Диссертация (786272), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Поскольку максимум из выпуклых функций оказывается также выпуклой функцией, то согласно (2.8) функция ( , ),определяемая выражением (2.18), будет выпуклой по ∈ . Следовательно, задача (2.16)является задачей выпуклого программирования.Лемма 2.4 доказана. 251Исследуем свойства функции задачи (2.16) выпуклого программирования. В предположении, что для всех норма в выражении (Доказательство леммы 2.5.Рассмотрим два значения 1 и 2 радиуса шара , где ∈ [, ].

Пусть 2 > 1 , где2 , 1 ∈ [, ]. Тогда для каждого значения стратегии ∈ согласно (2.19) имеет местонеравенство(2 , ) > (1 , ).Следовательно,Δ2 = min (2 , ) ≥ 1 = min (1 , ).∈∈Поскольку 1 и 2 выбирались при условии 2 > 1 , где 2 , 1 ∈ [, ], то это означает, чтофункция монотонно возрастает на [, ].Докажем теперь, что непрерывна на [, ]. Предположим противное, что в точке1 функция терпит разрыв.

Рассмотрим вначале такое 1 , что 1 ∈ [, ) и − 1 ≥ ∆ > 0 для всех ∈ [1 , ].(2.20)В работе В.Ф. Демьянова и Л.В. Васильева [14, C. 62] приводится утверждение о том, чтовыпуклая функция является липшицевой на любом выпуклом ограниченно множестве, тоесть для любого ограниченного множества найдется < ∞ такое, что| () − ()| ≤ || − ||∀ ∈ , ∀ ∈ .Соответственно, выпуклая на компакте функция является липшицевой. Согласно (2.19) функция (1 , ) выпукла по на компакте и линейна по для всех ∈ ,¯причем элементы матрицы ()в соответствии с выражением (2.13) линейны по . Поэтомувыполняется¯T¯( , 1 ) − (1 , 1 ) = T0 1 + max {||1 1 + (1 ) || + (1 ) }−=1,¯T¯− (T0 1 + max {1 ||1 1 + (1 ) || + (1 ) )} ==1,¯ 1 ) ||} = ( − 1 ) max ||1 1 + (¯ 1 ) || ≤= max{( − 1 )||1 1 + (=1,=1,¯≤ ( − 1 ) max max ||1 + ()|| = ( − 1 ), (2.21)∈ =1,где < ∞.Выберем далее величину как минимальное из двух значений, то есть = min{1 + ∆/(2), }52и рассмотрим функцию ( , 1 ), сравнив ее с 1 = (1 , 1 ).

Используя найденную оценку (2.21), получаем, что( , 1 ) − 1 ≤∆.2Но по условию (2.20) справедливо ≥ 1 , так как > 1 и при этом выполняется следующее неравенство = ( , ) ≤ ( , 1 ),поскольку 1 — не обязательно оптимальная стратегия для ( , ). Следовательно, − 1 ≤ ∆/2, что противоречит предположению (2.20).Рассмотрим теперь такое 1 , что 1 ∈ (, ] и1 − ≥ ∆ > 0 для всех ∈ [, 1 ].(2.22)Поскольку все рассуждения относительно липшицевости функции (1 , ), приведённые выше, сохраняются, сравним (1 ) и ( ) при новых предположениях о радиусе 1 :¯T¯(1 , 1 ) − ( , 1 ) = T0 1 + max {1 ||1 1 + (1 ) || + (1 ) }−=1,¯T¯− (T0 1 + max {||1 1 + (1 ) || + (1 ) )} ==1,¯ 1 ) ||} = (1 − ) max ||1 1 + (¯ 1 ) || ≤= max{(1 − )||1 1 + (=1,=1,¯|| = (1 − ), (2.23)≤ (1 − ) max max ||1 + ()∈ =1,где — некоторая константа, < ∞.Выберем = min{, 1 − ∆/(2)}и сравним функции ( , 1 ) и 1 = (1 , 1 ). Используя найденную выше оценку (2.23),получаем1 − ( , 1 ) ≤∆.2В силу того, что 1 > и стратегия 1 не обязательно является оптимальной стратегиейдля ( , ), выполняется следующее неравенство( , 1 ) ≥ ( , ),следовательно 1 − ≤ ∆/2, что противоречит предположению (2.22).Таким образом, непрерывна на [, ].Лемма 2.5 доказана.

253Рассмотрим теперь задачу (2.18) для двух случаев: = и = , где — радиусядра гауссовской меры , а — радиус доверительного шара ∈ ℱ , ( ) = .Для нормального распределения (⃗0, ) радиус может быть найден как решениетрансцендентного уравнения, приведённого в работе В.В. Малышева и А.И. Кибзуна [49]:1(−2)/22Γ(/2)∫︁−1 exp(−2 /2) = ,(2.24)0где Γ(·) — гамма-функция.Лемма 2.5.

Для решения задачи (2.7) имеет место двусторонняя оценка ≤ ≤ ( ) ≤ ,(2.25)причем − → 0 при → 1.Доказательство леммы 2.6.ΔВначале докажем неравенство (2.25). Согласно лемме 2.4 стратегия , где = ,существует.Для стратегии согласно (2.16) верно равенствоT = ( , ) = sup {T0 + 1 + Φ( , )}.∈Поскольку выполняется включениеT ⊂ { : T0 + 1 + Φ( , ) ≤ }(2.26)и ( ) = , так как — радиус доверительного шара, тоT ( ) = { : T0 + 1 + Φ( , ) ≤ } ≥ ( ) = .Но по определению функции квантилиΔ ( ) = min{ : ( ) ≥ }.Отсюда следует, что ( ) ≤ . Поскольку — не обязательно является оптимальнойстратегией для задачи (2.6), то ≤ ( ).

Следовательно, выполняется неравенство ≤ ( ) ≤ .Заметим, что функция T 1 + Φ(, ), стоящая под знаком max в (2.18) кусочнолинейна и выпукла по для каждого ∈ . Поэтому оптимальное -доверительное множество согласно утверждению из монографии А.И. Кибзуна и Ю.С. Кана [25, C. 198]54выпукло и замкнуто. Следовательно, согласно лемме 2.3 -ядро содержится в выпукломзамкнутом множестве , то есть ⊂ .

Поскольку — радиус ядра гауссовской мерыΔ, то в рассматриваемом случае = , где = . Следовательно, ⊂ . В силу того,что ( ) ≥ и ( , ) = , получаем( , ) ≤ ( , ) ≤ ( , ) = .Поэтому верно неравенство ≤ .Следовательно, доказано утверждение (2.25) леммы 2.6.Теперь покажем, что − → 0 при → 1. Согласно монографии А.И. Кибзунаи Ю.С. Кана [25, лемма 3.18, с.

211] для случайного вектора , имеющего стандартныйнормальный закон распределения (⃗0, ) выполняется свойство − → 0 при → 1.В лемме 2.5 было доказано, что функция непрерывна на [ , ]. Поэтому выполняется − → 0 при → 1.Лемма 2.6 доказана. 2Верхняя оценка оптимального значения функции квантили может быть улучшена.Для этого следует выбрать значение ∈ [, ) в задаче (2.16) такое, что ≤ < .Рассмотрим множествоΔT = { : TT ( , ) ] ≤ }0 + 1 + max [¯(2.27)=1,и определим такое 0 , чтоΔ0 =inf { : ( ) ≥ }.(2.28)∈[,]Заметим, что 0 существует, поскольку при = верно, что ( ) ≥ , так каксогласно (2.26) выполняется ⊂ , а также верно ( ) = . Кроме того, при = выполняется ( ) ≤ , поскольку содержится в одном из полупространств с вероятностноймерой , которые, в свою очередь, образуют, согласно определению 1.2, ядро .Сформулируем вспомогательное утверждение.

Пусть ¯ — правильный многогранник, симметричный относительно нуля, с гранями, касающимися шара . Сравним ¯ спроизвольным многогранником с тем же числом граней и содержащим . Следующееутверждение устанавливает связь между вероятностными мерами многогранников ¯ и .Лемма 2.6. Если случайный вектор имеет нормальное распределение (⃗0, ), то(¯ ) ≤ ( ) для любого > 0 и любого ≥ + 1, ∈ .Доказательство леммы 2.7.55Рассмотрим только такие многогранные множества , все грани которых касаютсяшара . В противном случае можно рассмотреть подмножество 1 ⊂ , грани которогопараллельны граням множества и касаются . При этом будет выполняться неравенство (1 ) < ( ), поскольку в рассматриваемом случае вероятностная мера являетсягауссовой, следовательно, она абсолютно непрерывна относительно меры Лебега.Далее для простоты доказательства рассмотрим случай в двумерном пространстве( = 2), когда количество граней многогранного множества = 4.

Симметричным множеством ¯ с четырьмя гранями является квадрат. Причем множество ¯ инвариантно относительно поворота осей координат. Пусть у многогранника одна грань Γ() отличаетсяот грани Γ̄(¯) квадрата ¯ , где и ¯ — точки, в которых грани Γ() и Γ̄(¯), соответственно,касаются круга (см. рисунок 2.1).Рис. 2.1 Вариация симметричного многогранного множества ¯Δ ¯Δ¯ =Рассмотрим множества ∖ и = ∖¯ . Грани Γ() и Γ̄(¯) пересекаются¯ , которое симметрично множеству ¯ отв точке * . Пусть 1 — множество, подобное ¯ и 1 , а также сферическойносительно точки * . Заметим, что ввиду симметричности симметричности гауссовской плотности распределения вероятностная мера этих множеств¯ ) = ( 1 ). Но ∖ 1 ̸= ∅ и вероятностная мерабудет совпадать, то есть выполняется (этого множества ( ∖ 1 ) > 0.

Поэтому¯ ).( ) = ( 1 ) + ( ∖ 1 ) > ( 1 ) = (Таким образом, вероятностная мера многогранного множества превосходит вероятностную меру симметричного многогранного множества ¯ , то есть выполняется( ) > (¯ ).56Аналогичные рассуждения можно провести для произвольного числа граней и для произвольной размерности . Таким образом, лемма 2.7 доказана. 2Представленные в разделе 2.2 утверждения позволяют сформулировать следующуютеорему для размерности ≥ 2.Теорема 2.1.

Для задачи (2.16) справедливы утверждения:(i) 0 < , гдеΔ0 = inf { : ( ) ≥ };∈[,](ii) существует ∈ [0 , ) такое, что ( ) ≥ и ≤ ( ) ≤ < ;(iii) если 1 < 2 , где 1 , 2 ∈ [0 , ), и (1 ) ≥ и (2 ) ≥ , то ≤ 1 < 2 .Доказательство теоремы 2.1.1. Рассмотрим случай = и установим, что ( ) ≥ .Заметим, что по определению доверительного множества выполняется равенство ( ) = .

Поскольку согласно (2.26) выполняется ⊂ , то верно неравенство( ) ≥ .Покажем, что 0 < . С этой целью проанализируем . Поскольку выполняетсявключение ⊂ и ̸= , а мера — гауссова, то ( ) = + (), где () > 0 иΔ() = ( ) − ( ).Пусть ¯ — правильный многогранник, симметричный относительно нуля и содержащий доверительное множество . Предположим также, что количество граней симметричного многогранника ¯ равно количеству ограничений двойственной задачи (2.11),которое, в свою очередь, связано с количеством вершин компактного выпуклого многогранника .

Согласно лемме 2.7 имеем ( ) ≥ (¯ ). Поскольку вероятностная мера —гауссова, то выполняется (¯ ) > ( ) = . Таким образом, ( ) > .Пусть определяется из условия( ) = − ,гдеΔ =(¯ ) − .2Сравним множества ¯ ∖ и ¯ ∖ . Эти множества подобны, причем1mes (¯ ∖ ) > mes (¯ ∖ ),257где mes — мера Лебега в IR . Поскольку мера — гауссовская, а множество ¯ ∖ находитсяближе к центру осей координат, чем множество ¯ ∖ , то выполняется неравенство(¯ ∖ ) >(¯ ∖ )(¯ ) − == .22Следовательно, для симметричного множества ¯ выполняется(¯ ) = ( ) + (¯ ∖ ) > ( ) + = .Согласно лемме 2.7 вероятностная мера симметричного многогранника оказывается меньшевероятностной меры многогранника , то есть ( ) > (¯ ), тогда верно, что ( ) > ,причем < . Таким образом, существует 0 ∈ [, ).2. Сравним и .

Характеристики

Список файлов диссертации