K. Oswatitsch - Gas Dynamics (ger) (798537), страница 92
Текст из файла (страница 92)
In Abb. 207 ist die Anwendung der Charakteristikenmethode nur fUr die Reflexion der Prandtl-Meyer-Expansion am Nachbarprofilund dann erst beim Zusammentreffen der Expansion mit dem StoB, bei Abb. 208vorhe: iiberhaupt nicht erforderlich. Die Konstruktion ist also denkbar einfach.DaB leicht auch Stromungen vollig ohne StoB aufgebaut werden konnen, zeigtAbb. 209. Hier sind einfach zwei Stromlinien einer Prandtl-Meyer-Expansionoder -Kompression (je nach der Stromungsrichtung) herausgegriffen. Aus derstiirkeren Krummung der Stromlinien in Richtung auf das Zentrum der PrandtlMeyer-Stromung ergeben sich endliche Profildicken.Bei allen Verdichtungsgittern ist zu beachten, daB es unter Umstanden garnicht zu erwunschten Stromungen kommt, indem Anlaufeffekte auftreten, wiesie beim Doppelfliigel und beim zweifach verengten Kanal beschrieben wurden.Dies kann zur Folge haben, daB die Uberschallstromung vor dem Gitter uberhaupt nicht zustande kommt.29.
Wenig gestorte achsensymmetrische Stromung.Bei kleinen Storungen und mittleren Machschen Zahlen konnen die Koeffizienten der Gleichungen als konstant angesehen werden, die Gleichungen konnenlinearisiert werden, was dann die in Abschnitt 3 behandelte Singularitatenbelegungermoglicht. Ebenso kann aber dabei mit Charakteristikenmethoden gearbeitetwerden, wie SAUER und HEINZ35 vorgeschlagen haben. Wie bei allen Charakteristikenmethoden ergeben sich dabei allerdings keine analytischen Formeln, jedochgroBe Unabhangigkeit von der speziellen Korperform, was bei analytisch schwerdarstellbaren Querschnittsverlaufen einen wesentlichen Vorteil bedeutet.
Fernerfallen jene Fehler weg, die daraus entstehen, daB die Singularitaten in Abschnitt 3auf der Achse aus den Korpereigenschaften in Achsennahe bestimmt werden.Bei kleinen StOrungen sind die EinfluBgebiete durch Kreiskegel begrenzt, dieMachschen Linien im Achsenquerschnitt werden Gerade mit den in G1. (43)wiedergegebenen Neigungen. Das Netzwerk der Machschen Linien und die Lagekoordinaten der Gitterpunkte in der Stromungsebene sind bekannt, wenn dieGitterpunkte auf einem Abhiingigkeitsgebiet gegeben sind (Abb.210).Die Vertraglichkeitsbedingungen, also die Anderung des Stromungszustandeslangs der Mach-Linien, ermittelt man leicht aus der allgemeinen Formel (47),wobei zweckmaBig die Geschwindigkeitskomponenten eingefiihrt werden.
InDifferentialen geschrieben, ergibt sich zunachst fur isentrope Stromung auf derlinks- und rechtslaufigen Mach-Linie:d W . . .u dl± d o·-u - cot IX W(89)sm IX 8m ·U· y = 0 .+Daraus folgt fur die Komponenten:=t= dvex+ cot (IX =t= {}) du- sm. sin({})ex =+Hierin kann mittels der Beziehung2dlvy=O.(90)dy = ± sin (IX ± {}) dl(91)auch die Anderung der Ordinate auf der Machschen Linie anstatt der Anderungder Bogenlange eingefiihrt werden.318 VIII. Stationare, reibungsfreie ebene u.
achsensymmetrische Uberschallstromung.Eine Linearisierung del' Ausgangsgleichungen und eine Naherung del' MachLinien durch Scharen paralleler Geraden entspricht einer Linearisierung del' Vertraglichkeitsbedingungen in den abhangigen Veranderlichen. Urn das zu ermaglichen, muB {} <{ IX vorausgesetzt werden, wodurch augenfallig wird, daB zuhohe Mach-Zahlen ausgeschlossen bleiben, wie schon seinerzeit bei del' Methodedel' Singularitatenbelegung bemerkt. Durch Elimination von dl aus den letztenbeiden Gleichungen ergibt sich ein Faktor von Winkelfunktionen, del' wie folgtgenahert werden kann:+ {}) sin (_r -sin ((X-I(X -sin 2cos 21{} -{}]-l -1+'2_ sin{})cot 22 {}'2SInSIn(X.2 {}Darnach gilt bei Vernachlassigung von s~n2SInnach elementarer Rechnung:(X(X=t= y cottXoosin 2 {}+ ....(92)gegen 1, also in zweiter Naherung,d(v y) =t= Y cot (IX =t= {}) du =auf del' links- und rechtslaufigen Mach-Linie.In erster Naherung ist:d(v y)(X°(93)du = 0,(94)worin IXoo nicht unbedingt del' Mach-Winkel del' Anstramunges kann au<:h ein mittlerer Mach-Winkel del' Umgebung sein, indiesel' Naherung rechnet.
Man kann den Zustand des Punkteszweier linearer Gleichungen mit zwei Unbekannten durch diePunkten PI und P r ausdrucken:1+ y/) cotvy-(v yh ="2 (yvy-(v y),. =-"2 (y1tXoo+ Yr) cot(u -zu sein braucht,welcher man mitP durch LasungZust3.nde in denu/),(95)tXoo(u -u r )·N och schneller geht es, wenn in del' u, v y-Ebene die Bilder del' MachschenLinien konstruiert werden (Abb 210). Die konstanten Zustande von PI undP r legen diese Punkte in del' 11, v yEbene fest. Die Neigungen del' Bilderdel' Mach-Linien in diesel' Ebene ergeben sich einfach mit Gl.
(95) ausden mittleren y-Werten del' Punkte:linkslaufig:UAbb. 210. Charakteristikenmethode nachSAUER-HEINZ.d(v y)du=1!"±. .'yl cot2tX oo ;rechtslaufig: d~:) =_ YiJiTcottX=In einen Randpunkt mundet nul' eine Mach-Linie, dafur ist abel' - wie bei ebenerStramung - am festen Rand vy = {} U oo Y und am Strahlrand u bekannt.Bei Linearisierung herrscht auf dem von del' Karperspitze ausgehenden MachKegel del' ungestarte Anstramzustand. Riel' ergeben sich also die Ausgangsgitterpunkte mit hekannten Zustanden (Abb. 211).Bei del' Durchfiihrung des Verfahrens kommt stets nul' u und v y VOl'. Eine Berechnung von v selbst ist gar nicht erforderlich, da auch die Randbedingung amfesten Karpel' fur v y angegeben werden kann.
Lediglich fur die Berechnung desGeschwindigkeitsbetrages und des Druckes wird in Gl. (IV, 31) die Stramungsrichtung am Karpel' benatigt.VIII, 30. Isentrope achsensymmetrische Stromung.319Das Verfahren laBt sich auch fiir die Anderung der GroBen mit dem AnstelIwinkel durchfiihren36 , indem von den Differentialgleichungen fiir die abgeleitetenGroBen u" v. bei e = 0 ausgegangen wird. Jedoch ist die Methode dann komplizierter, wahrend die Formeln, welche aus der Methodeder Singularitatenbelegung folgen, gerade besonderseinfach sind. Es ergibt sich beim Charakteristikenverfahren lediglich der Vorteil, daB die Randbedingungen exakt erfiillt werden.
Ob dies allein aber einviel komplizierteres, mit linearisierten Gleichungenarbeitendes Verfahren rechtfertigt, ist sehr zweifelhaft,weil die Linearisierung selbst eine starke FehlerquelleAbb. 211. Konstrukt ionsbeginneinschlieBt.an dcr K orperspitze.Gl. (93) gestattet noch eine Erweiterung derMethode auf schwache Storungen in zweiter Naherung, was etwa der ebenenProfilstromung in isentroper Naherung in Abschnitt 17 und 18 entsprache. DieMachschen Linien in der Stromungsebene miissen nun mitkonstruiert werden,die Richtungen in der u, v y-Ebene hangen nun auch vom Zustand ab, wasnatiirlich wesentlichen Mehraufwand erfordert, weshalb im nachsten Abschnittgleich ein exaktes Verfahren behandelt werden solI.30. Isentrope achsensymmetrische Stromung.Die Verfahren fiir achsensymmetrische Stromung wurden etwa gleichzeitigvon G.
GUDERLEy 36 (in sehr allgemeiner Form), von R. SAUER37 und von TOLLMIEN 38(zunachst als Felderverfahren) entwickelt. K.OSWATITSCH39 und R. E. MEYER40geben eine zusammenfassende Darstellung aller Charakteristikenverfahren derHydrodynamik. Dabei wird wie auch hier neben der Stromungsebene die Zustandsebene benutzt. Es handelt sich bei den verschiedenen Autoren stets im wesentlichen urn ein und dieselbe Methode in modifizierten, den praktischen ErfordernissenangepaBten Ausfiihrungsformen. Bei Isentropie ist die Durchfiihrung keineswegs zeitraubend, kann von eingearbeiteten Rechenkraften ausgefiihrt werdenund verdient eine starkere Verwendung, als ihr im allgemeinen zuteil wird.Die Richtung der Mach-Linien in einem Punkte ist wie bei ebener Stromungdurch die Winkel {} ± .x gegeben.
Wie bei dieser, konnen diese Richtungen alsomit Hilfe des Charakteristikendiagramms bestimmt werden. Es besteht wiederdie Orthogonalitatsbedingung (Abb. 181) in dem Sinne, daB die MachschenLinien der achsensymmetrischen Stromung im Bildpunkte im Hodographensenkrecht auf den Charakteristiken der ebenen Stromung stehen. Es ist daherzweckmaBig, das Diagramm (Tafel II) auch hier zu verwenden. Keineswegssind aber die Bilder der Machschen Linien im Hodographen bei achsensymmetrischer Stromung fest.
Diese Bilder miissen schrittweise konstruiert werden.Natiirlich kann auf eine solche Hodographenkonstruktion verzichtet werden,doch bietet sie neben der Einfachheit der Zustandsbestimmung wegen ihrerAnschaulichkeit weitgehende Sicherheit gegen Rechenfehler. Ein solcher ist meistan der ausgefallenen Lage des entsprechenden Punktes leicht zu erkennen.Fiir die Konstruktion der Bilder der Mach-Linien im Hodographen sei dieexakte Gl. (89) als Differenzengleichung geschrieben. Sie lautet dann auf derlinks- und rechtslaufigen Mach-Welle:cot (W ----w-WI )+.sm .x sm. {} -l -yl-l = 0,cot (W + {}r -----w-WT ).. {} 1+ sm.xsmy- ={} --{}{} I-IXIXIT0.(96)320 VIII. Stationare, reibungsfreie ebene u. achsensymmetrische Uberschallstromung.-w- und· K oeff"lZ16n t en cotD IeIXsin IXysin {} k"onnen 1m.P un k te P und Pzrgenommen werden, wo sie bekannt sind. Genauer freilich ist es, sie anZwischenpunkten von P P z und P P r zu nehmen.
Dies macht nach einigenSchritten keinerlei Schwierigkeit, weiI sich Mittelwerte dann leicht durch Extrapolation abschatzen lassen. l - II und l - iT sind die Abstande des Punktes Pvon PI und P T in der Stromungsebene (Abb. 212).Die dritten Summanden in den Gl. (96) lassensich in einer Nebenrechnung leicht bestimmen.Bei ausgedehnteren Rechnungen ist es dannpraktisch, am Charakteristikendiagramm nochsin IX =~~ und sin {} zu notieren.
Diese Sum-manden ergeben sich aber auch sehr einfachgraphisch als das Verhaltnis zweier Strecken. INir.frden rechtsgelegenen Punkt P r beispielsweise (AbJltbildung 21:3) ist es das Verhiiltnis des Normalabstandes des Punktes P von der Stromungs.rAbb. 212. Ab tiinde an den lInch. inicn.richtung von P r dividiert durch den Achsenabstand von P T in dieser Richtung.Die Gl. (96) hat formal dieselbe Form wie die entsprechenden Gleichungen beiebener Stromung, wenn folgende GroBen eingefuhrt werden:{}{}Z=I-.. {} l - l l---;YSIn IX SIn{}- .T={}r+ SIn.IX.smQl-lTY1J' ------.(97)D. h.
der Zustand im Punkte P der Zustandsebene ergibt sich wie bei ebenerStromung, nur mit dem Unterschied, daB nun von zwei Punkten PI (Wz, {jz),Pr (Wr> lir) mit korrigierten Winkelwerten auszugehen ist (Abb.214). DieJ)Abb. 213.strecken im Zusatzglied bei Achsensymmetrie.Abb. 214. Bestimmung des Zustandes bei achsensymmctrisciler Stromung.Winkelkorrekturen sind dabei stets entgegengesetzt. Bei positivem Stromungswinkel {} ist {}z zu verkleinern, {} r zu vergroBern.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
