K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 64
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Die Bernoulli-Gleichung hat ja da die bekannte quadratischeForm. Bei gleichbleibender Geschwindigkeitsstorung wird die Linearisierungder Stromdichte in Schallnahe (IMoo -II <{ 1) sehr schlecht, wogegen dieLinearisierung der Druckgleichung nun gut wird. In der Umgebung vonM~= -32-uwird nochmals die Prandtl-Linearisierung sehr gut, wogegenbeide Linearisierungen gegen hohe Mach-Zahlen (Hyperschall) hin versagen.AuBer dieser letzten Eigenschaft haben beide Linearisierungen also nur dasgemein, daB sie mit abnehmender Geschwindigkeitsstorung besser werden.
Dochhat dies in den erforderlichen Korperdicken seine Grenzen. Das System vonG1. (146) und den Gleichungen der Wirbelfreiheit laBt sich nun in neuen Veranderlichen in die Form der Gleichungen fur dichtebestandige Stromung umschreiben. Zu diesem Zweck sei fiir M (X) < 1 der Prandtl-Faktor (3 und fiir M (X) > Ider Machsche Winkel <X der Anstromung eingefiihrt (Indizes konnen dabei wegbleiben, da Verwechslungen hier ausgeschlossen sind):M(X)<>(3 = VI-M~; M(X)1;1: cot<X= VM~-l.(148)Mit folgenden Bezeichnungen:Y=.•fur M(X)< 1:v (x, y, z)Y=••>1:y;y, Z.) ={ 11,_ (x, -_W (x,fur M (X)(3{Z = (3 z;=y, z) =A (3 [u (x, y, z) A v (x, y, z);u(X)J ;A w (x, y, z);y cot <x; Z = z cot <x;11, (x, y, z) = A [u(x, y, z) -uooJ cot <X;___v (x, y, z) = A v(x, y, z);W (x,y, z) =Aw(x, y, z);ergibt sich dann das Gleichungssystem (das untere Vorzeichen fiir M (X)ov± ou+ov+ow=ooxoyOZ'ax -ou_ O owoy - , oy -ov_OOZ(149)-,OU_OW=oOZox>(150).Die Beziehungen (149) bedeuten etwa, daB die Stromungsrichtung v, weinem Punkte xl>Y1' Z1die~1):-fache Neigung der Stromungsrichtung V, WIIIIIIeinem Punkte Xl' Yl> Zl hat, oder daB dieStorung 11, in einem Punkte x 2, Y2' Z2den (A tJ)-fachen Wert der Storung u-u(X) in einem Punkte x 2, Y2' Z2 annimmt.Man vergleicht also nach G1.
(149) die Zustande in Punkten, deren Entfernungvon der x-Achse sich urn einen Faktor (3 unterscheiden. Solche Vergleichspunkte220 VI. Allgemeine Gleichungen u. Li:isungen fUr stationare reibungslose Stri:imung.seien "entsprechende Punkte" genannt (Abb. 121). Lediglich die Punkte derx-Achse und der unendlich ferne Punkt entsprechen sich selbst. Mit demVerschwinden der Storungen in groBem Korperabstand in einem Fall ist dieseRandbedingung auch bereits im Vergleichsfall gesichert. Bei ebener Stromung,wo aIle GroBen unabhangig von z sind, entsprechen sich naturlich in der x, zEbene aIle Punkte gleichen x -Wertes.Die GroBen x, y, Z, 11" V, w konnen fur Moo < 1 als die Koordinaten und alsdie Storungen der Geschwindigkeitskomponenten einer dichtebestandigen Vergleichsstromung, oder fUr Moo > 1 einerfgeVergleichsstromung bei Moo =deutet werden.
In beiden Fallen nimmtdie Kontinuitatsbedingung (146) die Form(150) an.______ _ _:./~ .ifDaB eine Konstante A in den Gl. (149): ,;,; J:---------'"" ....dabei frei wahlbar bleibt, folgt einfachAbb. 121. Pnnkt P und Bild-Punkt P der dichte- daraus, daB die Differentialgleichungenbestandigen Vergleicilsstromung nach der PrandtI- in den Storungen der Geschwindigkeitsschen Regel.komponenten linear sind. Ein entsprechender Faktor konnte auch bei denKoordinaten eingefuhrt werden. Doch ergabe sich daraus nur eine ahnliche VergroBerung der Raumdimensionen, also kein Vorteil.Eine bestimmte Losung in den GroBen x, y, Z, 11" V, w kann also nach Gl.
(149)je nach dem Werte von Moo - also je nach dem Werte von f3 oder cot ex - undje nach der Wahl von A sehr verschiedene Werte von u - U oo , v und w ergeben.Damit ist es im Gebiete kleiner Storungen moglich, Stromungen unterschiedlicherMoo-Werte miteinander zu vergleichen. Wegen der Kleinheit der Storungenkann die Stromungsrichtung stets mit den Werten von v und w gleichgesetztwerden. Hingegen ist die Geschwindigkeitsstorung nur bei flachen Korpern(insbesondere bei der eben en Stromung)der Storung der u-Komponente gleich.Bei Achsensymmetrie hingegen ist dieseNaherung schlecht, weil u - U oo von derV2GroBenordnung(~rIn ( ~ ), v2 [in derEntwicklung Gl.
(IV, 31)J aber von derG Bd( h )2 d d hb .ro enor nung T una er nur e1sehr schlanken Rotationskorpern wesentlich kleiner ist. FUr die Druckunterschiede und Druckkoeffizienten gilt in ersterNaherung das gleiche wie fUr die Geschwindigkeitsstorungen.
Bei den Luftkraftenist etwas Vorsicht geboten, weil die Korperform bei den im folgenden ausgesprochenen Satzen im allgemeinen affin verzerrt wird (Dehnung urn unterschiedlichen Faktor in den drei Koordinatenrichtungen) und es darauf ankommt, aufwelche Flachen die Luftkraftkoeffizienten bezogen werden.AIle folgenden Satze werden als Prandtlsche Regel (Pr. Regel) oder PrandtlGlauertsche Analogie 14 bezeichnet. PRANDTL brachte sie zuerst in seinen Vorlesungen. Abgesehen von der Mach-Zahl Moo, sei der Anstromzustand (eoo, u oo ,Abb. 122. Anderung eines Korpergrundrisses nachder PrandtIschen Regel.~ eoo U60, Pool in den Vergleichsfallen als gleich angenommen.Unabhangig vom Wert des Faktors A ergibt sich aus der Koordinatenverzerrung eine Verzerrung des Korpergrundrisses in der x, z-Ebene (Abb.
122).VI, 20. Prandtlsche Regel.221Darnach mussen Vergleichskorper mit Moo-Werten, welche naher an der Schallgeschwindigkeit liegen, das groBere Seitenverhaltnis und die geringere Pfeilunghaben. Fur Uberschallgeschwindigkeit ist diese Bedingung vollig einleuchtend,weil von den Machschen Linien alle Abhangigkeits- und EinfluBverhii1tnisseabhangen. Insbesondere muB erwartet werden, daB der von der KorpersItitzeausgehende Mach-Kegel in Vergleichsfiillen denselben Korperanteil uberstreicht.Damit muG aber auch mit abnehmendem Mach-Winkel der Pfeilwinkel zunehmen.Zuniichst seien Korper gleicher Dickenverteilung in der x, y-Ebene (Mittelschnitt) verglichen.
Fur ebene Stromung oder flache Korper bedeutet diesgleiche v-Verteilung auf der x-Achse oder A = 1. Dann stimmt auch die v-Verteilung in entsprechenden Punkten der x, z-Ebene uberein, die Vergleichskorpergehen durch eine Affinverzerrung in z-Richtung proportional zu~ ineinanderuber. Keineswegs gehen dabei aber Stromlinien ineinander uber, denn wennein Punkt auf dem Korper liegt, so tut es sicher nicht der entsprechende Punkt.Dies ist fur die Form eines flachen Korpers deshalb bedeutungslos, weil diev-Verteilung sich in Korperniihe kaum andert und mit der Verteilung auf derx, z-Ebene gleichgesetzt werden kann. Hat das Anstromgebiet eine v-Komponente,so werden mit A = 1 auch gleichflache Korper bei gleicher Anstellung betrachtet.Aus Gl.
(141) ergibt sich hiermit gleich eine erste Form der Pr. Regel:1. Bei flachen Korpern gleichen Mittelschnittes oder bei Profilen in ebenerStromung wiichst die Storung der u-Komponente und der Geschwindigkeit unddamit der Druckkoeffizient in entsprechenden Punkten wie 1!{3 oder tg <X.
Dasgilt bei ebener Stromung auch fur die Beiwerte des Auftriebes und des Widerstandes (bei Moo> 1).Die Auftragung in Abb. 95 stellt bereits eine Anwendung der Pro Regel dar.Bei der Anderung der Luftkraftbeiwerte tragender Fliichen mit Moo sind dieunterschiedlichen Seitenverhaltnisse In den Vergleichsfallen zu beachten (Abschnitt X, 2).Achsensymmetrische Korper gleicher Form mussen dieselben Werte desProduktes v y in Achsennahe aufweisen:y - O : vy= h hI= -1- F' = v-Y-2nAf3{ =---~=vyvY ) - A cotIXJ(151)(der Uberschallwert ist in Klammern beigefugt). Daraus folgt {3 A = 1, bzw.A cot <X = 1. Damit sind die Storungen der u-Komponenten in entsprechendenPunkten einander gleich.
Ein Punkt der Oberfliiche y = h liegt im Vergleichsfallnun an der Stelle y = {3 h oder y = h cot <X. Die Storgeschwindigkeit muB alsomit Gl. (llO) yom entsprechenden Punkt auf die Oberfliiche umgerechnet werden.Damit gilt fur Moo < 1:~- 1=u+u+_1_ F" In ~ =-1-F"In {3.2ny2nooDa bei gieicher Korperdicke auch die Stromungsrichtungen an Oberflachenpunkten gleicher x-Werte ubereinstimmen, ergeben sich nach Gl. (IV, 31) dieGeschwindigkeitsschwankungen direkt aus den Schwankungen der u-Werte.Mit den Mach-Zahlen als Indizes ergibt sich also foigende Umrechnungsformelfur Geschwindigkeiten an Rotationskorpern 15 , 16, 17:U= (~-l) + _1-F"lnVI-M"&:,( ~-I)Moo02nooooentsprechend fiir Moo > 1:-1) Moo = (~-1)_+ _1_F" In VM"60 - 1.(~U ooU ooV22nUundU(152)(153)222VI.
Allgemeine Gleichungen u. Losungen fiir stationare reibungslose Stromung.Die Indizes 0 und V'2 geben dabei die Machzahlen an, bei welchen dieKlammerausdrucke zu nehmen sind. Zum Unterschied von del' entsprechendenPl'. Regel fUr ebene Stramung oder nache Karper geht bei achsensymmetrischerStramung mit F" die Karperform in die Umrechnung ein. Bei Berechnung desMantelwiderstandes, eines mit Moo> I fliegenden Rotationskarpers zeigt essich im ubrigen, daB dieser unabhangig von der Mach-Zahl der Anstramungist, wenn del' Karpel' spitz oder zylindrisch endigP5, 16. In letzterem Fall spieltallerdings del' GeschoBbodendruck (Abschnitt VIII, 33) fUr den Druckwiderstandeine erhebliche Rolle.Wenn die Stromlinien bei der Transformation in sich ubergehen sollen, somuss en sich die Stromlinienneigungen, d.
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