Диссертация (786272), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Построение самой задачи на каждом шаге (формирование ограничений)осуществляется за линейное время. Таким образом, сложность предложенного алгоритма√имеет порядок * 2 .391.6.Результаты численных расчётовРассмотрим двухэтапную задачу (1.16) в априорной постановке. Пусть параметрызадачи принимают следующие значения: = = 1 = = 2; вектор случайных параметров T = (1 , 2 ); стратегии T = (1 , 2 ).Параметры задачи принимают следующие значения:0 = col(3,() = ⎞, 3 () = , где = 2, 5; = 1, 5;⎞ 1); 1⎛⎛4); 1 = col(3,2 3 1 1 + 2⎠.⎠, = ⎝2 () = ⎝5 102Пусть случайный вектор имеет нормальное распределение (⃗0; ), где — единичная ковариационная матрица. Зададим уровень доверительной вероятности = 0, 9.Для решения задачи (1.16) сгенерируем согласно плотности нормального распределения точек , = 1, , и решим задачу (1.38) — (1.39).
Проанализируем получаемое приближённое решение в зависимости от объёма выборки , где объёмы выборки = 10, 100, 1000 и 10000. В итоге для каждого из значений получим решение задачи (1.16). Результаты численных расчётов приведены в таблице 1.1.Таблица 1.1. Результаты численных расчётов алгоритма первой главыK ()1 ()2 ()102,34170,3262 0,72661002,22310,3191 0,746910001,81020,3159 0,7581100001,80260,3123 0,7608Из таблицы 1.1 видно, что решение приближённой задачи (1.38) — (1.39) стабилизируется при увеличении объёма выборки. Поэтому можно предположить, что это решениестабилизируется около решения двухэтапной задачи (1.16) в априорной постановке.401.7.Выводы по главе 1В первой главе диссертации сформулирована многоэтапная задача квантильной оптимизации в априорной постановке и доказана её эквивалентность двухэтапной задаче квантильной оптимизации в апостериорной постановке.
Вопрос существования решения рассматриваемых задач не исследуется, поскольку в определении эквивалентности 1.1 учитываетсяслучай отсутствия решения задач в обеих постановках. Рассмотрена схема дискретизациивероятностной меры, позволяющая свести многоэтапную задачу стохастического программирования в априорной постановке к двухэтапной задаче. Кроме того, удаётся свести двухэтапную задачу в априорной постановке к задаче смешанного целочисленного линейногопрограммирования, для решения которой применяются стандартные пакеты оптимизации.Таким образом, решая задачу смешанного целочисленного линейного программирования,удаётся найти приближённое решение многоэтапной задачи стохастического программирования с квантильным критерием.Основные результаты главы 11. Предложена схема дискретизации вероятностной меры, позволяющая разработатьпроцедуру сведения многоэтапной задачи стохастического программирования к двухэтапнойзадаче в априорной постановке.2. Для дискретного распределения специального вида доказана эквивалентность многоэтапной линейной относительно стратегий задачи стохастического программирования сквантильным критерием и двухэтапной задачи квантильной оптимизации.3.
Для дискретного распределения специального вида разработан алгоритм поискарешения многоэтапной линейной по стратегиям задачи стохастического програмированияс квантильным критерием, основанный на переходе к эквивалентной задаче смешанногоцелочисленного линейного программирования.412.Алгоритмы решения двухэтапных задач стохастическогопрограммированиясквантильнымкритериемдлябилинейных системГлава 2 посвящена разработке алгоритмов поиска решений двухэтапных задач стохастического программирования с квантильным критерием для случая билинейной критериальной функции.Впервые упоминание о двухэтапных задачах стохастического программированияможно найти в работах G.B. Dantzig [89] и Е.M.L.
Beale [78].Двухэтапные задачи стохастического программирования встречаются во многих прикладных задачах, некоторые из которых рассмотрены в монографии Д.Б. Юдина [76]. Наиболее широкое применение двухэтапные задачи стохастического программирования получили в экономических приложениях, в частности при управлении финансами, что показано вработе J.
Birge и F. Louveaux [85].Двухэтапная задача описывает процесс планирования, разделенный на два этапа. Напервом этапе выбирается некоторая предварительная стратегия, при реализации которойвозникают различные случайные факторы (возмущения). На втором этапе за счёт выборановой стратегии (стратегии второго этапа) производится корректировка выбранной предварительной стратегии при реализации случайных параметров.
Данная корректировка учитывается при выборе стратегии первого этапа. Плата за корректировку представляет собойфункцию, зависящую от стратегии и случайных параметров.Задачи экономических приложений имеют, как правило, линейную структуру. Свойства двухэтапных задач стохастического линейного программирования исследованы в работах таких исследователей, как Д.Б. Юдин [76], J.R. Birge [84], J. Birge и F. Louveaux [85],J.R. Birge и R.J.-B. Wets [86], P.
Kall [109], P. Kall и J. Mayer [110], P. Kall и S.W. Wallace [111],S. Sen [150], R. Wets [166].Методам решения двухэтапных задач стохастического линейного программирования с критерием в форме математического ожидания посвящены работы G.B. Dantzig иA. Madansky [98], J.R. Birge [84], J. Birge и F. Louveaux [85], J.R. Birge и R.J.-B. Wets [86],P. Kall и J.
Mayer [110], R. Wets [166].Тем не менее во многих приложениях критерий в форме математического ожидания42оказывается неудовлетворительным. Например, в финансовой математике часто используется VaR-критерий, характеризующий порог, который потери не превысят с заданной вероятностью. В задачах управления летательными аппаратами более адекватным критериемявляется гарантированная с заданной вероятностью точность управления. Подобные задачирассмотрены в монографии В.В. Малышева и А.И. Кибзуна [49].Двухэтапные задачи стохастического программирования с критерием в форме квантили позволяют получить гарантированный по вероятности результат.
Но задачи стохастического программирования, где в качестве критерия выбрана функция квантили, оказываются намного сложнее, чем задачи с критерием в форме математического ожидания. Вчастности, функция квантили не обладает линейными свойствами. Особенности этого критерия подробно изучены в монографии А.И. Кибзуна и Ю.С. Кана [25].
Одним из основныхинструментов решения задач квантильной оптимизации оказывается доверительный метод,изученный в монографии А.И. Кибзуна и Ю.С. Кана [25], позволяющий заменить исходную стохастическую задачу некоторой минимаксной, решение которой может быть найденоаналитически.В работе А.И. Кибзуна и А.В. Наумова [35] за счёт перехода к двойственным переменным при гауссовском распределении случайных параметров вспомогательная минимакснаязадача сведена к задаче линейного программирования.
В первой главе диссертации исследована задача, являющаяся обобщением задачи из указанной работы. Рассматриваемую задачуудалось свести к задаче смешанного целочисленного линейного программирования.В данной главе рассматривается двухэтапная задача квантильной оптимизации, в которой функция потерь билинейна, а случайный вектор имеет нормальное распределение.Исходная стохастическая задача сводится к задаче выпуклого программирования, котораяпараметризована скалярным параметром, подлежащим выбору с помощью метода дихотомии. В результате получается гарантирующее решение исходной задачи.В разделе 2.1 содержится описание постановки двухэтапной билинейной задачи стохастического программирования с квантильным критерием.В разделе 2.2 исследуются свойства верхней оценки функции квантили двухэтапнойлинейной по стратегиям задачи стохастического программирования с квантильным критерием.В разделе 2.3 рассматривается процедура сведения двухэтапной задачи стохастического программирования к задаче выпуклого программирования.
Сведение осуществляетсяс использованием доверительного метода решения задач квантильной оптимизации и из-43вестных результатов теории двойственности, применяемых при решении задач линейногопрограммирования. Также в этом разделе предложен алгоритм, основанный на решениипараметрической задачи выпуклого программирования, скалярный параметр которой выбирается с помощью метода дихотомии.Раздел 2.4 содержит описание результатов численных экспериментов, подтверждающих эффективность предложенных в главе алгоритмов.
Приведено сравнение результатоврешения задачи алгоритмом, предложенным в первой главе, с решением, получаемым путёмприменении алгоритма, предложенного в разделе 2.3442.1.Постановка двухэтапной билинейной задачипрограммирования с квантильным критериемстохастическогоРассмотрим двухэтапную задачу стохастического программирования следующейструктуры. Пусть случайный вектор с реализациями ∈ IR имеет нормальное распределение (⃗0, ), а ограничения на допустимые стратегии первого этапа являются линейными,то естьΔ = { ∈ IR : ≤ },где вектор имеет размерность 1 , матрица имеет размерность 1 × , причем ониявляются такими, что ⊂ IR — выпуклое компактное многогранное множество.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
