Автореферат (786342), страница 3
Текст из файла (страница 3)
(, ) = 0.Рассматривается задача минимизации величины средних потерь хеджера по ширине полосы «нечувствительности» :() →(2.16)min .0≤≤Наряду с задачей (2.16) минимизации безусловных средних потерь хеджера,рассмотривается задача минимизации условных средних потерь:* () = argmin (, ), ∈ (0, ).(2.17)0≤≤Максимальная допустимая ширина полосы задается хеджером и зависит от егосклонности к риску, рыночных ожиданий и стоимости опциона.С учетом (1.4), условное математическое ожидание потерь хеджера равно(, ) =∞∑︁[︃ ]︃[︃(︃2+1)︃ ]︃∞∑︁∑︁∏︁ (, )M − (2 + 1, )M(1 − ) ==0=0=∞ ∑︁∑︁=0 =0=1=0M[ ] (, ) −∞∑︁(1 − ())2+1 (2 + 1, ).
(2.18)=0С учетом (1.3), средние потери при одном пересечении равны⎧()(M[( + )(1 + )] − ) + (1 − ())+ , если = 1,⎪⎪⎪⎨(1 − ())−1 − , если = 2,M[ ] =⎪(1 − ())−1 (()(M[( + )(1 + )] − ) + (1 − ())+ ),⎪⎪⎩если = 2 + 1,(2.19)—11—где = 1, 2, · · · .Во второй главе доказано, что условное и безусловное математическое ожидание потерь являются непрерывными и дифференцируемыми функциями параметра .Показано, что при → 0 число пересечений полосы траекторией () за время стремится к бесконечности, а значит средние потери также стремятся к бесконечности:() → ∞ при → 0. Численные расчеты показывают, что функция () имеет единственную точку минимума по на (0, ). Для поиска точки минимума среднихпотерь может быть использован любой метод оптимизации для одноэкстремальныхзадач, например метод дихотомии.
Выбор метода дихотомии обусловлен тем, что данный метод является робастным и обеспечивает сходимость к одному из локальныхминимумов, в случае если задача не является одноэкстремальной.Также во второй главе найдено выражение для функции вероятности и предложен алгоритм построения верхней и нижней оценок функции квантили. При заданнойфункции () потерь функция вероятности характеризует вероятность того, что потери хеджера не превысят заданный уровень : () , {() ≤ }.(2.20)Функция квантили характеризует порог, который потери хеджера не превысят с заданной вероятностью : () , min{ : () ≥ }, где ∈ (0; 1).(2.21)Вероятность {() ≤ } зависит от ширины полосы , момента первогодостижения уровня траекторией () и числа + + − пересечений полосы , иможет быть вычислена по формуле полной вероятности () = 1 − ( ) +∞ ∫︁∑︁=0{(, ) ≤ | + + − = } (, ) (),(2.22)0где — количество пересечений полосы .Вводится в рассмотрение условная функция распределения потерь при условии,что траектория процесса () достигла уровня цены поставки в момент времени : (, ) =∞∑︁{(, ) ≤ | + + − = } (, ).(2.23)=0Функции () и (, ) связаны соотношением:∫︁ () = 1 − ( ) + (, ) ().(2.24)0Для функций условного распределения потерь хеджера вводятся обозначения: (, ) , {() ≤ | + + − = },(2.25) (, , ) , {(, ) ≤ | + + − = }.(2.26)Функции (, ) и (, , ) связаны между собой соотношением∫︁ (, ) = (, , ) ().0(2.27)—12—В главе найдены выражения для условных функций распределения (, , ).
Дляэтого используются обозначения: ]︁ * max{ + − * ()(+ + − ), (1 + )} () = +, ,. + −1+*[︁(2.28)При фиксированном , число * () определяет допустимое количество пар последовательных пересечений до момента исполнения опциона, при котором суммарные потеригарантированно не превосходят . Величина * определяет максимальную цену покупки базового актива, при которой суммарные потери, с учетом уже произведенныхзатрат, не превосходят .
Возможны 3 случая:1. Если < 2 * (), то есть произошло слишком мало пересечений, то(2.29) (, , ) = 1.2. Если = 2 * (), то2 * () (, , ) = 1 − (1 − ())2 * ()+ (1 − ()){( ) ≤ * |() = }. (2.30){( ) ≤ (1 + )|() = }3. Если ≥ 2 * () + 1, то (, , ) = 1 − (1 − ())2*()+ (1 − ())2*()() (* − ).(2.31)Функции (, , ) являются разрывными по в точках = (+ + − ), азначит и функция () также является разрывной в точках , = 1, 2, ..., в силусоотношений (2.23) и (2.24). Если = + 0, то * () = , и правые пределы равны:+ (, , ) , lim (, , ) =→ +0⎧⎪⎨1,{( )≤|()=}1 − (1 − ())2 + (1 − ())2 {()≤(1+)|()=} ,⎪⎩1 − (1 − ())2 ,при < 2;при = 2;(2.32)при ≥ 2 + 1.Аналогично, при = − 0 получаем * () = − 1, и левые пределы равны:{︃1,− (, , ) , − (, , ) =1 − (1 − ())2−1 ,при ≤ 2 − 2;при ≥ 2 − 1.(2.33)В силу (2.28)-(2.31) и того, что функция (·) является возрастающей, для любого > 0 функция (, , ) строго возрастает по при ∈ ((+ +− ), ( +1)(+ +− )],где принимает целые значения от 0 до [ 2 ].
Функция принимает постоянное значение,равное + (, , ), при ∈ [(+ + − ); (+ + − ) + ), где = 0, 1, · · · , [ 2 ]. А также (, , ) = 1 при > ([ 2 ] + 1)(+ + − ).Из соотношения (2.27) следует, что функции (, ) также терпят разрывы вточках . Левые и правые пределы функции (, ) в этих точках равны− (, )+ (, )∫︁, lim (, ) =→ −00∫︁, lim (, ) =→ +00− (, , ) (),(2.34)+ (, , ) ().(2.35)—13—Аналогично, из (2.23) и (2.24) следует, что разрывы функции () будут происходитьтакже в точках . Левые и правые пределы () равны− (), lim () = 1 − ( ) +→ −0+ () , lim () = 1 − ( ) +→ +0∞ ∫︁∑︁=0 0∞ ∫︁ ∑︁=00− (, , ) (, ) (),(2.36)+ (, , ) (, ) ().(2.37)Поскольку известна функция распределения величины потерь хеджера, можноопределить квантиль распределения этой величины (2.21).
Для нахождения верхнейи нижней оценок неизвестной квантили () в диссертации предложен алгоритм, использующий значения квантилей условных распределений потерь. Определим квантиль распределения потерь при условии, что произошло суммарно пересечений, как (, ) , min{ : (, ) ≥ }.(2.38)Квантили условного распределения потерь вычисляются следующим образом.Если существует целое > 0 такое, что − (, ) < ≤ + (, ), то условная квантиль равна (, ) = (+ + − ).
Иначе существует > 0 такое, что+ (, ) < ≤ −+1 (, ) и условная квантиль принадлежит интервалу ((+ +− ) + ; ( + 1)(+ + − )). В этом случае, согласно (2.28), получаем (, ) + − (+ + − ). ( (, )) = , =1+**Если = 2, то условная квантиль определяется как решение уравнения1 − (1 − ())2 + (1 − ())2{( ) ≤ * }= .{( ) ≤ (1 + )}Если > 2, то условная квантиль является решением уравнения1 − (1 − ())2 + (1 − ())2 () (* − ) = .В силу соотношений (2.29)—(2.31), функции условного распределения потерьхеджера не возрастают по , если{( ) ≤ * }.() ( − ) ≤{( ) ≤ (1 + )}*(2.39)Следовательно, при выполнении условия (2.39), условные квантили (, ) не убывают по и неограничены сверху.
При этом (,0) () ≤ 1 − ( ) + . Если положитьпо определению , + ( ) − 1,(2.40)то существует > 0 такое, что (,) () ≥ , (,−1) () ≤ .—14—Величины (, − 1) и (, ) могут быть использованы как нижняя и верхняяоценки безусловной квантили (). Обозначим их как− = (, − 1),+ = (, ).Отрезок [ (, −1), (, )] всегда содержит одну или две точки разрыва функции (). Если отрезок содержит две точки разрыва, т.е. если существует > 0 такое,что (, − 1) = (+ + − ), (, ) = ( + 1)(+ + − ),то возможны два случая:1. Если −+1 () < , тогда положим+−++−− = ( + ) + , и = ( + 1)( + ).(2.41)2.
Если −+1 () > , тогда++−− = = () = ( + ).(2.42)Если же отрезок [ (, − 1), (, )] содержит одну точку разрыва, т.е. существует > 0 такое, что (, − 1) ≤ ≤ (, ), то возможны 3 случая:1. Если − () > , тогда положим++−− = (, − 1), и = ( + ).(2.43)2. Если + () < , тогда положим+−+− = ( + ) + , и = (, ).(2.44)3.
Если − () < < + (), тогда положим++−− = = () = ( + ).(2.45)+Функция () непрерывна и строго возрастает на интервале (− ; ). Если+известна оценка константы Липшица функции () на интервале (− ; ), то могутбыть построены верхняя и нижняя кусочно-линейные огибающие функции (): + (, ) = min{−+ (), +− () + ( − − )}, − (, ) = min{+− (), −+ () + ( − + )}.Отсюда получаются уточненные оценки неизвестной квантили−= − +− ()+−,+= − −+ ()+ +.−Для получения требуемой точности (+ − < ) предложен следующий алгоритм:Алгоритм 2.1.—15—+1. Если существует > 0 такое, что − () < ≤ + (), то − = = =(+ + − ) и работа алгоритма завершается.
Иначе найти величины (, − 1) и (, ) такие, что + (,−1) () < < − (,) (), где определяется согласно (2.40).2. Если существует ≥ 0 такое, что (, − 1) = , а (, ) = +1 ,+то в соответствии с (2.41) определить оценки неизвестной квантили − (0) и (0).Положить = 1 и перейти к шагу 4.
Иначе перейти к шагу 3.3. Найти такое, что (, − 1) ≤ ≤ (, ) и в соответствии с (2.43)—+(2.45) найти − (0) и (0). Положить = 1 и перейти к шагу 4.4. Найти уточненные оценки квантили− ()= − +− (−1) ()+− (− 1),+ ()= − −+ (−1) ()+ + ( − 1).−Если + () − () ≤ , то завершить работу алгоритма, иначе перейти к шагу 5.−+ ()+ ()5. Вычислить = + ()+− () (). Если > , то +(+1)=и − ( +22+−+ ()1) =иначе+ 1) = ()+и + ( + 1) = (). Положить = + 1 и2перейти к шагу 3.−В ходе работы алгоритма оценки + () и () будут сходиться к квантили (). При этом, +− (0) () < , а −+ (0) () > .В третьей главе рассмотрена двухшаговая задача хеджирования коллопциона европейского типа с критерием в форме математического ожидания затрат нахеджирование. Предполагается, что длительности операций купли-продажи базовогоактива случайны, независимы и имеют экспоненциальное распределение,(︁параметрко)︁торого зависит от объема покупаемых или продаваемых активов: ∼ E ||, где —длительности сделки, — объем сделки, а — параметр, характеризующий среднеевремя покупки и продажи единицы базового актива.В соответствии с контрактом хеджер должен продать держателю опциона единиц базового актива по цене в момент .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
