Gl.
(152), (153) fuhrte.Von den zahlreichen Moglichkeiten in der Wahl von A wird sich eine nochfur Schallnahe als besonders wichtig erweisen, namlich im wesentlichen A = IlfJ3(Abschnitt IX, 3 und IX, 6). Unter Umstanden erhalt man besonders guteResultate, wenn man auf Grund zusatzlicher Dberlegungen die Drucke inbesonderer Weise aus den Geschwindigkeiten errechnet (Abschnitt VII, 5).21. Pfeileffekt.Ein langer, zur Stromungsrichtung angestellter Flugelteil konstanter Tiefeund gleichbleibender Profilform (Abb. 124) mul3 in Richtung seiner Vorderkante annahemd gleichbleibende Geschwindigkeitsverteilungen aufweisen. Damitmul3 sich senkrecht zur Vorderkante eine Geschwindigkeitsverteilung ergeben,welche man erhalt, wenn das entsprechendeProfil mit der Normalkomponente der Anstromgeschwindigkeit U oo auf die Vorderkante angestromt wird.Der durch die Anstellung in der x, z-Ebene.rsich ergebende "Pfeileffekt" sei an einem Teileines unendlich lang gedachten Flugels studiert, ~',B,~Wooindem die Geschwindigkeit in der x, z-Ebene inIt..,eine Normalkomponente u' und eine Tangentialkomponente w' zerlegt wird, wahrend die Komponente in y-Richtung untransformiert bleibt• blJ .
124. Pieileffekt.(v' = v). Der Pfeileffekt als solcher ist natiirlichkeineswegs an Stromungen kleiner Storungen gebunden, ebensowenig an eine Unter- oder Dberschallstromung, jedoch lassen sichgerade im Anwendungsbereich der Pr. Regel besonders leicht Aussagen machen.Mit A als Pfeil winkel (Winkel von Vorderkante und z-Richtung) ergeben sichfolgende Beziehungen:u' = n cos A - w sin A; u = u' cos A + w' sinA;w' = n sin A + w cos A ; w = - n' sin A + w' cos A.1m Anstromgebiet ist nun wegen1100 =U ooWoocos A;(156)= 0:w~ =U oosin A = w',(157)wobei der Wert von w' im ganzen Raum gilt, weil die Stromung aus einer Anstromung in u'-Richtung und einer Translation in w'-Richtung zusammensetzbarist.
Aus Gl. (156) ergeben sich dann die Geschwindigkeitskomponenten sehreinfach aus del' Losung fur die e bene Stromung in u' -Richtung :u=n'cosA+uoosin2 A;v=v';w=-u'sinA+uoosinAcosA.(158)Aus Gl. (157) ergibt sich der Geschwindigkeitsbetrag exakt:W2 =U'2+V'2+W'2=U'2+ v2 +u~sin 2 A(159)und bei kleinen Storungen in erster Naherung:W -1'n00=VI~~,oou~ ;~J2~OS2A + si~~~- 1 =_Uu' --:Uu~ooC03 2A. (160)Das Dickenverhaltnis, senkrecht zur Vorderseite gemessen, hat den l/cosAfa chen Wert des in Stromungsrichtung gemessenen Dickenverhaltnisses. Sollennun die Geschwindigkeitsverteilungen in Langsschnitten (Schnitten in Haupt-224VI.
Allgemeine Gleichungen u. Losungen fUr stationare reibungslose Stromung.stromungsrichtung) abhangig yom Pfeilwinkel betrachtet werden, so mussenUmrechnungen auf die Dickenverhaltnisse vorgenommen werden, welchen dieTheorie kleiner Storungen bei linearisierten Gleichungen, also auch die Pr.
Regel,zugrunde gelegt werden soIl. In den Gl. (149) kann bei gleichbleibendem fJ odercot lX, d. h. bei gleichbleibender Mach-Zahl Moo, der Faktor A geandert werden.Dies fuhrt zu einer proportionalen Anderung u - u oo , v und w und besagt,daB die Geschwindigkeitsstorungen an flachen Korpern und insbesondere beiebener Stromung bei gleichem Moo und gleichem GrundriB proportional demDickenverhaltnis zunehmen. Die Machzahl in u'-Richtung M:x, hangt mit Moowie folgt zusammen:M~u'u'= -f2'= -'="""-- =CooCooMoo cos .11.(161)Mit Riicksicht auf das geanderte Dickenverhaltnis und die Pr. Regel kanndie Geschwindigkeitsverteilung in Schnitten normal auf die Vorderkante durchdie Geschwindigkeitsverteilung in einem Langsschnitt bei ungepfeiltem Fliigel-1) A(~U oo=W'U0,fUr Moooo -1=1wie folgt ausgedruckt werden:(W)UMit Gl.
(160) folgt dann:~ -1<oo - 11"1=0cos Af1= Mb:,u'""VI=~ = u~-1.V= (~-1)I-M~2 cosA.(162)u o o . li = 01 - Mb:, cos AooDaraus ergibt sich bei dichtebestandiger Stromung (Moo ~ 1) eine Abnahmeder Geschwindigkeitsstorung proportional zu cosA gegenuber einem Profil gleichenLangsschnittes bei ungepfeiltem Fliigel. Fur die Beurteilung des Stromungscharakters kommt es hier nicht darauf an, wie sich die Geschwindigkeiten, sondernwie sich die Normalkomponenten auf die Vorderkante zur Schallgeschwindigkeitverhalten. Wenn also nach Gl. (162) Schallgeschwindigkeit am Profil erreichtoder etwas uberschritten wird, so hat dies bei genugender Pfeilung noch keinerleiBedeutung. Fur Moo > 1 und hinreichende Pfeilung ist Moo cos .11 < 1. In diesemBereich kann Gl. (162) nicht benutzt werden. Trotz Uberschallstromung kann dasGeschwindigkeitsprofil hier reine Unterschalleigenschaften haben, weshalb esunmoglich ist, eine Beziehung zur Stromung beiA = 0 im Langsschnitt herzustellen.
Fur die Umrechnung muB dann von Gl. (160) selbst ausgegangen werden.Bei genugender Uberschreitung der Schallgeschwindigkeit wird schlieBlichM= cos .11 > 1, worauf man in ein zweites Anwendungsbereich von Gl. (162)kommt.Der Pfeileffekt spielt bei hohen Geschwindigkeiten eine groBe Rolle, woraufzuerst A. BUSEMANN 18 und A. BETZ 19 hinwiesen. Die einfachen Uberlegungendieses Abschnittes zeigen im ubrigen deutlich die Problematik der Typenunterscheidung im Raume (siehe auch den SchluB von Abschnitt 5).ULiteratur.1 L. CROCCO: Eine neue Stromfunktion fiiI' die Erforschung der Bewegung derGase mit Rotation.
ZAMM XVII (1937), S. 17.2 G. J. TAYLOR: Stromung urn einen Korper in einer kompressiblen Flussigkeit.ZAMM X (1930), S.334--345.3 H. BATEMAN: Irrotational motion of a compressible inviscid fluid. Proc. nat.Acad. Sci. XVI (1930), S. 816-825.4 W. TOLLMIEN: Grenzlinienadiabatischer Potentialstromung. ZAMM XXI(1941), S. 140-152 und S. 308.VII, 1. Quellartige Singularitaten.2255 W.
TOLLMIEN: Zum Ubergang von Unter- in Uberschallstromung.ZAMMXVII/2 (1937), S. 117-136.6 G. J. TAYLOR and J. C. MACOLL: Air pressure on a cone moving at high speeds.Proc. Roy. Soc. A, CXXXIX (1933), S. 278-311...7 A. BusEMANN: Dieachsensymmetrische kegelige Uberschallstromung. LufoXIXj4 (1942), S. 137-144.8 R. SAUER: Linearverbindung kompressibler ebener Stromungsfelder.ZAMMXXI (1941), S. 313-31.~.9 P.
MOLENBROEK: Uber einige Bewegungen eines Gases mit Annahme einesGeschwindigkeitspotentials. Arch. Math. Phys. (Grunert-Hoppe) (2) IX (1890),S.157-195.10 A. BUSEMANN: Hodographenmethode der Gasdynamik.ZAMM XVII (1937),S.73-79.11 C. A. TSCHAPLIGIN: Uber Gasstrahlen.Wiss. Ann. Univ. Moskau Math. Phys.XXI (1904), S. 1-121 oder NACA TM 1063.12 F. RINGLEB: Losungen der Differentialgleichung einer adiabatischen StromungZAMM XX (1940), S. 185-198.13 H.
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