Автореферат (786342), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Предполагается, что стоимость базовогоактива определяется следующим случайным процессом:− (),− (() = (0) + + (), ∈ [0, ],где () - стандартный винеровский процесс, (0) - стартовая цена актива, - коэффициент линейного сноса, - волатильность. Также предполагается, что если хеджерв момент не имеет единиц базового актива, он может докупить недостающее количество актива по цене ( )(1 + ), где > 0 — надбавка за «срочность» операции.Данное предположение обеспечивает исполнение обязательства продавца опциона прилюбой длительности операций купли-продажи.Рассматривается динамическая система, описывающая процесс хеджирования.Вектор состояния системы на -м шаге , col( , , , ), = 1, 2, где — накопленные потери к началу -го шага, — количество единиц базового актива к началу-го шага, — стоимость базового актива к началу -го шага, а — момент началаi-го шага.
Начальное состояние системы задается вектором 1 = col (0, 0, , 0).Управление на каждом шаге рассматривается как функция текущего состояниясистемы: , ( ), = 1, 2.Множество допустимых управлений 1 на первом шаге определяется как1 , {1 : 1 ≥ 0}.(3.46)—16—Множество допустимых управлений 2 на втором шаге определяется как(3.47)2 , 2 (2 ) = {2 : 12 + 2 ≥ 0, 12 + 2 ≤ }.Динамика системы описывается рекуррентным соотношением:(3.48)+1 = ( , , ), = 1, 2, 3.где вектор случайных параметров определяется как:⎛⎜ = ⎜⎝⎞(︁ √︀)︁√︀⎟ + min{ , − } + max{0, + − }⎟,)︁(︁ √︀⎠√︀( − ) + min{ , − } + max{0, − − }(3.49)а 1 , 2 , 1 , 2 — Н.О.Р.С.В., имеющие стандартное нормальное распределение (0, 1).Вместо зависимых приращений ( )−(1 ) и ( )−(2 ) в модели случайных возмущений используются независимые случайные величины с теми же математическимиожиданиями и дисперсиями.
В силу независимости , и , векторы 1 и 2 являются независимыми.Функция перехода определяется следующим образом:⎛⎞⎛ + ( , , ) ( , , )⎜⎟⎜ + ⎟ = + ⎜ ( , , ) = ⎜⎝⎠⎝ + 1√ + 2 + ⎞⎟⎟,⎠где 1 (1 , 1 , 1 ) — функция потерь на первом шаге, записанная для реализации 1случайного вектора 1 :1 (1 , 1 , 1 ) ,⎧⎪⎨1 (0) − 1 ( + 12 ),1 (0) + ( + 13 )(1 + ) − − 1 ( + 12 ),⎪⎩ (0),1если 1 > , + 13 < ;если 1 > , + 13 ≥ ;если 1 ≤ .(3.50)Функция 2 (2 , 2 , 2 ) потерь на втором шаге, где 2 — реализация случайноговектора 2 , определяется выражением: ( , , ) ,⎧2 2 2 2⎪0,⎪⎪⎪⎪⎪⎨2 2 − (2 + 2 )(2 + 22 ),2 2 − 2 (2 + 22 ) + ( − 2 )(2 + 23 )(1 + ) − ,⎪⎪⎪2 2 − (2 + 2 )(2 + 23 ),⎪⎪⎪⎩ + ( − − )( + )(1 + ) − ,2 222223приприприприпри2 > ;2 > − 2 , 2 + 23 < ;2 > − 2 , 2 + 23 ≥ ;2 ≤ − 2 , 2 + 23 < ;2 ≤ − 2 , 2 + 23 ≥ .(3.51)—17—В качестве целевой функции рассматриваются суммарные потери при хеджированииΦ(3 ) = 31 = 3 .Рассматривается задача минимизации математического ожидания потерьΦ0 () = M[Φ(3 )] → min .∈(3.52)Для поиска оптимального управления в задаче минимизации математического ожидания суммарных потерь используется метод динамического программирования:Φ ( ) = inf M[Φ+1 (+1 )| ], = 1, 2; ∈Φ3 (3 ) =Φ(3 ),где Φ ( ) — функция будущих потерь.Условное математическое ожидание функции будущих потерь на последнем шаге определяется с помощью теоремы:Теорема 3.2.но (3.51), а векторЕсли функция потерь на втором шаге определяется соглас-2 случайных параметров определяется в соответствии с (3.49),то условное математическое ожидание функции будущих потерь равноM[Φ(3 )|2 ] = 2 −− 22 (2 , 2 ) − 2 (2 , 2 ) 2 (2 ) − 2 ( − 2 ) − 2 (1 − (2 , 2 ))2 + 3 ,)︂(︂ − 2 − ( − 2 )√где (2 ) , Φ,(2 , 2 ) , − |2 | ( −2 ) , − 2√(−2 −( −2 ))2 − 2−+2 2 ( −2 )23 , ( − 2 ) + √,2 (1 − (2 ))√−2 ))2 − 2 − (−222−(−( −2 )23 , ( − 2 ) − √,2 , (2 + +23 )(1 − (2 )),2(2 ))︀(︀)−(1 − (2 )) − 2 (2 + −3 , ( − 2 )(1 + )(2 + +2323 )(2 ).Производная математического ожидания M[Φ(3 )|2 ] равна:2M[Φ(3 )|2 ] = − 2 (2 , 2 ) − ( − 2 )(2 , 2 ) sign 2 +2+ (2 , 2 )(2 − 2 (2 )) +( − 2 )(2 , 2 )(2 − 2 (2 )) − (( − 2 ) + 2 ).|2 |Анализ выражения для M[Φ(3 )|2 ] и производной 2 M[Φ(3 )|2 ] показывают,что 2 M[Φ(3 )|2 ] непрерывна и имеет не более одного корня слева и справа от нуля.
Следовательно, M[Φ(3 )|2 ] имеет не более двух локальных минимумов на отрезке—18—[−2 , − 2 ], по разные стороны от нуля. Оптимальную стратегию *2 можно определить, отдельно решив задачи минимизации M[2 (2 , 2 , 2 )] по 2 слева и справа отнуля. Функция будущих потерь на втором шаге равнаΦ2 (2 ) = 2 + M[2 (2 , *2 , 2 )].(3.53)Для поиска оптимальной стратегии *1 на первом шаге предложен алгоритм:Алгоритм 3.2.1. Задать шаг сетки ℎ и требуемое количество реализации для метода МонтеКарло, положить номер шага равным 0, * = ∞ и *1 = 0.2. Положить 1 = ℎ, = 0 и сгенерировать выборку { }, = 1 : , реализаций случайного вектора 1 .3.
Для каждой реализации определить 2 согласно (3.48) и вычислить Φ2 (2 )по формуле (3.53). Присвоить = + 1 (1 (1 , ℎ, ) + Φ2 (2 )).4. Если <[︀ ]︀* , то положить * = и *1 = ℎ. Перейти к шагу 5.5. Если > ℎ , то завершить работу алгоритма, иначе положить = + 1 иперейти к шагу 2.В результате работы данного алгоритма удается найти оптимальное управлении*1 на первом шаге. Величина * определяет математическое ожидание суммарныхзатрат на хеджирование за два шага при оптимальном управлении на первом шаге.В четвертой главе рассматривается задача управления автоматическим аэростатом с целью удержания аэростата в заданной полосе высот на протяжении фиксированного времени полета.
Управление аэростатом осуществляется путем сброса балласта на нижней границе полосы высот и частичным выпуском через клапан рабочегогаза на верхней границе таким образом, чтобы при отсутствии внешних возмущенийпосле достижения какой-либо границы полосы аэростат двигался с одной и той же помодулю скоростью в сторону противоположной границы полосы.Полоса высот, в которой необходимо удерживать аэростат в течение времени : , {(ℎ, ) : ℎ ∈ [ℎ ; ℎ ], ∈ [0; ]}.(4.54)Высота ℎ() аэростата в момент времени описывается винеровским процессом с отражением с постоянным по модулю линейным сносом:ℎ() , ℎ + (, ) + (),(4.55)где () — стандартный винеровский процесс, а функция (, ) определяется как{︃(),(, ) ,−(),если последней была достигнута нижняя граница ;если последней была достигнута верхняя граница ,где () — положительная строго возрастающая функция, а — масса одного груза вбалласте.
Таким образом, при достижении аэростатом границы полосы происходитрелейное переключение средней вертикальной компоненты скорости с () на −().Рассматривается задача минимизации математического ожидания времени нахождения аэростата за пределами полосы при условии, что аэростат останется—19—управляемым в течение времени с вероятностью не меньше заданного уровня , т.е.запаса балласта хватит на обеспечение управления в течение времени , а суммарнаямасса балласта не превышает грузоподъемность аппарата .
В качестве оптимизационных переменных выберем массу единицы груза в балласте (одного мешка с песком)и количество грузов. Обозначим массу одного груза как , а общее количество грузовв балласте как . При наличии грузов можно произвести 2 + 1 управляющеевоздействие Получается задача оптимизации:M[ ] → min,(4.56)при ограничениях{ ≤ 2 + 1} ≥ , ≤ , ≥ 0,+ ∈ Z ∪ {0},где — время, в течение которого аэростат находился за пределами полосы , а —количество переключений (управлений) за время полета аэростата.Для решения задачи (4.56) предложен численный алгоритм, использующий доказанное свойство монотонности вероятности { ≤ 2 + 1} по массе одного груза.Для вычисления математического ожидания на каждом шаге алгоритма используется метод Монте-Карло.В заключении подведены основные итоги данной работы, сформулированырезультаты, представляемые диссертантом к защите.Основные результаты, выносимые на защиту1.
Получено выражение для математического ожидания потерь хеджера, использующего модифицированную стратегию последовательного хеджирования. Предложен алгоритм поиска оптимальной ширины полосы «нечувствительности», минимизирующей средние затраты хеджера, использующего модифицированную стратегиюпоследовательного хеджирования [1, 6].2.
Получено выражение для функции распределения потерь хеджера, использующего модифицированную стратегию последовательного хеджирования. Найденыточки разрыва, значения левых и правых пределов в точках разрыва, а также промежутки монотонности функции распределения потерь [2, 4, 8].3. Предложен алгоритм построения верхней и нижней оценок квантили безусловного распределения потерь на основе значений квантилей условных распределений потерь при известном числе пересечений полосы «нечувствительности» траекторией курса базового актива [2, 7, 8].4. Исследована двухшаговая задача хеджирования европейского колл-опционапри случайной длительности выполнения операций покупки и продажи базового актива. Доказано существование не более двух точек локального минимума функциибудущих потерь на последнем шаге.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
