Диссертация (786272), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Faber [94], J.K. Sengupta [152]. Свойствадвухэтапных задач, а также методы решения задач данного класса рассмотрены в работахтаких авторов, как А.С. Величко [7], J.R. Birge и F. Louveaux [85], G.B. Dantzig [89], I. Deák,I. Polík и др. [91], P. Kall и S.W. Wallace [111], А. Ruszczyński [146], S.W. Wallace и Т. Yan [163],R.J.-B. Wets [166].
Различные практические приложения двухэтапных задач можно найти в работах М.Б. Щепакина [72], Д.Б. Юдина [75, 76], J.L Milder и R.D. Wollmer [130],S.W. Wallace и W.T. Ziemba [164].В авиационной и ракетно-космической технике наиболее адекватными являются постановки задач стохастического программирования с вероятностными критерями качества.Применение вероятностных критериев качества при решении задач стохастического программирования обеспечивает получение гарантированного по вероятности реультата. Вероятностный критерий представляет собой вероятность непревышения допустимого уровня потерь, связанных с реализацией оптимизируемой стратегии.
А квантильный критерийпредставляет собой уровень потерь при реализации стратегии, непревышение которого гарантируется с заданной вероятностью. При использовании вероятностного критерия потери,связанные с реализациями оптимизационных стратегий, фиксируются на некотором допустимом уровне, а вероятность непревышения этого уровня максимизируется. В случае сквантильным критерием — вероятность непревышения уровня потерь фиксируется на допустимом уровне, а потери при реализации стратегии минимизируются.Задачи стохастического программирования с вероятностными ограничениями впервые были рассмотрены в работе A. Charnes, W.W.
Cooper и G.N. Symonds [95]. Дальнейшие исследование указанного класса задач были продолжены в работах A. Charnes иW.W. Cooper [96, 97], P. Kall [109], P. Kall и J. Mayer [110], P. Kall и S.W. Wallace [111],S. Kataoka [113–116], V.V. Kolbin [120], B.L. Miller и H.M. Wagner [131], A.Prékopa [140],8G.H. Symonds [159], S. Vajda [162] и др.Квантильный критерий впервые был введен в рассмотрение в работе S. Kataoka [115].Дальнейшее изучение задач с квантильным критерием связано с именами Р.
Леппа [47,122],Э. Райка [58–60], Э. Тамма [65, 66], Э. Юби [73, 74].Изучению свойств вероятностных и квантильных критериев посвящено большое количество работ А.И. Кибзуна [24] в соавторстве со своими учениками — Б.В. Вишняковым [9, 10], В.А. Ефремовым [16], Ю.С. Каном [21, 22, 25, 117], В.Ю. Курбаковским [26],Е.Л. Матвеевым [30–33], А.В. Наумовым [34, 35], Г.Л. Третьяковым [40].Результаты исследований в области теории и практики решения задач с вероятностным критериями представлены работах Ю.М.
Ермольева [15], А.И. Кибзуна и Ю.С. Кана [25,117], А.И. Кибзуна и В.В. Малышева [28,29,49], В.И. Норкина [134], С.П. Урясьева [160, 161],P. Beraldi и A. Ruszczyński [82,83], K. Marti [129], J. Luedtke, S. Ahmed и G.L. Nemhauser [126],А. Nemirovski и А.
Shapiro [132, 133], А. Prékopa [138, 139], A. Ruszczyński и A. Shapiro [148],А. Shapiro, D. Dentcheva и A. Ruszczyński [155].В работе А.И. Кибзуна и А.В. Наумова [35] была впервые сформулирована двухэтапная задача стохастического программирования с квантильным критерием. В указаннойработе была показана показана эквивалентность априорной и апостериорной постановокзадач квантильной оптимизации.
В работе А.В. Наумова и И.М. Бобылёва [52] отраженырезультаты дальнейших исследований двухэтапной задачи стохастического программирования с квантильным критерием. В частности, для скалярного случая предложен детерминированный эквивалент, а также доказана непрерывность функции квантили критерия задачивторого этапа, предложены условия существования решения задачи.Важным направлением стохастического программирования является решение задачс вероятностными критериями при дискретном распределении случайных параметров.
Данная задача впервые была исследована в работе F.S. Hillier [106], последующие исследованияданного вопроса отражены в работах P. Beraldi и A. Ruszczyński [82,83], J. Luedtke, S. Ahmedи G.L. Nemhauser [126], S. Sen [151]. Дискретное распределение может быть применено дляаппроксимации непрерывного распределения случайных параметров в задачах стохастического программирования. В работе А.И. Кибзуна и И.В.
Никулина [39] исследовался вопросвозможности дискретной аппроксимации линейной двухэтапной задачи стохастического программирования с квантильным критерием.Алгоритмы, основанные на переходе от задачи с вероятностными ограничениями кэкивалентной задаче смешанного математического программирования, были предложены9в работах J. Luedtke, S. Ahmed и G.L. Nemhauser [126], A. Ruszcyński [147], S.
Sen [151].В работе В.И. Норкина [135] данный результат был обобщен для задач стохастическогопрограммирования с квантильным критерием. А в работах А.И. Кибзуна, А.В. Наумова иВ.И. Норкина [36, 37] предложена процедура сведения двухэтапных задач стохастическогопрограммирования с квантильным критерием при дискретном распределении случайныхпараметров к задаче смешанного целочисленного программирования.Прикладные двухэтапные задачи стохастического программирования с критерием вформе квантили применялись для оптимизации экономических систем. Например в работах А.В. Наумова [50, 51] исследовалась задача оптимизации бюджета госпиталя и задача оптимального инвестирования по квантильному критерию, в работе А.Б.
Богданова иА.В. Наумова [5] рассмотрена логистическая задача, в работе А.В. Наумова и С.В. Уланова [55] исследована задача оптимального распределения ресурсов, а в работе А.И. Кибзуна,А.В. Наумова и С.В. Уланова [38] рассмотрена задача оптимизации самолётного парка авиакомпании.Одним из эффективных способов решения вероятностных задач оптимизации является обобщённый минимаксный подход. В монографиях А.И. Кибзуна и Ю.С. Кана [25, 117]рассмотрено продолжение обобщённого минимаксного подхода, предложенного В.В. Малышевым и А.И. Кибзуном в монографии [49]. Смысл данного подхода заключается в заменеисходной задачи квантильной оптимизации эквивалентной минимаксной задачей, в котороймаксимум от целевой функции потерь берётся по всем возможным значениям случайныхпараметров, принадлежащих некоторому доверительному множеству соответствующей вероятностной меры.
Внешний минимум при этом берётся по стратегии оптимизации и всемдоверительным множествам этой же вероятностной меры. Точное решение данной задачиможет быть получено лишь в некоторых частных случаях, поэтому часто осуществляетсяпоиск некоторого допустимого решения задачи при фиксированном доверительном множестве. Получаемое при найденном допустимом решении значение критериальной функциипредставляет собой верхнюю оценку оптимального значения критерия задачи.Для получения точного решения задачи стохастического программирования с квантильным критерием могут быть использованы методы, основанные на процедуре стохастической аппроксимации.
Исследования применения данных методов представлены в монографиях А.И. Кибзуна и Ю.С. Кана [25, 117] и в работах Ю.С. Кана [19, 20], А.И. Кибзуна иЕ.Л. Матвеева [31, 119]. Следует отметить, что данные методы нельзя применить для широкого класса задач, кроме того, они отличаются низкой скоростью сходимости.10При решении двухэтапных задач стохастического программирования применяетсятеория двойственности, что отражено в работах A.
Madansky [127], R.T. Rockafellar иR.J.-B. Wets [141, 142], R.J.-B. Wets [168].Одним из методов решения двухэтапных задач квантильной оптимизации являетсясведение данных задач к одноэтапным. Одноэтапные задачи квантильной оптимизации рассмотрены в монографиях А.И.
Кибзуна и Ю.С. Кана [25, 117].Для исследований экономических систем, описанных с помощью линейных моделей,применяются двухэтапные задачи стохастического линейного программирования.Классическая постановка двухэтапной задачи стохастического линейного программирования с критерием в форме математического ожидания выглядит следующим образом:1 + M[Φ(, )] → minпри ограничениях: 1 = 1 , ≥ 0,где 1 ∈ IR , — стратегия первого этапа, ∈ IR , 1 ∈ IR – детерминированный вектор,1 ∈ IR× — детерминированная матрица, 1 и 1 — параметры задачи первого этапа, —случайный вектор, параметры задачи второго этапа 2 (), 2 (), 2 (), ℎ2 () имеют некоторое совместное распределение и заданы на одном пространстве элементарных событий Ω.Задача второго этапа имеет следующий вид:Φ(, ) = min 2 при ограничениях:2 = ℎ2 − 2 , ≥ 0,где — реализация случайного вектора , 2 ∈ IR , 2 ∈ IR× , 2 ∈ IR× , ℎ2 ∈ IR .Двухэтапные задачи линейного стохастического программирования активно изучались различными исследователями, например в работах J.R.
Birge и F.V. Louveaux [85],P. Kall [109], S. Sen [150] рассмотрены свойства задач данного класса.Изучение задач нелинейного стохастического программирования представлено в работах Э. Райка [58, 59], M.A. Hanson [104].11Двухэтапные задачи стохастического линейного программирования с критерием в форме математического ожидания рассматривались в работах J.R. Birge иF.V. Louveuax [85], P.
Kall и S.W. Wallace [111], R. Wets [166, 167].Актуальность диссертационной работы обусловлена ограниченностью исследованиямногоэтапных задач стохастического программирования, в частности, отсутствием постановки многоэтапной задачи стохастического программирования с квантильным критерием,а также алгоритмов её решения. В диссертации рассматривается новый класс задач — многоэтапные задачи стохастического программирования с квантильным критерием. Кроме того,для двухэтапной задачи стохастического программирования с квантильным критерием ранее не рассматривались алгоритмы поиска решения в случае билинейной функции потерь.Цели и задачи работы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
